山东省淄博市周村区第二中学2021-2022学年高三数学理月考试题含解析

山东省淄博市周村区第二中学2021-2022学年高三数学理月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.设函数g（x）=x2f（x），若函数f（x）为定义在R上的奇函数，其导函数为f′（x），对任意实数x满足x2f′（x）＞2xf（﹣x），则不等式g（x）＜g（1﹣3x）的解集是（）A． B．（0，） C． D．参考答案：C【考点】函数的单调性与导数的关系；函数单调性的性质．【专题】函数思想；导数的概念及应用；不等式的解法及应用．【分析】由题意和乘积的导数可得奇函数g（x）=x2f（x）在R上单调递增，可化原不等式为x＜1﹣3x，解之可得．【解答】解：由题意可得函数g（x）=x2f（x）为R上的奇函数，∵x2f′（x）＞2xf（﹣x），∴x2f′（x）+2xf（x）＞0，∴g′（x）=x2f（x）=2xf（x）+x2f′（x）＞0，∴奇函数g（x）=x2f（x）在R上单调递增，∴不等式g（x）＜g（1﹣3x）可化为x＜1﹣3x，解得x＜故选：C【点评】本题考查函数的单调性和导数的关系，涉及函数的奇偶性，属基础题．2.若，则是的（）．

A．充分而不必要条件

B．必要而不充分条件

C．充要条件

D．既不充分又不必要条件参考答案：A3.设m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，给出下列四个命题：①若m⊥α，n∥α，则m⊥n

②若α∥β，β∥γ，m⊥α，则m⊥γ③若m∥α，n∥α，则m∥n

④若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β其中正确命题的序号是（）A．①和② B．②和③ C．③和④ D．①和④参考答案：A【考点】空间中直线与平面之间的位置关系；命题的真假判断与应用；空间中直线与直线之间的位置关系；平面与平面之间的位置关系．【分析】根据线面平行性质定理，结合线面垂直的定义，可得①是真命题；根据面面平行的性质结合线面垂直的性质，可得②是真命题；在正方体中举出反例，可得平行于同一个平面的两条直线不一定平行，垂直于同一个平面和两个平面也不一定平行，可得③④不正确．由此可得本题的答案．【解答】解：对于①，因为n∥α，所以经过n作平面β，使β∩α=l，可得n∥l，又因为m⊥α，l?α，所以m⊥l，结合n∥l得m⊥n．由此可得①是真命题；对于②，因为α∥β且β∥γ，所以α∥γ，结合m⊥α，可得m⊥γ，故②是真命题；对于③，设直线m、n是位于正方体上底面所在平面内的相交直线，而平面α是正方体下底面所在的平面，则有m∥α且n∥α成立，但不能推出m∥n，故③不正确；对于④，设平面α、β、γ是位于正方体经过同一个顶点的三个面，则有α⊥γ且β⊥γ，但是α⊥β，推不出α∥β，故④不正确．综上所述，其中正确命题的序号是①和②故选：A4.已知，则二项式的展开式中的常数项为（

）A. B. C. D.－1参考答案：B=2，所以的展开式中的常数项为：，令r=3得常数项为5.如图，已知椭圆C的中心为原点O,F(－5,0)为C的左焦点，P为C上一点，满足|OP|=|OF|且|PF|=6，则椭圆C的方程为（）A．

B．

C． D．参考答案：C由题意可得，设右焦点为，由知，，，∴，∴，即．在△中，由勾股定理，得，由椭圆定义，得，从而，得，于是，所以椭圆的方程为，故选C．6.我国数学家邹元治利用下图证明了购股定理，该图中用勾和股分别表示直角三角形的两条直角边，用弦来表示斜边，现已知该图中勾为3，股为4，若从图中随机取一点，则此点不落在中间小正方形中的概率是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：B7.“log2（2x﹣3）＜1”是“4x＞8”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件参考答案：A【考点】2L：必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】利用函数的单调性分别化简log2（2x﹣3）＜1，4x＞8，即可判断出结论．【解答】解：log2（2x﹣3）＜1，化为0＜2x﹣3＜2，解得．4x＞8，即22x＞23，解得x．∴“log2（2x﹣3）＜1”是“4x＞8”的充分不必要条件．故选：A．【点评】本题考查了函数的单调性、不等式的解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．8.已知集合A={x|x+2>0}，集合B={-3，-2，0，2}，那么(RA)∩B=A．? B．{-3，-2}C．{-3} D．{-2，0，2}参考答案：B9.若双曲线和椭圆(a>0，m>b>0)的离心率互为倒数，那么以a，b，m为边长的三角形是(

)

A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形参考答案：B10.设为等比数列的前项和，若，则(▲)A.

B.

C.

D.参考答案：B略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.如图，正方体中，、分别为、的中点，则与所成角的大小为

