圆锥曲线大题备考练-高三数学二轮专题复习

冲刺高考二轮圆锥曲线大题备考练（原卷+答案）微专题1直线与圆锥曲线的位置关系已知抛物线y2＝2px(p>0)的顶点为O，焦点坐标为12(1)求抛物线方程；(2)过点(1，0)且斜率为1的直线l与抛物线交于P，Q两点，求线段|PQ|的值．提分题例1已知椭圆E：x2a2(1)求椭圆E的方程；(2)过点P(－2，1)作斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点B，C，直线AB，AC分别与x轴交于点M，N，当|MN|＝2时，求k的值．巩固训练1已知双曲线E：x2－y2(1)求双曲线E的方程；(2)设点P(0，－3)，过点Q(0，1)的直线l交E于不同的两点A，B，求直线PA，PB的斜率之和．微专题2定点、定值问题提分题例2设椭圆C：x2a2(1)求椭圆C的方程；(2)若直线AD与直线BP交于点M，直线DP与x轴交于点N，求证：直线MN恒过某定点，并求出该定点．例3已知双曲线C：x2a2−y2b2＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F(1)求C的方程；(2)若动直线l与C恰有1个公共点，且与C的两条渐近线分别交于点M、N.求证：点M与点N的横坐标之积为定值．巩固训练21.已知P(1，2)在抛物线C：y2＝2px上．(1)求抛物线C的方程；(2)A，B是抛物线C上的两个动点，如果直线PA的斜率与直线PB的斜率之和为2，证明：直线AB过定点．2．如图，矩形ABCD的长AB＝23，宽BC＝12，以A、B为左右焦点的椭圆M：x2a(1)求椭圆M的方程，并求PA·PB的取值范围；(2)若过点B且斜率为k的直线交椭圆于M、N两点(点C与M、N两点不重合)，且直线CM、CN的斜率分别为k1、k2，试证明k1＋k2－2k为定值．微专题3最值、范围问题提分题例4设抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，点D(p，0)，过F的直线交C于M，N两点．当直线MD垂直于x轴时，|MF|＝3.(1)求C的方程；(2)设直线MD，ND与C的另一个交点分别为A，B，记直线MN，AB的倾斜角分别为α，β.当α－β取得最大值时，求直线AB的方程．例5已知双曲线C：x2a2−y(1)求C的方程；(2)过点A(0，－1)的直线l2与双曲线C的左、右两支分别交于D，E两点，与双曲线C的两条渐近线分别交于G，H两点，若|GH|＝λ|DE|，求实数λ的取值范围．巩固训练31.已知双曲线C：x2a2−y(1)求双曲线C的方程；(2)设点A，B的中点为M，求点M到y轴的距离的最小值．2．已知椭圆C：x2a2+y2b2＝1(a>b>0)，四点P1(2，32(1)求椭圆C的方程；(2)设O为坐标原点，过点Q(2，0)的直线l与椭圆C相交于M，N两点，求△OMN面积的取值范围．参考答案微专题1直线与圆锥曲线的位置关系保分题解析：(1)∵y2＝2px焦点坐标为p2∴p2＝12，p＝∴抛物线的方程为y2＝2x.(2)设直线l方程为x＝y＋1，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，联立x=y+1y消元得y2－2y－2＝0，∴Δ＝12>0，y1＋y2＝2，y1y2＝－2，∴|PQ|＝1+12|y1－y＝1+12＝1+12·22−4·∴线段|PQ|的值为26.提分题[例1]解析：(1)由题意，得b=1，2c=2∴椭圆E的方程为x24＋y2(2)由题意可设直线BC的方程为y－1＝k(x＋2)．联立得方程组x消去y并整理，得(4k2＋1)x2＋(16k2＋8k)x＋16k2＋16k＝0，则Δ＝(16k2＋8k)2－4(4k2＋1)(16k2＋16k)>0，解得k<0.