圆锥曲线中存在点关于直线对称问题

圆锥曲线中存在点关于直线对称问题对于此类问题有第一种通法，即抓住两点对称中体现的两要点：垂直（斜率之积为－1）和两点连线中点在对称直线上，至于参数的范围则是由联立后方程的△产生，下面举例说明：例1：已知椭圆C：3x2＋4y2=12,试确定m的取值范围，使得对于直线l：y=4x＋m，椭圆C上有不同两点关于这条直线对称.解：设存在两点A（x1,y1）、B(x2,y2)关于l对称，中点为C（x0,y0），则AB所在直线为y=－EQ\F(1,4)x＋b.与椭圆联立得：EQ\F(13,4)x2－2bx＋4b2－12=0，∴x0=EQ\F(x1＋x2,2)=EQ\F(4b,13),y0=EQ\F(y1＋y2,2)=EQ\F(－EQ\F(1,4)x1＋b－EQ\F(1,4)x2＋b,2)=EQ\F(12b,13).∵C在y=4x＋m上,∴EQ\F(12b,13)=EQ\F(4b,13)×4＋m,b=－EQ\F(13m,4).又∵△=4b2－4×EQ\F(13,4)(4b2－12)=4b2－52b2＋13×12>0,故b2<EQ\F(13,4),即EQ\F(169m2,16)<EQ\F(13,4)，解得：－EQ\F(2EQ\R(,13),13)<m<EQ\F(2EQ\R(,13),13).由此解题过程不难归纳出步骤如下：1．假设这样的对称点A、B存在，利用对称中的垂直关系设出两点A、B所在的直线方程.2．联立AB所在直线方程与圆锥曲线方程，求出中点C的坐标.3．把C的坐标代入对称直线，求出两个参数之间的等式.4．利用联立后方程的△求出其中需求参数的范围.利用此通法、步骤可解决以下类似问题：1．已知双曲线x2－EQ\F(y2,3)=1,双曲线存在关于直线l：y=kx＋4的对称点，求k的取值范围.注：对于此类求斜率k范围要考虑k=0和k≠0，因为要用到－EQ\F(1,k).2．k为何值时，抛物线y2=x上总存在两点关于直线l：y=k（x－1）＋1对称.在此通法体现的解题思路上总结得到下面的第二种通法，不过首先说明以下两个问题：1o弦中点位置问题椭圆双曲线抛物线弦中点在内部弦中点在Ⅰ（交点在同一支上）弦中点在抛物线“内部”或Ⅱ（交点不在同一支上）2o范围问题椭圆EQ\F(x2,a2)＋EQ\F(y2,b2)=1双曲线抛物线M（x0，y0）为中点，则M（x0，y0）为中点，则M（x0，y0）为中点，则EQ\F(x2,a2)＋EQ\F(y2,b2)<1EQ\F(x2,a2)－EQ\F(y2,b2)>1或EQ\F(x2,a2)－EQ\F(y2,b2)<0y2－2px<0(p>0)(焦点在x轴上)y2＋2px<0(p>0)EQ\F(y2,a2)－EQ\F(x2,b2)>1或EQ\F(y2,a2)－EQ\F(x2,b2)<0x2－2py<0(p>0)（焦点在y轴上）x2＋2py<0(p>0)在此基础上用第二种通法来解例1：已知椭圆C：3x2＋4y2=12,试确定m的取值范围，使得对于直线l：y=4x＋m，椭圆C上有不同两点关于这条直线对称.解：设存在两点A（x1,y1）、B(x2,y2)关于l对称，中点为C（x,y），则3x12＋4y12=12,3x22＋4y22=12,得EQ\F(y1－y2,x1－x2)=－EQ\F(3(x1＋x2),4(y1＋y2))=－EQ\F(3x,4y)=－EQ\F(1,4),∴y=3x.联立y=4x＋m,解的x=－m,y=－3m,∵M在椭圆内部，∴EQ\F((－m)2,4)＋EQ\F((－3m)2,3)<1,即－EQ\F(2EQ\R(,13),13)<m<EQ\F(2EQ\R(,13),13).这种通法的步骤是：1o设出两点和中点坐标（x，y）；2o用“点差法”根据垂直关系求出x，y满足的关系式；3o联立直线方程，求出交点，即中点；4o由中点位置及对应范围求出参数取值范围.另外，由于抛物线方程形式的特殊性，对于抛物线此类问题，还有一种简洁解法：例2：在抛物线y=ax2－1上存在两点关于直线x＋y=0对称，求a的范围.解：显然a≠0.设存在两点为A（x1,y1）、B(x2,y2)，EQ\F(y1－y2,x1－x2)=EQ\F(ax12－ax22,x1－x2)=a（x1＋x2）=1，即x1＋x2=EQ\F(1,a)，EQ\F(y1＋y2,2)＋EQ\F(x1＋x2,2)=0，即x1x2=EQ\F(1－a,a2)，因为存在这样的两点，故方程x2－EQ\F(1,a)x＋EQ\F(1－a,a2)=0的△>0，即EQ\F(1,a2)－4EQ\F(1－a,a2)>0，a>EQ\F(3,4).这种方