2020年江苏高考数学试卷及答案

2020年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）

数学试题参考公式：柱体的体积V=Sh，其中S是柱体的底面积，h是柱体的高.一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．.已知集合A={—1,0,1,2},B={0,2,3}，则AB= ▲.已知i是虚数单位，则复数工=（1+i）（2-i）的实部是 ▲.已知一组数据4,2。,3-。,5,6的平均数为4,则a的值是一▲.将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，则点数和为5的概率是一▲一.如图是一个算法流程图，若输出了的值为-2，则输入无的值是_▲［第5［第5题J6．TOC\o"1-5"\h\z在平面直角坐标系xQy中，若双曲线上-二二1（a〉0）的一条渐近线方程为y=—x，则该双曲线的离a2 5 26．心率是▲ .已知>=fx）是奇函数，当x>0时，f金）=x2，则f（-8）的值是—▲—.兀 2.已知sin2（+a）=-，则sin2a的值是 ▲ .\o"CurrentDocument"4 39．如图，六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的．已知螺帽的底面正六边形边长为2cm，高为2即，内孔半轻为0.5cm,则此六角螺帽毛坯的体积是 ▲cm.(第9题)nn.将函数y=3sin(2x+£)的图象向右平移n个单位长度，则平移后的图象中与y轴最近的对称轴的方程是46TOC\o"1-5"\h\z▲ ..设｛与｝是公差为d的等差数列，｛久｝是公比为q的等比数列.已知数歹U｛"+勾｝的前n项和S=n2—n+2n-1(neN+)，则Ud+q的值是▲ ..已知5x2y2+y4=1(%,yeR)，则x2+y2的最小值是 ▲ ..在△ABC中，AB=4,AC=3,ZBAC=90。,D在边BC上，延长AD到尸，使得AP=9,若3PA=mPB+(--m)PC(m为常数)，则CD的长度是▲ .2.在平面直角坐标系%Oy中，已知P(,0),A,B是圆C：%2+(y-2)2=36上的两个动点，满足PA=PB,则^PAB面积的最大值是▲ .二、解答题：本大题共6小题,共计90分,请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程 或演算步骤..(本小题满分14分)在三棱柱ABC—A1B1C1中，AB±AC,B1c，平面ABC,E,F分别是AC,B1c的中点.(1)求证：EF〃平面AB1C1；(2)求证：平面AB1C，平面ABB1.16．（本小题满分14分）在^ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知a=3,c=22,B=45。.（1）求sinC的值；4（2）在边BC上取一点。，使得cos/ADC=-5,求tanZDAC的值.17．（本小题满分14分）某地准备在山谷中建一座桥梁，桥址位置的竖直截面图如图所示：谷底。在水平线MN上，桥AB与MN平行，OO'为铅垂线（O'在AB上）.经测量，左侧曲线AO上任一点D到MN的距离勺（米）与D到OO'的距离a（米）之间满足关系式h1=40a2；右侧曲线BO上任一点F到MN的距离h2（米）与F到OO'的距离/米）之间满足关系式h=-1-b3+6b.已知点B到OOo的距离为40米.2 800（1）求桥AB的长度；（2）计划在谷底两侧建造平行于OO'的桥墩CD和£F，且CE为80米，其中C,E在AB上（不包括3端点）..桥墩EF每米造价k（万兀）、桥墩CD每米造价-k（万兀）（k>0）,问O'E为多少米时，桥墩CD与EF的总造价最低？8D\0F]A18．(本小题满分16分)x2y2在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆E:7+彳=1的左、右焦点分别为F1，F2，点A在椭圆E上且在第一象限内，AF2±F1F2,直线AF1与椭圆E相交于另一点B.(1)求4AF1F2的周长；(2)在x轴上任取一点尸，直线AP与椭圆E的右准线相交于点。，求OP-QP的最小值；(3)设点M在椭圆E上，记AOAB与^MAB的面积分别为S1，S2，若S2=3S1，求点M的坐标..(本小题满分16分) 一一已知关于X的函数y=f(X),y=g(X)与h(X)=kx+b(k,b£R)在区间D上恒有f(x)2h(x)2g(x).(1)若f(x)=x2+2x,g(x)=一x2+2x,D=(一如+8)，求h(x)的表达式;(2)若f(x)=x2-x+1,g(x)=klnx,h(x)=kx一k,D=(0,+8),求k的取值范围；(3)若f(x)=x4-2x2,g(x)=4x2-8,h(x)=4(3-1)x-3t4+2t2(0<\t\<v2),D=[m,n]=-石石]，求证：n-m<百..(本小题满分16分)已知数列LJ(n£N*)的首项%=1,前n项和为Sn.设丸与k是常数，若对一切正整数n，均有Sk_Sk八ak成立，则称此数列为“丸〜k”数列•n+1n n+1(1)若等差数列〃｝是“丸〜1”数列，求力的值；n(2)若数列｛a｝是“超〜2”数列，且a〉0，求数列｛a｝的通项公式；

