山东省淄博市郭庄一贯制学校2023年高二数学理下学期期末试卷含解析

山东省淄博市郭庄一贯制学校2023年高二数学理下学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.4×5×6×…×n=（）A．A B．A C．A D．（n﹣4）!参考答案：A【考点】D4：排列及排列数公式．【分析】利用排列数公式直接求解．【解答】解：在A中，=n×（n﹣1）×…×6×5×4=4×5×6×…×n，故A正确；在B中，=n×（n﹣1）×…×6×5=5×6×…×n，故B错误；在C中，=n×（n﹣1）×（n﹣2）×（n﹣3），故C错误；在D中，（n﹣4）!=1×2×3×…×（n﹣1），故D错误．故选：A．2.已知集合，集合，则A∩B=（

）A.{2,3} B.{－2} C.(－2,0) D.{－2,0}参考答案：D【分析】化简集合B，根据交集的定义写出A∩B即可．【详解】集合A＝{﹣2，0，2，3}，B＝{x|x2+2x≤0}＝{x|﹣2≤x≤0}，则A∩B＝{-2，0}．故选：D．【点睛】本题考查了集合的化简与交集的运算问题，是基础题目．3.若“对任意的实数，不等式均成立”是假命题，则实数的取值范围（

）

参考答案：D4.已知，猜想的表达式为（）A. B.C. D.参考答案：B∵∴，即.∴数列是以为首项，为公差的等差数列.∴∴故选B.5.已知M（－2，0），N（2，0），|PM|－|PN|=4，则动点P的轨迹是：

（

）

A、双曲线

B、双曲线左支

C、一条射线

D、双曲线右支参考答案：C6..若函数在点处的切线与垂直,则=(

)A.2 B.0 C. D.参考答案：D【分析】先求出导函数，求出值从而得到切线的斜率，根据两直线垂直斜率乘积为-1建立等式关系，解之即可求出a的值，再根据切点在函数图象上求出b的值，从而求出所求.【详解】，，即函数在点处的切线的斜率是，直线的斜率是，所以，解得.点在函数的图象上，则，，所以D选项是正确的.7.直线（a为实常数）的倾斜角的大小是(

)A．30° B．60° C．120° D．150°参考答案：D考点：直线的倾斜角．专题：计算题．分析：由已知中直线的方程，可以求直线的斜率，进而根据直线斜率与倾斜角的关系，可以求出直线倾斜角的大小．解答：解：∵直线（a为实常数）的斜率为﹣令直线（a为实常数）的倾斜角为θ则tanθ=﹣解得θ=150°故选D点评：本题考查的知识点是直线的倾斜角，其中根据直线方程求出直线的斜率是解答本题的关键8.下列各组函数中，表示同一函数的是（）A.与 B.与C.与 D.与参考答案：D【分析】通过求定义域，可以判断选项A，B的两函数都不是同一函数，通过看解析式可以判断选项C的两函数不是同一函数，从而只能选D．【详解】A．f（x）=x+1的定义域为R，的定义域为{x|x≠0}，定义域不同，不是同一函数；B.的定义域为（0，+∞），g（x）=x的定义域为R，定义域不同，不是同一函数；C．f（x）=|x|，，解析式不同，不是同一函数；D．f（x）=x的定义域为R，的定义域为R，定义域和解析式都相同，是同一函数．故选：D．【点睛】考查函数的定义，判断两函数是否为同一函数的方法：看定义域和解析式是否都相同．9.方程表示的曲线是（

