期权定价的数值方法

8.1二叉树期权定价模型8.1.1二叉树模型的基本方法熟悉8.1.2基本二叉树方法的扩展熟悉8.1.3构造树图的其他方法和思路了解8.1.4二叉树定价模型的深入理解熟悉8.2蒙特卡罗模拟8.2.1蒙特卡罗模拟的基本过程熟悉8.2.2蒙特卡罗模拟的技术实现熟悉8.2.3减少方差的技巧了解8.2.4蒙特卡罗模拟的理解和应用了解8.3有限差分方法8.3.1隐性有限差分法熟悉8.3.2显性有限差分法熟悉8.3.3有限差分方法的比较分析和改进了解8.3.4有限差分方法的应用了解1、从开始的上升到原先的倍，即到达；2、下降到原先的倍，即。图8.1时间内资产价格的变动把期权的有效期分为很多很小的时间间隔，并假设在每一个时间间隔内证券价格只有两种运动的可能：其中.如图8.1所示。价格上升的概率假设为，下降的概率假设为。相应地，期权价值也会有所不同，分别为和。二叉树模型实际上是在用大量离散的小幅度二值运动来模拟连续的资产价格运动二叉树模型可分为以下几种方法：（一）单步二叉树模型1.无套利定价法2.风险中性定价法3.风险中性定价法（二）证券价格的树型结构4.证券价格的树型结构（三）倒推定价法

5.

倒推定价法二叉树方法的一般定价过程－以无收益证券的美式看跌期权为例6.一般定价过程无套利定价法：构造投资组合包括份股票多头和1份看涨期权空头当则组合为无风险组合此时因为是无风险组合，可用无风险利率贴现，得将代入上式就可得到：其中在风险中性世界里：（1）所有可交易证券的期望收益都是无风险利率；（2）未来现金流可以用其期望值按无风险利率贴现。在风险中性的条件下,参数值满足条件：假设证券价格遵循几何布朗运动，则：再设定：（第三个条件的设定则可以有所不同，这是Cox、Ross和Rubinstein所用的条件）由以上三式可得，当很小时：从而以上可知，无套利定价法和风险中性定价法具有内在一致性。一般而言，在时刻，证券价格有种可能，它们可用符号表示为：其中注意：由于，使得许多结点是重合的，从而大大简化了树图。得到每个结点的资产价格之后，就可以在二叉树模型中采用倒推定价法，从树型结构图的末端T时刻开始往回倒推，为期权定价。

如果是欧式期权，可通过将时刻的期权价值的预期值在时间长度内以无风险利率贴现求出每一结点上的期权价值；

如果是美式期权，就要在树型结构的每一个结点上，比较在本时刻提前执行期权和继续再持有时间，到下一个时刻再执行期权，选择其中较大者作为本结点的期权价值。假设把该期权有效期划分成N个长度为的小区间，同时用表示结点处的证券价格可得：，其中假定期权不被提前执行，后，则：（表示在时间时第j个结点处的美式看跌期权的价值）若有提前执行的可能性，则：支付连续续红利率率资产的的期权定定价当标的资资产支付付连续收收益率为为的的红利利时，在在风险中中性条件件下，证证券价格格的增长长率应该该为，因此：对于股价价指数期期权来说说，为为股股票组合合的红利利收益率率；对于外汇汇期来说说，为为国国外无风风险利率率，因此以上上式子可可用于股股价指数数和外汇汇的美式式期权定定价。支付已知知红利率率资产的的期权定定价可通过调调整在各各个结点点上的证证券价格格，算出出期权价价格；如果时刻刻在在除除权日之之前，则则结点处处证券价价格仍为为：如果时刻刻在在除除权日之之后，则则结点处处证券价价格相应应调整为为：若在期权权有效期期内有多多个已知知红利率率，则时时刻刻结点的的相应的的证券价价格为：：（为为0时刻到到时时刻之间间所有除除权日的的总红利利支付率率）已知红利利额将证券价价格分为为两个部部分：一一部分是是不确定定的；另另一部分分是期权权有效期期内所有有未来红红利的现值值。