n3 n n(3)对于给定的九是否存在三个不同的数列｛aj为“丸〜3”数列，且an>0?若存在，求力的取值范围；若不存在，说明理由．2020年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）参考答案一、填空题:1．{0,2}2.33.24.195.一3636.一7.一48.19.12<3-- 10.%=-5-2322411.412.413.18或014.10V555二、解答题15．本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系等基础知识,考查空间想象能力和推理论证能力.满分14分.证明：因为E,F分别是AC,B1C的中点，所以EF//AB^.又EFa平面AB^C,AB^u平面AB^C,所以EF〃平面AB^C.（第15题）(2)因为BC±平面ABC,ABa平面ABC,1所以BC±AB.1又AB1AC,BCa平面ABC,ACa平面ABC,BCAC=C,n所以AB1平面ABC.1又因为ABa平面ABB1,所以平面AB^C1平面ABB1.16．本小题主要考查正弦定理、余弦定理、同角三角函数关系、两角和与差的三角函数等基础知识，考查运算求解能力.满分14分.解：（1）在AABC中，因为a=3,c=V2,B=45。，由余弦定理b2=a2+c2-2accosB，得b2=9+2一2x3x、<2cos450=5,

在A在AABC中，由正弦定理—sinBsinC得_JL=Asin45°sinC所以sinC=—-.5(2)在八4。。中，因为cosZADC=-4，所以ZADC为钝角，而ZADC+ZC+ZCAD=180°,所以ZC为锐角.故cosC=V1-sin2C=,贝UtanC=snC=1.5 cosC24一一… :- 3因为cosZADC=—-，所以4一一… :- 3因为cosZADC=—-，所以sinZADC=v1-cos2ZADC=—,

5 5sinZADCtanZADC= = cosZADC 4tanZADC=tan(180°-ZADC-ZC)=-tan(ZADC+ZC)=-tan(ZADC+ZC)31一一+-421-tanZADCxtanZC A1-111x—217.本小题主要考查函数的性质、用导数求最值、解方程等基础知识，考查直观想象和数学建模及运用数学知识分析和解决实际问题的能力.满分14分.解：(1)设AAJBB,CD,£勺都与MN垂直，/B,D,勺是相应垂足.由条件知，当OB=40时，BB=--x403+6x40=160,则AA=160.1 800 1由-1OA2=160,得OA=80.40所以AB=OA+OB=80+40=120(米).(第I?(第I?题)(2)以O为原点，OO,为J轴建立平面直角坐标系xOy(如图所示).设F(%,y),%g(0,40),则Uy=-—^―%3+6%,2 2 800

TOC\o"1-5"\h\zEF=160-y=160+—x3-6x.

2 800因为CE=80,所以OC=80—x.设D(x—80,y),贝Uy=—(80—x)2,1 140所以CD=160—y=160——(80—x)2=——x2+4x.1 40 40记桥墩CD和EF的总造价为f(x),1 31f(x)=k(160+ x3—6x)+—k(一 x2+4x)800 2 4013=k( x3 x2+160)(0<x<40).800 803f(3f(x)=k( x2800—x+160)=-x(x—20)40 800令f(x)=0,得x=20.(0,20)20(0,20)20(10,4。匕c极小值~~~所以当x=20时，f(x)取得最小值.答：(1)桥AB的长度为120米；(2)当OE为20米时，桥墩CD和EF的总造价最低.18．本小题主要考查直线方程、椭圆方程、椭圆的几何性质、直线与椭圆的位置关系、向量数量积等基础知识，考查推理论证能力、分析问题能力和运算求解能力.满分16分.解：(1)椭圆E:上+£=1的长轴长为2a，短轴长为2b，焦距为2c,43所以△AFF的周长为2a+2c=6.12(2)椭圆E的右准线为x=4.设P(x,0),Q(4,y),则OP=(x,0),QP=(x—4,—y),OP-QP=x(x—4)=(x—2)2—4>—4,在x=2时取等号.所以OP•QP的最小值为—4.

t第花题)t第花题)(3)因为椭圆E:丑十匕=1的左、右焦点分别为F,F，点A在椭圆E上且在第一象限内，AF±FF,4 3 1 2 2 123则F(-1,0),F(1,0),A(1,-).1 2 2所以直线AB:3%-4y+3=0.设M(羽y)，因为S2=3S/所以点M到直线AB距离等于点O到直线AB距离的3倍.=3*13x0-4x0+引5贝U3%-4y+12=0或3%-4y-6=0.3%-4y+12=0,得7得7%2+24%+32=0，此方程无解;33%-4y-6=0,2得7%2-12%-4=0，所以%=2或%=-2

