第10章圆锥曲线-3抛物线及其性质理科

第3 抛物线及其性题型120抛物线的定义与标准方1.（201315）F为抛物线Cy24xP(1,0的直线l交抛物线于两点A,B，点Q为线段AB的中点，若|FQ|2，则直线的斜率等于 新课标卷理11）设抛物线C:y23pxp≥0的焦点为F，点M在C上， A.y24x或y2 B.y22x或y2C.y24x或y2 D.y22x或y23.（201311）C1y

p

xp0的焦点与双曲线C2x3

y1点的连线交C1于第一象限的点M，若C1在点M处的切线平行于C2的一条渐近线，则p（ 3333

2424x2y21(a0,b 理5）已知双曲线

0)的两条渐近线与抛物线y22pxp0A，B两点，O23 ，则p（ 3 B．2

C． D．

原点O为AD的中点，抛物线y22pxp0经过C，F两点，则b a

201514）y22pxp0x2y21则p

x2y21的焦点坐标为

20y22pxp022xp，所以p p 22 命题意图考查双曲线、抛物线的基本概念55

2E两点.已知|AB|2

，DE

，则C的焦点到准线的距离为 A.

D. 分析以开口向右的抛物线为例来解答，其他开口同理解析设抛物线为y22 ，圆的方程为x2y2r2，如图所示yyAD5FOxEBAx22Dp,5Ax22y22px上，所以82px x4 2r2AB2r25r24DE 5r24p216p4.则C48.（2016浙江理9）若抛物线

y24x上的点M到焦点的距离为10My

解析由题意知，该抛物线的焦点1,0x1.Mx0

x01

，所以点My

0118（1）

作直线l2线CM，NMx轴的垂线分别与直线OP，ONA，B，其中O为原点.（1）求抛物线C解析（1）由抛物线Cy22pxP1,1p1.所以抛物线C2y2x，抛物线C的焦点坐标为1,0x1 10.（20172卷理科16）已知F是抛物线C:y28x的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N．若M为FN的中点，则FN 解析y28xp4F2，0，准线lx2.如图所示，由M为FN中点，故线段BM为梯形AFNC的中位线.因为CN2，AF4，所以MB3.又由抛MBMFMNMFNFNMMF6.CNMOCNMOFx题型121与抛物线有关的距离和最值问题——暂1.（2014110）已知抛物线C：y28xF，准线为lP是l点，Q是直线PF与C的一个交点，若FP4FQ，则QF 72

C.2

D.2.（2017110）F为抛物线C：y24xF作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与CAB两点，直线l2与CDEABDE的最小值为（）. 解法一：设直线l的斜率为k，则直线l的斜率为1Axy BxyDxyExy，直线lkx1，直线l:y1x1. y2ykx

y整理得k2x22k24xk202k2 所以ABx1x2p k21

24 kDExxp k

44k

AB

84

+k2

k

kk1时等号成立.AB的倾斜角为pAK1K1AK2x轴于点K2，如图所示AFcos

AK1AF（抛物线定义 pGP 2ppAFcospAFpp

1

1

AB

21cos2

2psin2DEAB垂直，即DE的倾斜角为

DE

2sin2π

2cos2 y24xp2

sin2cos2

ABDE2psin2cos2

sin2cos2

sin2cos2

1sin24sin2

≥16，当πABDE的最小值为16.4题型122抛物线中三角形、四边形的面积问题——暂1.（2014新课标2理10）设F为抛物线C:y23x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交于C于A,B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为（ 34

98

42.（2014理10）已知F是抛物线y2x的焦点，点A，B在该抛物线上且位于x轴OAOB2（其中O为坐标原点，则△ABO与△AFO面积之和的最小值是 A． C．17 83.（20155）y24xF，不经过焦点的直线上有三个不AB,CAB在抛物线上，点Cy轴上，则△BCF与△ACF的面积之比是 BFBFAF

ABF2AAF2BF2BFBFAF

AF2 BC解析S△BCFS△

xB

BFAFxBFAF 14）设抛物线y2

（tp0）F，准线为l.物线上一点A作l的垂线，垂足为B.设C

AFBC相交于点E22CF2

，且△ACE的面积为32，则p的值 6解析y22pxFp,0CF7pp3p6

2AF，则

3p.

3p，所以x 则|y

2p.由CF//AB，

2 所以S△CEF2S△CEA62S△ACFS△AECS△CFE9213p2

2p

，p 62yHGMEOF5.（2016理20）有一块正方形菜地EFGH，EH所在直线是一条小河，收货的蔬菜可S2F2yHGMEOFEFF的坐标为1,0求菜地内的分界线C菜农从蔬菜运量估计出S1面积是S2x8S1面积的“3M是C上纵坐标为1EHMEOMGHS1x12解析（1）不妨设设分界线上任一点为xx12化简得y

0 xyHGxyHGMEOF（2）

1，所以xMM

EHM的矩形的面积为S3S32412，设五边形EOMGH面积为S4，过MMM1HEHE于点M1， 5 11则S4S梯形 1