假设在期期权有效效期内只只有一次次红利，，除息日日在到之之间，则则在时刻刻不确定定部分的的价值为为：当时时当时时（（表示红红利）在时时刻：当时时，这个个树上每每个结点点对应的的证券价价格为：：当时时，这这个树上上每个结结点对应应的证券券价格为为：（为为零零时刻的的值值））利率是时时间依赖赖的情形形假设，，即在时时刻的的结点上上，其应应用的利利率等于于到到时时间内内的远期期利率，，则：这一假设设并不会会改变二二叉树图图的几何何形状，，改变的的是上升升和下降降的概率率，所以以我们仍仍然可以以象以前前一样构构造出二二叉树图图的二叉树树图在确定参参数、、和和时时，，不再假假设，，而令，，可可得：该方法优优点在于于无论和和如如何变变化，概概率总是是不变的的三叉树图图每一个个时间间间隔隔内内证证券价价格有有三种种运动动的可可能：：1、从从开始始的上上升升到原原先的的倍倍，即即到达达；；2、保保持不不变，，仍为为；；3、下下降到到原先先的倍倍，，即一些相相关参参数：：控制方方差技技术基本原原理：：期权权A和和期权权B的的性质质相似似，我我们可可以得得到期期权B的解解析定定价公公式，，而只只能得得到期期权A的数数值方方法解解。假设：：（（代代表期期权B的真真实价价值，，表表示示关于于期权权A的的较优优估计计值，，和和表表示示用同同一个个二叉叉树、、相同同的蒙蒙特卡卡罗模模拟或或是同同样的的有限限差分分过程程得到到的估估计值值）则期权权A的的更更优估估计值值为：：适应性性网状状模型型在使即在树图中那些提前执行可能性较大的部分，将一个时间步长进一步细分，如分为，每个小步长仍然采用相同的三叉树定价过程隐含树树图通过构构建一一个与与目前前市场场上的的期权权价格格信息息相一一致的的资产产价格格树图图，从从而得得到市市场对对标的的资产产价格格未来来概率率分布布的看看法。。其具体方法法是在二叉叉树图中，，通过前一一时刻每个个结点的期期权价格向向前推出（（注意不是是倒推）下下一时刻每每个结点的的资产价格格和相应概概率隐含树图的的主要作用用在于从交交易活跃的的常规期权权中得到的的关于波动动率微笑和和期限结构构的信息，，来为奇异异期权定价价二叉树图模模型的基本本出发点：：假设资产价价格的运动动是由大量量的小幅度度二值运动动构成，用用离散的随随机游走模模型模拟资资产价格的的连续运动可能能遵循的路路径。模型型中隐含导导出的概率率是风险中中性世界中中的概率，，从而而为期权定定价取当前时刻刻为，，在给给定参数、、和和的的条件件下，当时时，二叉树树公式：可以在进进行泰勒勒展开，最最终可以化化简为：在时时，，二叉树模模型收敛于于布莱克－－舒尔斯偏偏微分方程程。MonteCarlo:BasedOnProbability&Chance基本思路：：由于大部分分期权价值值实际上都都可以归结结为期权到到期回报(payoff)的期望值值的贴现；；因此，尽可可能地模拟拟风险中性性世界中标标的资产价价格的多种种运动路径径，计算每每种路径结结果下的期期权回报均均值，之后后贴现就可可以得到期期权价值。。随机路径：：在风险中性性世界中，，为为了模模拟的路径径，我们把把期权的有有效期分为为N个长度度为时间段段，则上式式的近似方方程为或（是从标准准正态分布布中抽取的的一个随机机样本）重复以上的的模拟至足足够大的次次数，计算算回报值的的平均值，，折现后就就得到了期期权的期望望值单个变量和和多个变量量的蒙特卡卡罗模拟：：1、当回报报仅仅取决决于到期时时的的最最终价值时时可直接用一一个大步（（））（假设初初始时刻为为零时刻））来多次模模拟最终的的资产价格格，得到期期权价值：：2、当回报报依赖于多多个市场变变量时每次模拟运运算中对每每个变量的的路径都必必须进行抽抽样，从样样本路径进进行的每次次模拟运算算可以得出出期权的终终值。