等腰三角形典型例题

..等腰三角形1．如图,已知点C为线段AB上一点,和都是等边三角形,AN、BM相交于点O,AN、CM交于点P,BM、CN交于点Q．

〔1求证：．

〔2求的度数．

〔3求证：．

[分析]〔1欲证,只需证明它所在的两个三角形全等．〔2的度数可用的外角来求,但要注意全等所得到这一条件的使用．〔3要,则,应该为一个等边三角形,可证明≌,从而得到．

〔1证明：和都是等边三角形,

,,,

,

即．

在和中,

≌,

．

〔2由〔1知,≌,．

,

即．

〔3在和中,

≌,

,

．

又,

,

即,

．

[点拨]

〔1要证明线段相等〔或角相等,找它们所在的三角形全等．

〔2本题的图形规律：共一个顶点的两个等边三角形构成的图形中,存在一对或多对绕公共点旋转变换的三角形全等．

2．如图,在中,,,的平分线AM的长15,求BC的长．

[分析]由AM平分,,可得,,则,所以．在中,,可得,由,可求出BC的长．

解：在中,,,

．

AM平分,

,

,

．

在中,,

．

[点拨]含30度的直角三角形的性质常与直角三角形的两个锐角互余一起运用,此性质是求线段长度和证明线段倍分问题的重要方法．

3．如图,,,,．求证：．

[分析]根据已知","联想到等腰三角形"三线合一",通过辅助线将证明转化为证明．

证明：延长CE、BA交于点F．

,

．

在和中,

≌,

,即．

,

．

在和中,

≌,

,

．

[点拨]

〔1利用等腰三角形"三线合一"不仅能得到线段相等、角相等,而且能得到线段的倍半关系．

〔2联系等腰三角形"三线合一"作顶角平分线或底边的中线或底边的高线是常用的辅助线．

4．如图,△ABC中,AB=AC,在AB边上取点D,在AC延长线上取点E,使BD=CE,连结DE交BC于G．

求证：DG=GE．

[分析]由于△ABC是等腰三角形,D为AB上一点,E为AC延长线上一点,故可考虑过D或E作腰AC或AB的平行线,通过构造等腰三角形,可获得结论．

证法1：过D作DF∥AC,交BC于F〔如图．

∴∠DFB=∠ACB．

又∵AB=AC,

∴∠B=∠ACB．

∴∠B=∠DFB．

∴DB=DF．

∵CE=BD<已知>,

∴DF=CE．

又∠DGF=∠CGE,∠GDF=∠E,

∴△DFG≌△ECG〔AAS．

∴DG=GE．

证法2：过E作EM∥AB交BC延长线于M．

∴∠B=∠M．

又∵AB=AC,

∴∠B=∠ACB．

又∠ACB=∠ECM,

∴∠M=∠ECM．

∴EC=EM．

∵CE=BD<已知>,

∴EM=BD．

在△BDG与△MEG中,

∴△BDG≌△MEG〔AAS．

∴DG=GE．

[点拨]

〔1本题的证明方法很多,其思路是通过利用等腰三角形ABC的底角相等并借助BD=CE条件,构造新的

等腰三角形来寻求结论．

〔2本题在推证含DG、GE为对应边的两个三角形全等时,寻找等边是一个难点,也是本题最易出错的

地方,主要表现为把BD=CE这一条件直接作为三角形全等时的对应边．

5．已知：如图,△ABC中,AB=AC,∠A=36°,仿照图〔1,请你再设计两种不同的方法,将△ABC分割成3个三角形,使得每个三角形都是等腰三角形〔如图〔1．

〔2图<2>〔3供画图用,作图工具不限,不要求写画法,不要求证明；要求标出所分得的每个等腰三角形三个内角的度数．

[分析]由于所给三角形是一个含36°的等腰三角形,因而将它分成三个等腰三角形时仍只需考虑以36°,72°,108°等为内角的等腰三角形即可．

解：本题显然应有多种结果,现提供3种,以供同学们参考,如图中〔2、〔3、〔4；

[点拨]像本例这种图形的分割问题的求解,一方面应把握原图形的特征,借助经验予以解决,另一方面还应大胆尝试,在操作中获得结果．

6．如图,在一个宽度为的小巷内,一个梯子的长度为b,梯子的脚位于P点．将梯子的顶端放于一堵墙上Q点时,Q点离地面的高度为c,此时梯子与地面的夹角为．将梯子顶端放于对面一堵墙上R点,离开地面的高度为d,此时梯子与地面的夹角为．可知,为什么？

[分析]由,,可知,又,可知为等边三角形,则,可推得．

证明：连接RQ、RB．

,,

．