高数课件-2.导数概念

第二章导数与微分 一、变速直线运动的瞬时sf(t)t0t0t这段时间内质点的平均速度vsf(t0t)f(t0 t0时刻的0vlimf(t0t)f(t0 0

f(t0

f(t0st0

sf(t0t)f(t0曲线的切线斜 0旋转而趋向MT，直线0

yf(x) MMN0,NMT

0xxxM(x0,f(x0N((x0xf则割线MN的斜率为 fN曲线,x0

x)f(x0所以切线MT的斜率为：tan f

x)f(x0)vlimf(t0t)f(t0

f(t0t

f(t0t) 瞬时速度 klimf(x0xf(x0

yf(xN 两个问题的共性

0 xx0limf(x0x)f(x0) yf(x0xf(x0),limyx0 设函数y=f(x)在点x0的某邻域内有定义limf(x0x)f(x0)lim

x0存在，则称函数f(x)在点x0处可导，并称此极限为函数y=f(x)在点x0的导数. 0yxx0

f(x0)

dxx

df(x)

x

tt

f(t0曲线在点(x0,f(x0导数定义的等价形式若记xx0x 则xxx0当xx0时，x

x

f(x0f(x)limf

x)f(x0 limf(x)f(x0 limf

h)f(x0h

xI若函数y=f(x)在I内可导，则对于xI f(xxf(x)I上的函数，f(xy=f(x的导函数导数，记作

y f(x) dy df 注意f(x0f

x

df(x0①、yf(xxf(x②、求两增量的

x

f(xx)f(x)③、ylimyx0例 求函数f(x)C(C为常数)的导数解limf(xx)f limCC C

求函数yx3在x=1处的导数解

(1x)3

3x3(x)23

例 求函数f(x)xn(nN)在x=a处的导数n limf(x)f limn

x x

x

xlim(xn1axn2a2xxnan1yx(为常数(x)

x x

x (x2x

x 11x (xx

3

xx xx

4 x 例 求函数f(x)sinx的导数 limf(xh)f limsin(xh)sin

lim2cosxhsin

x

2

cos2 22

2 即

(sinx)cos(cosx)sin(ex)(lnx)x例 求函数f(x)a(ex)(lnx)x解limf(xhf(x)

axh

h ah

a

ax axln

例 求函数f(x)logax(a0,a1)的导数 limf(xh)f(x) limloga(xh)loga a x x log1a x x lim lim

设函数y=f(x)在点x0的左侧[x0(x0)有定义，若极限

x,x0]limy

f(x0x)f(x0x0 x0 f(xx0的f(x0)f(x0)x0

f(x0x)f(x0定理1yf(x在点x0处可导的充分必要条件是函数yf(xx0处的左、右导数都存在且相等.f(x0)f(x0)说明yf(x(abf(af(b都存在，则称f(x[ab上可导例 证明函数f(x)|x|在x=0处不可导f(0h)fh |h|f(0h)fh hlimf(0h)f(0)1f limf(0h)f(0)1f

f(0)f(xx0处不可导四、导数的几何意yyf(xx0

Cyf(xTx TxM(x0,y0) f(x0

x0yf(xM(x0,y0处的切线方程yy0f(x0)(xx0M(x0,y0yf(xM处的f(x00

yy0

f(x0

(x

(f

)说明①、f(x00

xyy0②、若f(x0,xxx0例 求等边双曲线y1在点1,2处的切线2 2 解y1x2

x2

x2

2y24x 2 4 y21x4

4xy4即2x8y1532 问曲线y3x哪一点有垂直切线？哪一点处的切线与直线y1x1平行？写出其切线方程.32y(y(x

1x3

33

故在原点(00x3令33

1, x1,y1,3则在点(1,1),(1,1)处与直线y1x1平行的切线方程 y11(x1), y11(x1)3 x3y2五、函数的可导性与连续性的关定理 如果函数y=f(x)在点x0处可导，则它注意该定理的逆命题不成立 y|x|x0处连续，但不可导.limf(x)limx0 limf(x)lim(x)0 这说明函数y|x|x0处连续，7x=0处不可导.

yy|x 例 f(x)xsinx

x xx0处的解sin1xlimxsin10 由limf(x)0f(0f(xx0处连续x0 (0

0

sin x0时，极限不存在，f(xx0推论yf(xx0x0处不可导例 sinx

xf(x)

xx0处的解

limsinx10f f(xx0处不连续，x0处不导数的实质增量比的极限f(x0) :可导必连续,但连续不一定可导(logx)

(x)(lnx) xln (ax)axlna

(ex)

ex

不连续,一定不可导.作 1、f(x0)f(x0h)f(x0)

f(x

f(x0h)f