）A．两条互相垂直的直线

B．两条射线

C．一条直线和一条射线

D．一个点参考答案：C10.命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是（

）

A.任意一个有理数，它的平方是有理数

B.任意一个无理数，它的平方不是有理数

C.存在一个有理数，它的平方是有理数

D.存在一个无理数，它的平方不是有理数

参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知定义在R上的函数f（x）满足f′（x）﹣f（x）=（1﹣2x）e﹣x，且f（0）=0则下列命题正确的是．（写出所有正确命题的序号）①f（x）有极大值，没有极小值；②设曲线f（x）上存在不同两点A，B处的切线斜率均为k，则k的取值范围是；③对任意x1，x2∈（2，+∞），都有恒成立；④当a≠b时，方程f（a）=f（b）有且仅有两对不同的实数解（a，b）满足ea，eb均为整数．参考答案：①②③④【考点】命题的真假判断与应用；利用导数研究函数的极值．【分析】由已知中函数f（x）满足f′（x）﹣f（x）=（1﹣2x）e﹣x，可得f（x）=xe﹣x，f′（x）=（1﹣x）e﹣x，逐一分析四个命题的真假，可得答案．【解答】解：①∵f′（x）﹣f（x）=（1﹣2x）e﹣x，∴f（x）=xe﹣x，f′（x）=（1﹣x）e﹣x，令f′（x）＞0，解得：x＜1，令f′（x）＜0，解得：x＞1，∴函数f（x）在（﹣∞，1）递增，在（1，+∞）递减，∴函数f（x）的极大值是f（1），没有极小值；故①正确；②∵k=f′（x）=（1﹣x）e﹣x，∴f″（x）=e﹣x（x﹣2），令f″（x）＞0，解得：x＞2，令f″（x）＜0，解得：x＜2，∴f′（x）在（﹣∞，2）递减，在（2，+∞）递增，∴f′（x）最小值=f′（x）极小值=f′（2）=﹣，而x→∞时，f′（x）→0，∴k的取值范围是；故②正确；③结合①②函数f（x）在（2，+∞）上是凹函数，∴恒成立，故③正确；④当a≠b时，方程f（a）=f（b），不妨令a＜b，则a∈（0，1），则ea∈（1，e），又有ea为整数．故ea=eb=2，同理a＞b时，也存在一对实数（a，b）使ea=eb=2，故有两对不同的实数解（a，b）满足ea，eb均为整数．故④正确；故答案为：①②③④12.已知复数，其中i是虚数单位，则复数z的实部为__________.参考答案：【分析】通过分子分母同时乘以分母的共轭复数化简，从而得到答案.【详解】由题意复数，因此复数的实部为.【点睛】本题主要考查复数的四则运算，实部的相关概念，难度不大.13.若，，，则a，b，c按从大到小的顺序排列依次为______．参考答案：【分析】可看出，从而比较出a，b，c的大小．【详解】解：，，；

．

故答案为：．【点睛】本题考查指数函数和对数函数的单调性，根据单调性比较数的大小的方法．14.椭圆3x2+4y2=12的焦距为

．参考答案：2【考点】椭圆的简单性质．【专题】计算题．【分析】将椭圆3x2+4y2=12的方程标准化，即可求得答案．【解答】解：∵3x2+4y2=12，∴+=1，设半焦距为c，则c2=4﹣3=1，∴c=1，2c=2．故答案为：2．【点评】本题考查椭圆的简单性质，考查对椭圆的标准方程中各字母的几何意义，属于简单题．15.已知a.b为正实数，则的大小关系为

。参考答案：略16.已知直线y=x+b与圆x2+y2﹣2x+4y﹣4=0相交于A，B两点，O为坐标原点，若?=0，则实数b的值为．参考答案：1或﹣4【考点】直线与圆的位置关系．【分析】将直线方程代入圆的方程，利用韦达定理，及以AB为直径的圆过原点，可得关于b的方程，即可求解，注意方程判别式的验证．【解答】解：由直线y=x+b与圆x2+y2﹣2x+4y﹣4=0，消去y，得2x2+（2+2b）x+b2+4b﹣4=0①设直线l和圆C的交点为A（x1，y1），B（x2，y2），则x1、x2是①的两个根．∴x1x2=，x1+x2=﹣b﹣1．

②由题意有：OA⊥OB，即x1x2+y1y2=0，∴x1x2+（x1+b）（x2+b）=0，即2x1x2+b（x1+x2）+b2=0③将②代入③得：b2+3b﹣4=0．

解得：b=1或b=﹣4，b=1时，方程为2x2+4x+1=0，判别式△=16﹣8＞0，满足题意b=﹣4时，方程为2x2﹣6x﹣4=0，判别式△=36+32＞0，满足题意所以满足条件的b为：b=1或b=﹣4．故答案为1或﹣4．17.命题使的否定是

参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.设,在平面直角坐标系中,已知向量,向量,,动点的轨迹为E.（1）求轨迹E的方程,并说明该方程所表示曲线的形状;（2）已知,证明:存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与轨迹E恒有两个交点A,B,且(O为坐标原点),并求出该圆的方程;(3)已知,设直线与圆C:(1<R<2)相切于A1,且与轨迹E只有一个公共点B1,当R为何值时,|A1B1|取得最大值?并求最大值.参考答案：解析：（1）因为,,,所以,

