数学强基计划模拟试卷（五）

第3页（共3页）强基计划模拟试卷（五）一、选择题：（每小题6分，共36分）1．（6分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则a+c的取值范围是（）A． B． C． D．2．（6分）定义数列{an}如下：存在k∈N*，满足ak＜ak+1，且存在s∈N*，满足as＞as+1，已知数列{an}共4项，若ai∈{t，x，y，z}（i＝1，2，3，4）且t＜x＜y＜z，则数列{an}共有（）A．190个 B．214个 C．228个 D．252个3．（6分）已知正项数列{an}中，a1＝1，，若存在实数t，使得t∈（a2n，a2n﹣1）对任意的n∈N*恒成立，则t＝（）A． B． C． D．4．（6分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知△ABC是边长为1的等边三角形，AA1＝2，E，F分别在侧面AA1B1B和侧面AA1C1C内运动（含边界），且满足直线AA1与平面AEF所成的角为30°，点A1在平面AEF上的射影H在△AEF内（含边界）．令直线BH与平面ABC所成的角为θ，则tanθ的最大值为（）A． B． C． D．5．（6分）已知椭圆右顶点为A（2，0），上顶点为B，该椭圆上一点P与A的连线的斜率，AP的中点为E，记OE的斜率为kOE，且满足kOE+4k1＝0，若C、D分别是x轴、y轴负半轴上的动点，且四边形ABCD的面积为2，则三角形COD面积的最大值是（）A． B． C． D．6．（6分）已知函数f（x）＝（x2﹣2x）ex﹣1，若当x＞1时，f（x）﹣mx+1+m≤0有解，则m的取值范围为（）A．m≤1 B．m＜﹣1 C．m＞﹣1 D．m≥1二、填空题：（每小题9分，共54分）7．（9分）在锐角△ABC中，cosA＝，若点P为△ABC的外心，且＝x+y，则x+y的最大值为．8．（9分）如图，在3×3的点阵中，依次随机地选出A，B，C三个点，则选出的三点满足＜0的概率是．9．（9分）如果数列{an}满足：a1＝1，a2021＝2017，且对于任意n∈N*，存在实数a使得an、an+1是方程x2﹣（2a+1）x+a2+a＝0的两个根，则a100的所有可能值构成的集合是．10．（9分）如图，在矩形ABCD中，2AB＝BC＝2，AE＝CF＝1．将A，C分别沿BE，DF向上翻折至A′，C′，则A′C′取最小值时，二面角A′﹣EF﹣C′的正切值是．11．（9分）设点P（x1，y1）在椭圆上，点Q（x2，y2）在直线x+2y﹣8＝0上，则|x2﹣x1|+|y2﹣y1|的最小值为．12．（9分）已知a≠0，b＞0，若f（x）＝b|ax+b|﹣|a2x+b2|﹣2b2有两零点x1，x2，且x1+x2＜0，则的取值范围是．三、（20分）13．（20分）已知抛物线y2＝2px（p＞0）的一条长为l的弦AB．求AB中点M到y轴的最短距离，并求出此时点M的坐标．四、（20分）14．（20分）单位正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，正方形ABCD的中心为点M，正方形A1B1C1D1的中心为点N，连AN、B1M．（1）求证：AN、B1M为异面直线；（2）求出AN与B1M的夹角．五、（20分）15．（20分）对正实数a、b、c．求证：≥9．附加题一、（50分）16．设ABCD是面积为2的长方形，P为边CD上的一点，Q为△PAB的内切圆与边AB的切点．乘积PA•PB的值随着长方形ABCD及点P的变化而变化，当PA•PB取最小值时．（1）证明：AB≥2BC；（2）求AQ•BQ的值．二、（50分）17．给定由正整数组成的数列（n≥1）．（1）求证：数列相邻项组成的无穷个整点（a1，a2），（a3，a4），…，（a2k﹣1，a2k），…均在曲线x2+xy−y2+1＝0上．（2）若设f（x）＝xn+xn﹣1−anx−an﹣1，g（x）＝x2−x−1，证明：g（x）整除f（x）．三、（50分）18．我们称A1，A2，…，An为集合A的一个n分划，如果（1）A1∪A2∪⋯∪An＝A；（2）Ai∩Aj≠∅，