设B(x1，y1)，C(x2，y2)，∴x1＋x2＝－16k2+8k4k2+1，x∴直线AB的方程为y＝y1−1x1x＋1，则直线AB与x轴交点M的坐标为(同理得点N的坐标为(−x2kx∵|MN|＝2，∴|−x2kx∴|x1－x2|＝|k[x1x2＋2(x1＋x2)＋4]|，∴x1+x22−4x1x2＝|k[x1x2＋将①代入②，得(－16k2+8k4k2+1)2－416k整理，得k2＋4k＝0.又k<0，∴k＝－4.[巩固训练1]解析：(1)由x2－y2b2＝1，则a因为e＝ca＝2，解得c＝2所以b2＝c2－a2＝3，所以双曲线E的方程为x2－y23(2)过点Q(0，1)的直线l斜率显然存在，设l的方程为：y＝kx＋1，A(x1，y1)，B(x2，y2)，将l的方程代入双曲线E的方程并整理得(3－k2)x2－2kx－4＝0，依题意3－k2≠0，且Δ>0，所以k2<4且k2≠3，因此，可得x1＋x2＝2k3−k2，x1x2∴kPA＋kPB＝y＝kx＝2k＋4＝2k＋8k＝2k－2k＝0.微专题2定点、定值问题提分题[例2]解析：(1)由已知可得2b=2e=a2故椭圆C的方程为x24＋y2＝(2)设直线BP的方程为y＝k1(x－2)(k1≠0且k1≠±12)直线DP的方程为y＝k2x＋1(k2≠0且k2≠±12)则直线DP与x轴的交点为N−1直线AD的方程为y＝12x＋1，则直线BP与直线AD的交点为M4将y＝k2x＋1代入方程x24＋y2＝1，得(4k22＋1)x2＋8k则点P的横坐标为xP＝−8k24k22+1，点P的纵坐标为yP将点P的坐标代入直线BP的方程y＝k1(x－2)，整理得(1＋2k2)(1－2k2)＝－2k1(1＋2k2)2，∵1＋2k2≠0，∴2k1＋4k1k2＝2k2－1，由M，N点坐标可得直线MN的方程为：y＝4k1k24k1k2+2即y＝2k1k22k2则直线MN过定点(2，1)．[例3]解析：(1)易知点A(－a，0)、F1(－c，0)、F2c，0，AF1＝−c+a，所以，ca=32AF1·AF2=a2−c2所以，双曲线C的方程为x24(2)分以下两种情况讨论：①当直线l⊥x轴时，直线l的方程为x＝±2，此时点M、N的横坐标之积为22＝4；②当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝kx＋m，由题意可知直线l不与双曲线C的渐近线平行或重合，即k≠±52设点M(x1，y1)、N(x2，y2)，联立y=kx+m5x2−4y2=20可得(5－4k2)x2－8kmx－4则Δ＝64k2m2＋4(5－4k2)(4m2＋20)＝0，可得4k2＝m2＋5，则m≠0，不妨设点M、N分别为直线l与直线y＝52x、y＝－52联立y=kx+my=52x可得x1＝m52−k，联立此时，x1x2＝m2k2−54综上所述，点M与点N的横坐标之积为定值．[巩固训练2]1．解析：(1)P点坐标代入抛物线方程得4＝2p，∴p＝2，∴抛物线方程为y2＝4x.(2)证明：设AB：x＝my＋t，将AB的方程与y2＝4x联立得y2－4my－4t＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝4m，y1y2＝－4t，所以Δ＞0⇒16m2＋16t＞0⇒m2＋t＞0，kPA＝y1−2x1−1＝y1−2y由题意：4y1+2∴4(y1＋y2＋4)＝2(y1y2＋2y1＋2y2＋4)，∴y1y2＝4，∴－4t＝4，∴t＝－1，故直线AB恒过定点(－1，0)．2．解析：(1)由题意得c＝3.