的的离散过程程可以写为为：（期权依赖赖于个个变量量，，，为为的的波动率，，为为在在风险中性性世界中的的期望增长长率，为为和和之之间的的瞬间相关关系数）常数利率和和随机利率率的蒙特卡卡罗模拟利率为常数数时：期权权价值为（（初始时刻刻设为0））：.其中，表表示示风险中性性世界中的的期望。利率为变量量时：期权权价值为（（初始时刻刻设为0））：为有效期内内瞬间无风风险利率的的平均值。。随机样本的的产生和模模拟运算次次数的确定定：1.的的产生是服从标准准正态分布布的一个随随机数。如果只有一一个单变量量，则可以以通过下式式获得：其中是是0到1的相互独独立的随机机数。2.模拟运算次次数的确定定如果对估计计值要求95％的置置信度，则则期权价值值应满足（是是进行运算算的个数，，为为均均值，是是标准差差）（一）对偶偶变量技术术（二）控制制方差技术术（三）重点点抽样法（四）间隔隔抽样法（五）样本本矩匹配法法（六）准随随机序列抽抽样法（七）树图图取样法主要优点：：1.在大大多数情况况下，人们们可以很直直接地应用用蒙特卡罗罗模拟方法法，而无需需对期权定定价模型有有深刻的理理解2.蒙特主要缺点：：1.只能能为欧式期期权定价，，难以处理理提前执行行的情形。。2.为了了达到一定定的精确度度，一般需需要大量的的模拟运算算。主要思想是是：应用有有限差分方方法将衍生生证券所满满足的偏微微分方程转化为一系系列近似的的差分方程程，即用离离散算子逼逼近、、和和各各项，之后后用迭代法法求解，得得到期权价价值。具体地说，，有限差分分方法就是是用有限的的离散区域域来替代连连续的时间间和资产价价格在坐标图上上，有限差差分方法则则体现为格格点（Grids））可以理解为为从格点图图内部向外外推知外部部格点的期期权价值。。如图所示示：下面介绍一一下、、和和的的差差分近似－－>8.3.1(2)、、和和的的差差分近似1.的的近近似对于坐标方方格内部的的点，，期期权价值对对资产价格格的一阶导导数可以用用三种差分分来表示：：、和2.的的近近似对于点点处处的，，我们则采采取前向差差分近似以以使时时刻的值和和时时刻的的值相关联联：3.的的近近似点处处的的的后后向差分近近似为，，因此点处处期权价值值对标的资资产价格的的二阶差分分为这个二阶差差分也是中中心差分，，其误差为为。。差分方程把以上三个个近似代入入布莱克－－舒尔斯偏偏微分方程程，整理得得到：其中，边界条件1.时时刻看跌跌期权的价价值为其其中中2.当股股票价格为为零时，下下方边界上上所所有格点的的期权价值值：3.当股股票价格趋趋于无穷时时求解期权价价值：联立个个方方程：和时时，时，解出每个的期权价值值最后可以计计算出，，当当等等于初始始资产价格格时，该格格点对应的的就就是我我们要求的的期权价值值。页面呈现显性有限差差分法：其中，即直接从时时刻的的三个相邻邻格点的期期权价值求求出时时刻资资产价格为为时时的期期权价值，，可理解为为从格点图图外部推知知内部格点点期权价值值的方法有限差分方法法树图方法VS相同点：两种种方法都用离离散的模型模模拟资产价格格的连续运动动不同点：树图图方法中包含含了资产价格格的扩散和波波动率情形；；有限差分方法法中的格点则则是固定均匀匀的，只是参参数进行了相相应的变化，，以反映改变变了的扩散情情形。VS隐性有限差分分方法显性有限差分分方法显性方法计算算比较直接方方便，无需象象隐性方法那那样需要求解解大量的联立立方程，工作作量小，易于于应用。但是是，显性方法法存在一个缺缺陷：它的三三个“概率””可能小于零零，这导致了了这种方法的的不稳定，它它的解有可能能不收敛于偏偏微分方程的的解。