712代入直线l:3%-4y-6=0，对应分别得y=0或y=-半212因此点M的坐标为(2,0)或(-2,--).7 719.本小题主要考查利用导数研究函数的性质，考查综合运用数学思想方法分析与解决问题以及逻辑推理能力.满分16分.解：(1)由条件f(%)>h(%)>g(%)，得%2+2%>k%+b>-%2+2%,取%=0，得0>b>0，所以b=0.由%2+2%>k%，得%2+(2-k)%>0，此式对一切%e(-8,+8)恒成立，所以(2-k)2<0，贝Uk=2，此时2%>-%2+2%恒成立，所以h(%)=2%.(2)h(%)-g(%)=k(%-1-In%),%e(0,+w).令u(%)=%—1—ln%，贝Uu'(x)=1--,令u'(x)=0，得％=1.%1(1,+«)—0理⑺极小值所以u(%)i=u(1)=0.则%-1>In%恒成立，所以当且仅当k>0时，f(%)>g(%)恒成立.另一方面，f(%)>h(%)恒成立，即%2-%+1>k%-k恒成立，也即%2-(1+k)%+1+k>0恒成立.因为k>0，对称轴为%=1+k〉0,2所以(1+k)2-4(1+k)<0，解得-1<k<3.因此，k的取值范围是0<k<3.(3)①当1<t<<2时，由g(%)<h(%)，得4%2-8<4(13-1)%-3t4+212，整理得/ 3t4-2t2-8%2-(13-t)%+ <0.(*)4令A=(t3-1)2-(3t4-212-8),则°A=16-5t4+3t2+8.t己①(t)=16-5t4+3t2+8(1<t<v'2),则①'(t)=615-2013+61=21(3t2-1)(t2-3)<0恒成立，所以①(t)在［1,<2］上是减函数，则叭丘)<p(t)<叭1)，即2寸(t)<7.所以不等式(*)有解，设解为%1<%<%2,因此n-m<%-%.=vT< .②当0<t<1时，f(-1)-h(-1)=314+4t3-212-4t-1.设v(t)=314+413-212-41-1,"(t)=1213+1212-4t-4=4(t+1)(3t2-1),令v'(t)=0,得t==3.3时，v时，v'(t)<0,v(t)是减函数;当te(―,1)时，Mt)>0,v(t)是增函数.v(0)=-1,v(1)=0，则当0<t<1时，v(t)<0.(或证：V(t)=(t+1)2(3%+1)(t—1)<0.)则f(-1)-h(-1)<0，因此—1任(m,n).因为[m,n]d-五亚，所以n-m<<2+1<v7.③当-、.2<t<0时，因为f(x),g(x)均为偶函数，因此n-m<7~也成立.20．本小题主要考查等差和等比数列的定义、通项公式、性质等基础知识，考查代数推理、转化与化归及综合运用数学知识探究与解决问题的能力．满分16分．解：⑴因为等差数列｛an｝是“丘1"数列,则Sn+1-Sn=X匕+1,即an+1=Xan」也即(九-1)a=0，此式对一切正整数n均成立.n+1若入W1,则a+1=0恒成立，故a3-a2=0，而a2-a1=-1,这与｛an｝是等差数列矛盾.所以x=1.(此时，任意首项为1的等差数列都是“1〜1”数歹U) 一「3 一(2)因为数列｛a｝(neN*)是“—~2”数列，n3因为a因为a>0,即3即3n-1)2=-(b2-1)(b>1).

3n n所以数列｛S｝是公比为4的等比数列U.n

1(n=1),因为S1=q=1,所以S=4n_1.则an=j3义42(〉2)（3）设各项非负的数列｛a｝（neN*）为“入~3”数列ij,n因为a>0因为a>0而a=1,1J1nn—1.Sn令3n~1==c，则c—163c3—1(c21)，即(c-1)3=X3(c3Txe>1).(*)I；Sn n nn n nnn①若X<0或X=1,则（*）只有一解为cn=1,即符合条件的数列必an｝只有一个.（此数列为1，0，0，0，…）X3+2②若X>1，则（*）化为（c—1）（c2+ c+1）=0，nnX3—1n因为c>1,所以c2+”2c+1>0，则（*）只有一解为c=1，n nX3—1n n即符合条件的数列｛a｝只有一个.（此数列为1,0，0，0，…）n③若0<X<1,则c2+X■工c+1=0的两根分别在（0，1）与（1,+8）内，nX3—1n则方程（*）有两个大于或等于1的解：其中一个为1,另一个大于1（记此解为力.所以Sn+1=Sn或S+1=13S.由于数列｛Sn｝从任何一项求其后一项均有两种不同结果，所以这样的数列｛Sn｝有无数多个，则对应的｛an｝有无数多个.综上所述，能存在三个各项非负的数列｛an｝为“X〜3”数列，X的取值范围是0<X<1.数学n（附加题）21.【选做题】本题包括A、B、C三小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答.若多做，则 按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.A.［选修4-2：矩阵与变换］（本小题满分10分）a1平面上点4（2,-1）在矩阵M=［八对应的变换作用下得到点B（3,—4）.—1b（1）求实数a,b的值;