又点C(3，12)在椭圆M：x2a2+且a2－b2＝3，所以a＝2，b＝1，故椭圆M的方程为x24＋y2设点P(x，y)，由A(－3，0)，B(3，0)得PA·PB＝x2－3＋y2＝x2－3＋1－x24＝3又x∈[－2，2]，所以PA·PB∈[－2，1].(2)设过点B且斜率为k的直线方程为y＝k(x－3)，联立椭圆M方程得(1＋4k2)x2－83k2x＋12k2－4＝0.设两点M(x1，y1)、N(x2，y2)，故x1＋x2＝83k21+4k2，x因为k1＋k2＝y＝y1其中y1x2＋x1y2＝2kx1x2－3k(x1＋x2)＝−8k1+4k2，y1＋y2故k1＋k2＝−8k1+4k2+6k1+4所以k1＋k2－2k＝－3为定值．微专题3最值、范围问题提分题[例4]解析：(1)方法一由题意可知，当x＝p时，y2＝2p2.设M点位于第一象限，则点M的纵坐标为2p，|MD|＝2p，|FD|＝p2在Rt△MFD中，|FD|2＋|MD|2＝|FM|2，即p22+2p2＝所以C的方程为y2＝4x.方法二抛物线的准线方程为x＝－p2当MD与x轴垂直时，点M的横坐标为p.此时|MF|＝p＋p2＝3，所以p＝所以抛物线C的方程为y2＝4x.(2)设直线MN的斜率为k1，直线AB的斜率为k2，则k1＝tanα，k2＝tanβ.由题意可得k1≠0，k2≠0.设M(x1，y1)，N(x2，y2)，y1＞0，y2＜0，A(x3，y3)，B(x4，y4)，y3＜0，y4＞0.设直线AB的方程为y＝k2(x－m)，m为直线AB与x轴交点的横坐标，直线MN的方程为y＝k1(x－1)，直线MD的方程为y＝k3(x－2)，直线ND的方程为y＝k4(x－2)．联立得方程组y=所以k12x2−2k12联立得方程组y=所以k22x2−2mk22+4x＋k联立得方程组y=所以k32x2−4k32联立得方程组y=所以k42x2−4k42所以M(x1，2x1)，N(1x1，−2x1)，A(4x1，−4所以k1＝2x1x1−1，k2＝x1x1所以tan(α－β)＝tanα−tanβ1+tanα因为k1＝2k2，所以k1与k2同号，所以α与β同为锐角或钝角．当α－β取最大值时，tan(α－β)取得最大值．所以k2＞0，且当1k2＝2k2，即k2＝22时，α－β取得最大值．易得x3x4＝16x1x2＝m2，又易知所以直线AB的方程为x－2y－4＝0.[例5]解析：(1)由题意得3a解得a故C的方程为x2－y22(2)显然直线l2斜率存在，设直线l2的方程为y＝kx－1，D(x1，y1)，E(x2，y2)，联立y=kx−1x2−y22=1，得(2－k2)x2＋因为l2与双曲线C的左，右两支分别交于D，E两点，故2−k解得－2<k<2，此时有x1＋x2＝2kk|DE|＝1+k2·|x1－x2|＝1+k＝1+k2·由y=kx−1y=2x，解得xG＝1k−2，同理可得x所以|GH|＝1+k2＝22因为|GH|＝λ|DE|，故λ＝GHDE＝1因为－2<k<2，故33≤λ<1故实数λ的取值范围是33[巩固训练3]1．解析：(1)由题设可知8a2−则C：x24－y2(2)设点M的横坐标为xM>0，当直线l斜率不存在时，则直线l：x＝2，易知点M到y轴的距离为xM＝2﹔当直线l斜率存在时，设l：y＝kx＋mk≠±12，A(x1，y1)，B(x2，y2联立x24−y2=1y=kx+m，整理得(4k2－1)x2＋8kmx＋4Δ＝64k2m2－16(4k2－1)(m2＋1)＝0，整理得4k2＝m2＋1，则x1＋x2＝－8km4k2−1＝－8kmm2＝－8km，则xM＝x则xM2＝16k2m2＝4＋4∴此时点M到y轴的距离大于2；综上所述，点M到y轴的最小距离为2.2．解析：(1)由对称性可知：P3，P4都在椭圆C上，对于椭圆在第一象限的图象上的点(x，y)，易知y随x的增大而减小，故P1，P2中只有P2符合．所以P2，P3，P4三点在椭圆上，故b＝1，将