而隐性性方法则不存存在这个问题题，它始终是是有效的。变量置换：在使用有限差差分方法时，，人们常常把把标的变量置置换为。这样偏微分方方程改为有限差分方法法还可以进一一步推广到多多个标的变量量的情形；在标的变量小小于三个的时时候，这一方方法是相当有有效率的；但是超过三个个变量时蒙特特卡罗模拟方方法就更有效效了。同时有限差分分方法也不善善于处理期权权价值取决于于标的变量历历史路径的情情况。假设标的资产产为不付红利利股票,其当当前市场价为为50元,波波动率为每年年40%，无无风险连续复复利年利率为为10%，该该股票5个月月期的美式看看跌期权协议议价格为50元，求该期期权的价值。。答案：为了构构造二叉树，，我们把期权权有效期分为为五段，每段段一个月（等等于0.0833年）。。根据式（8.4）到（（8.6），，可以算出：：（结点处上面面一个表示股股票价格，下下面一个表示示期权价值））假设无红利的的股票价格运运动服从式（（8.12）），年预期收收益率为14％，收益波波动率为每年年20％，时时间步长为0.01年，，则根据式（（8.12））有通过不断从标标准正态分布布样本中抽取取的的值，代代入上式，我我们可以得到到股票价格运运动的一条路路径如果需要从二二元或n元标标准正态分布布中抽取样本，则可用用什么法？9、静静夜夜四四无无邻邻，，荒荒居居旧旧业业贫贫。。。。1月月-231月月-23Friday,January6,202310、雨中黄黄叶树，，灯下白白头人。。。01:29:0201:29:0201:291/6/20231:29:02AM11、以我独沈久久，愧君相见见频。。1月-2301:29:0201:29Jan-2306-Jan-2312、故故人人江江海海别别，，几几度度隔隔山山川川。。。。01:29:0301:29:0301:29Friday,January6,202313、乍见翻疑梦梦，相悲各问问年。。1月-231月-2301:29:0301:29:03January6,202314、他乡乡生白白发，，旧国国见青青山。。。06一一月月20231:29:03上上午01:29:031月-2315、比不了得就就不比，得不不到的就不要要。。。一月231:29上上午1月-2301:29January6,202316、行动出出成果，，工作出出财富。。。2023/1/61:29:0301:29:0306January202317、做做前前，，能能够够环环视视四四周周；；做做时时，，你你只只能能或或者者最最好好沿沿着着以以脚脚为为起起点点的的射射线线向向前前。。。。1:29:03上上午午1:29上上午午01:29:031月月-239、没有有失败败，只只有暂暂时停停止成成功！！。1月-231月-23Friday,January6,202310、很多事情情努力了未未必有结果果，但是不不努力却什什么改变也也没有。。。01:29:0301:29:0301:291/6/20231:29:03AM11、成功就是日日复一日那一一点点小小努努力的积累。。。1月-2301:29:0301:29Jan-2306-Jan-2312、世世间间成成事事，，不不求求其其绝绝对对圆圆满满，，留留一一份份不不足足，，可可得得无无限限完完美美。。。。01:29:0301:29:0301:29Friday,January6,202313、不知香积积寺，数里里入云峰。。。1月-231月-2301:29:0301:29:03January6,202314、意志坚强的的人能把世界界放在手中像像泥块一样任任意揉捏。06一月20231:29:03上午01:29:031月-2315、楚塞三三湘接