《正态分布》同步练习 省赛一等奖

《正态分布》同步练习A组基础演练1．某市组织一次高三调研考试，考试后统计的数学成绩服从正态分布，其概率密度函数为φμ，σ(x)＝eq\f(1,\r(2π)·10)·e(x∈R)，则下列命题不正确的是()A．该市这次考试的数学平均成绩为80分B．分数在120分以上的人数与分数在60分以下的人数相同C．分数在110分以上的人数与分数在50分以下的人数相同D．该市这次考试的数学成绩标准差为10解析：由密度函数知，均值(期望)μ＝80，标准差σ＝10，又曲线关于直线x＝80对称，故分数在100分以上的人数与分数在60分以下的人数相同，所以B是错误的．答案：B2．设随机变量ξ服从正态分布N(μ，σ2)，函数f(x)＝x2＋4x＋ξ没有零点的概率是eq\f(1,2)，则μ等于()A．1 B．2C．4 D．不能确定解析：根据题意，函数f(x)＝x2＋4x＋ξ没有零点时，Δ＝16－4ξ＜0，即ξ＞4，根据正态曲线的对称性，当函数f(x)＝x2＋4x＋ξ没有零点的概率是eq\f(1,2)时，μ＝4.答案：C3．已知随机变量ξ～N(3,22)，若ξ＝2η＋3，则D(η)等于()A．0 B．1C．2 D．4解析：由ξ＝2η＋3，得D(ξ)＝4D(η)，而D(ξ)＝σ2＝4，∴D(η)＝1.答案：B4．(2022·广东江门模拟)已知X～N(μ，σ2)，P(μ－σ＜X≤μ＋σ)＝，P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)＝，某次全市20000人参加的考试，数学成绩大致服从正态分布N(100,100)，则本次考试120分以上的学生约有________人．解析：依题意可知μ＝100，σ＝10，由于P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)＝，所以P(80＜X≤120)＝，因此本次考试120分以上的学生约有20000×eq\f(1－,2)＝500(人)．答案：5005．在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布N(1，σ2)(σ＞0)．若ξ在(0,1)内取值的概率为，则ξ在(2，＋∞)上取值的概率为________．解析：由正态分布的特征易得P(ξ＞2)＝eq\f(1,2)×[1－2p(0＜ξ＜1)]＝eq\f(1,2)×(1－＝.答案：6．随机变量ξ服从正态分布N(1，σ2)，已知P(ξ＜0)＝，则P(ξ＜2)＝________.解析：由题意可知，正态分布的图象关于直线x＝1对称，所以P(ξ＜2)＝P(ξ＜0)＋P(0＜ξ＜1)＋P(1＜ξ＜2)，又P(0＜ξ＜1)＝P(1＜ξ＜2)＝，所以P(ξ＜2)＝.答案：7．商场经营的某种包装大米的质量(单位：kg)服从正态分布X～N(10,，任选一袋这种大米，质量在～kg的概率是________．解析：P＜X≤＝P(10－＜X≤10＋＝4.答案：48．工厂制造的某机构零件尺寸X服从正态分布Neq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4，\f(1,9)))，问在一次正常的试验中，取1000个零件时，不属于区间(3,5]这个尺寸范围的零件大约有多少个？解：∵X～Neq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4，\f(1,9)))，∴μ＝4，σ＝eq\f(1,3).∴不属于区间(3,5]的概率为P(X≤3)＋P(X＞5)＝1－P(3＜X≤5)＝1－P(4－1＜X≤4＋1)＝1－P(μ－3σ＜X≤μ＋3σ)＝1－4＝6≈.∴1000×＝3(个)，即不属于区间(3,5]这个尺寸范围的零件大约有3个．9．某人乘车从A地到B地，所需时间(分钟)服从正态分布N(30,100)，求此人在40分钟至50分钟到达目的地的概率．解：由μ＝30，σ＝10，P(μ－σ＜X≤μ＋σ)＝6知，此人在20分钟至40分钟到达目的地的概率为6，又由于P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)＝4，所以此人在10分钟至20分钟和40分钟至50分钟到达目的地的概率为4－6＝8，由正态曲线关于直线x＝30对称得此人在40分钟至50分钟到达目的地的概率为9.B组能力突破1．已知正态分布密度函数为f(x)＝eq\f(1,2π)e(x∈R)，则该正态分布的均值和标准差分别为()A．μ＝－1，σ＝1 B．μ＝0，σ＝1C．μ＝－1，σ＝eq\r(2) D．μ＝0，σ＝eq\r(2π)解析：对照正态分布密度函数φμ，σ(x)＝eq\f(1,\r(2π)σ)·e，x∈(－∞，＋∞)，可得μ＝0，σ＝eq\r(2π).答案：D2．(2022·山东滨州二模)若随机变量X的概率分布密度函数是φμ，σ(x)＝eq\f(1,2\r(2π))e(x∈R)，则E(2X－1)＝________.解析：σ＝2，μ＝－2，E(2X－1)＝2E(X)－1＝2×(－2)－1＝－5.答案：－53．2022年中国汽车销售量达到1700万辆，汽车耗油量对汽车的销售有着非常重要的影响，各个汽车制造企业积极采用新技术降低耗油量，某汽车制造公司为调查某种型号的汽车的耗油情况，共抽查了1200名车主，据统计该种型号的汽车的平均耗油为百公里升，并且汽车的耗油量ξ服从正态分布N(8，σ2)，已知耗油量ξ∈[7,9]的概率为，那么耗油量大于9升的汽车大约有________辆．解析：由题意可知ξ～N(8，σ2)，故正态曲线以μ＝8为对称轴，又因为P(7≤ξ≤9)＝，故P(7≤ξ≤9)＝2P(8≤ξ≤9)＝，所以P(8≤ξ≤9)＝，而P(ξ≥8)＝，所以P(ξ＞9)＝，故耗油量大于9升的汽车大约有1200×＝180(辆)．答案：1804．在某市组织的一次数学竞赛中全体参赛学生的成绩近似服从正态分布N(60,100)，已知成绩在90分以上的学生有13人．(1)求此次参加竞赛的学生总数共有多少人？(2)若计划奖励竞赛成绩排在前228名的学生，问受奖学生的分数线是多少？解：设学生的得分情况为随机变量X，X～N(60,100)．则μ＝60，σ＝10.(1)P(30＜X≤90)＝P(60－3×10＜X≤60＋3×10)＝4.∴P(X＞90)＝eq\f(1,2)[1－P(30＜X≤90)]＝3，∴学生总数为e