(2)求矩阵M的逆矩阵M_i.B.［选修4-4：坐标系与参数方程］(本小题满分10分)一..一. 一n n在极坐标系中，已知点A(Pj-)在直线l:Pcos°=2上，点B(p,-)在圆C:p=4sin0上(其中p>0，13 260<9<2兀).(1)求P1，P2的值；(2)求出直线l与圆C的公共点的极坐标.C.［选修4-5：不等式选讲］(本小题满分10分)设％gR，解不等式21%+11+1%1<4.【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、．．．．．．．证明过程或演算步骤．22．(本小题满分10分)在三棱锥A—BCD中，已知CB=CD=无,BD=2,O为BD的中点，AO，平面BCD,AO=2,E为AC的中点．(1)求直线AB与DE所成角的余弦值；(2)若点F在BC上，满足BF=1BC,设二面角F—DE—C的大小为仇求sin9的值.423．(本小题满分10分)甲口袋中装有2个黑球和1个白球,乙口袋中装有3个白球．现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复n次这样的操作，记甲口袋中黑球个数为工，恰有2个黑球的概率为2,恰有1个黑球的概率为qn.(1)求p1,q1和p2,q2;(2)求2pn+qn与2pn-1+qn-1的递推关系式和Xn的数学期望E(Xn)(用n表示).数学n(附加题)参考答案21．【选做题】A.［选修4-2：矩阵与变换］本小题主要考查矩阵的运算、逆矩阵等基础知识,考查运算求解能力．满分10分．•一,a解：(1)因为•一,a解：(1)因为2 3所以2a-1=3,-2-b=-4,B*(2)因为M=从而MB*(2)因为M=从而M-i=2515所以M=2 1-12152521-12,det(M)=2x2-1x(-1)=5中0，所以M可逆，［选修4-4：坐标系与参数方程］本小题主要考查曲线的极坐标方程等基础知识，考查运算求解能力.满分10分..一 ^ 冗 .一 冗 冗解：⑴由P1C0S3=2,得P1=4；p2=4sin6=2,又(0,0)(即(0,6))也在圆C上,因止匕P2=2或0.pcos9=2,[p=4sin9,得4sin9C0S9=2,所以Sin29=1*因为P>0,0<9<2兀，所以9=4,p=2V2.所以公共点的极坐标为（2、田4）*C*C*［选修4-5：不等式选讲］本小题主要考查解不等式等基础知识，考查运算求解和推理论证能力.满分10分.2解：当x>0时，原不等式可化为2x+2+x<4，解得0<x<3；当-1<x<0时，原不等式可化为2x+2-x<4，解得-1<x<0；当x<-1时，原不等式可化为-2x-2-x<4，解得-2<x<-1.2综上，原不等式的解集为｛xl-2<x<-｝.J22*【必做题】本小题主要考查空间向量、异面直线所成角和二面角等基础知识，考查空间想象能力和运算求解能力.满分1022*解：（1）连结0C因为。5=CD,O为BD中点，所以CO±BD*又AO，平面BCD，所以AO±OB,AO±OC.以Ob,oc,oa｝为基底，建立空间直角坐标系Oxyz.因为BD=2,CB=CD=v5，AO=2,所以B(1,0,0),D(-1,0,0),C(0,2,0),A(0,0,2).因为E为AC的中点，所以E(0,1,1).则ab=(1,0,-2),DE=(1,1,1),所以Icos<AB,DE〉I二IAB-DEII1+0—2I<15 =-;= -= IABI-IDEIV5xv3 15因此，直线AB与DE所成角的余弦值为卫.15⑵因为点F在BC上，BF=4BC,BC=1,2,0).所以BF=4BC=(-4,2。).又DB=(2,0,0),… ,71…故DF=DB+BF=(-,,0).42设n=(',”z)为平面DEF的一个法向量,XJyeq=0,7 1一-%+—y=0,〔41 21取％产，得y=-7,z=5，所以n=(2,-7,5).11设n2=(%2,y2,z2)为平面DEC的一个法向量，又DC=(1,2,0),=0,DC•n2即v=0,%+y+z=0,%+2y=0,2 2所M=⑵-…).故Icos故Icos0I=In•nII4+7—5I所以sin0=<1一cos20=2、驼1323．