．参考答案：12.若是上的奇函数，且满足，当时，则

.参考答案：13.定义在上的函数的单调增区间为，若方程恰有6个不同的实根，则实数的取值范围是

.参考答案：【知识点】函数与方程B9【答案解析】a解析：解：解：∵函数f（x）=ax3+bx2+cx（a≠0）的单调增区间为（﹣1，1），∴f'（x）＞0的解集为（﹣1，1），即f'（x）=3ax2+2bx+c＞0的解集为（﹣1，1），∴a＜0，且x=﹣1和x=1是方程f'（x）=3ax2+2bx+c=0的两个根，即﹣1+1=，，解得b=0，c=﹣3a．∴f（x）=ax3+bx2+cx=ax3﹣3ax=ax（x2﹣3），则方程3a（f（x））2+2bf（x）+c=0等价为3a（f（x））2﹣3a=0，即（f（x））2=1，即f（x）=±1．要使方程3a（f（x））2+2bf（x）+c=0恰有6个不同的实根，即f（x）=±1．各有3个不同的根，∵f（x）=ax3+bx2+cx=ax3﹣3ax=ax（x2﹣3），∴f'（x）=3ax2﹣3a=3a（x2﹣1），∵a＜0，∴当f'（x）＞0得﹣1＜x＜1，此时函数单调递增，当f'（x）＜0得x＜﹣1或x＞1，此时函数单调递减，∴当x=1时，函数取得极大值f（1）=﹣2a，当x=﹣1时，函数取得极小值f（﹣1）=2a，∴要使使方程3a（f（x））2+2bf（x）+c=0恰有6个不同的实根，即f（x）=±1各有3个不同的根，此时满足f极小（﹣1）＜1＜f极大（1），即2a＜1＜﹣2a，即，即a，故答案为：a．【思路点拨】根据题意求方程，利用数形结合的方法可求a的取值范围.14.设函数f（x）=n2x2（1﹣x）n（n为正整数），则f（x）在[0，1]上的最大值为．参考答案：【考点】利用导数求闭区间上函数的最值．【专题】计算题．【分析】对函数求导，令导数f′（x）=0，解得x的值，分析导函数的符号，确定函数在点x=取极大值，即函数的最大值，代入函数解析式即可求得结果．【解答】解：f′（x）=2n2x（1﹣x）n﹣n×n2x2（1﹣x）n﹣1=n2x（1﹣x）n﹣1（2﹣2x﹣nx）=﹣n2x（1﹣x）n﹣1[（n+2）x﹣2]=0得x=0，或x=1，或x=f（x）在[0，1]上是x的变化情况如下：∴f（x）在[0，1]上的最大值为故答案为：【点评】此题考查利用函数的导数研究函数的最值问题，注意导数的运算法则的应用是正确解题的关键，考查运算能力，属中档题．15.已知实数满足不等式组,则的最小值为_________.参考答案：16.如图，已知边长为1的正方形位于第一象限，且顶点分别在的正半轴上(含原点)滑动，则的最大值是

．参考答案：略17.已知函数的定义域为，值域为，若区间的长度为，则的最小值为

▲

．参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数f（x）=|x﹣a|．（1）若不等式f（x）≤4的解集为[﹣1，7]，求实数a的值；（2）在（1）的条件下，若x0∈R，使得f（x0）+f（x0+5）＜4m，求实数m的取值范围．参考答案：【考点】R4：绝对值三角不等式．【专题】38：对应思想；4R：转化法；59：不等式的解法及应用．【分析】（1）由不等式f（x）≤4，求得a﹣4≤x≤a+4．再根据不等式f（x）≤4的解集为{x|﹣1≤x≤7}，可得a﹣4=﹣1，且a+4=7，由此求得a的值．（2）由题意可得|x﹣3|+|x+2|的最小值小于4m，求出m的范围即可．【解答】解：（1）不等式f（x）≤4，即|x﹣a|≤4，即﹣4≤x﹣a≤4，求得a﹣4≤x≤a+4．再根据不等式f（x）≤4的解集为{x|﹣1≤x≤7}，可得a﹣4=﹣1，且a+4=7，求得a=3．（2）在（1）的条件下，若f（x）+f（x+5）＜4m成立，即|x﹣3|+|x+2|＜4m成立，故（|x﹣3|+|x+2|）min＜4m，而|x﹣3|+|x+2|≥|（x﹣3）+（﹣x﹣2）|=5，∴4m＞5，解得：m＞，即m的范围为（，+∞）．19.在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为（θ为参数），直线l经过点P（3，2），且倾斜角为．（Ⅰ）写出直线l的参数方程和圆C的标准方程；（Ⅱ）设直线l与圆C相交于A、B两点，求|PA|?|PB|的值．参考答案：考点：圆的参数方程．专题：坐标系和参数方程．分析：（Ⅰ）把圆C的参数方程消去参数，化为直角坐标方程，由条件求得直线l的参数方程．（Ⅱ）把直线l的参数方程代入圆C的方程化简可得t2+（3+2）t﹣12=0，利用韦达定理求得t1?t2的值，从而求得|PA|?|PB|=|t1?t2|的值．解答： 解：（Ⅰ）把圆C的参数方程为（θ为参数），消去参数，化为直角坐标方程为x2+y2=25，由条件可得直线l的参数方程为，即（t为参数）．（Ⅱ）把直线l的参数方程代入圆C的方程化简可得t2+（3+2）t﹣12=0，利用韦达定理可得t1?t2=﹣12，故|PA|?|PB|=|t1?t2|=12．点评：本题主要考查把参数方程为直角坐标方程的方法，韦达定理的应用，参数的几何意义，属于基础题．20.（本题满分14分）在中，的对边分别为且成等差数列。（1）求的值；(2)求的取值范围。参考答案：⑴由题意得，又，，得，即，在中，，∴，∴，又，∴。⑵∵，∴，∴≤，∴的取值范围是．21.（本小题满分14分）已知函数，（Ⅰ）求函数的单调区间，并判断是否有极值；（Ⅱ）若对任意的，恒有成立，求的取值范围；（Ⅲ）证明：（）．参考答案：（Ⅰ），（），，即，当，，所以在区间上单调递增，在区间上单调递减，在处取得极大值，极大值为，无极小值．……………４分（Ⅱ）方法1：因为，对