即.当m=0时,方程表示两直线,方程为;当时,方程表示的是圆当且时,方程表示的是椭圆;当时,方程表示的是双曲线.(2).当时,轨迹E的方程为,设圆心在原点的圆的一条切线为,解方程组得,即,要使切线与轨迹E恒有两个交点A,B,则使△=,即,即,

且,要使,

需使,即,所以,

即且,

即恒成立.所以又因为直线为圆心在原点的圆的一条切线,所以圆的半径为,,所求的圆为.当切线的斜率不存在时,切线为,与交于点或也满足.综上,存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且.(3)当时,轨迹E的方程为,设直线的方程为,因为直线与圆C:(1<R<2)相切于A1,由（2）知,

即

①,因为与轨迹E只有一个公共点B1,由（2）知得,即有唯一解则△=,

即,

②由①②得,

此时A,B重合为B1(x1,y1)点,由

中,所以,,B1(x1,y1)点在椭圆上,所以,所以,在直角三角形OA1B1中,因为当且仅当时取等号,所以,即当时|A1B1|取得最大值,最大值为1.19.在一个不透明的箱子里装有5个完全相同的小球，球上分别标有数字1、2、3、4、5．甲先从箱子中摸出一个小球，记下球上所标数字后，再将该小球放回箱子中摇匀后，乙从该箱子中摸出一个小球．（Ⅰ）若甲、乙两人谁摸出的球上标的数字大谁就获胜（若数字相同为平局），求甲获胜的概率；（Ⅱ）若规定：两人摸到的球上所标数字之和小于6则甲获胜，否则乙获胜，这样规定公平吗？参考答案：【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【专题】概率与统计．【分析】（1）由题意知本题是一个古典概型，列举出所有的基本事件，列举出满足条件的事件，根据古典概型的公式，得到结果．（2）根据古典概型公式算出两人摸到的球上所标数字之和小于6则甲获胜，否则乙获胜，把所得结果进行比较，得到结论．【解答】解：用（x，y）（x表示甲摸到的数字，y表示乙摸到的数字）表示甲、乙各摸一球构成的基本事件，则基本事件有：（1，1），（1，2）、（1，3）、（1，4）、（1，5）、（2，1）、（2，2）、（2，3）、（2，4）、（2、5）、（3，1）、（3，2）、（3，3）、（3，4）、（3、5）、（4，1）、（4，2）、（4，3）、（4，4）、（4，5）、（5，1）、（5，2）、（5，3）、（5，4）、（5，5）共25个；（1）．则事件A包含的基本事件有：（2，1）、（3，1）（3，2）（4，1）（4，2）、（4，3）、（5，1）、（5，2）、（5，3）、（5，4）、共有10个；则．）（2）．设：甲获胜的事件为B，乙获胜的事件为C．事件B所包含的基本事件有：事件B所包含的基本事件有：（1，1），（1，2）、（1，3），（1，4），（2，1），（2，2），（2.3），（3，1），（3，2），（4，1）共有10个；则P（B）==所以P（C）=1﹣P（B）=1﹣=．因为P（B）≠P（C），所以这样规定不公平．【点评】本题考查概率的意义和用列举法来列举出所有的事件数，本题解题的关键是不重不漏的列举出所有的事件数．20.已知在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（θ为参数），直线l经过定点P（2，3），倾斜角为．（1）写出直线l的参数方程和圆的标准方程；（2）设直线l与圆相交于A，B两点，求|PA|?|PB|的值．参考答案：【考点】QH：参数方程化成普通方程．【分析】（1）把曲线C的参数方程利用同角三角函数的基本关系消去θ，化为普通方程为x2+y2=16①，再依据条件求得直线l的参数方程．（2）把直线的参数方程代入①得，③，可得t1t2=﹣3，再由|PA|?|PB|=|t1||t2|=|t1t2|，求得结果．【解答】解：（1）把曲线C的参数方程为（θ为参数），利用同角三角函数的基本关系消去θ，化为普通方程为x2+y2=16①，直线l的参数方程为②．（2）把②代入①得，③，设t1，t2是方程③的两个实根，则t1t2=﹣3，所以|PA|?|PB|=|t1||t2|=|t1t2|=3．21.在极坐标系中，已知圆C的圆心C，半径为1．Q点在圆周上运动，O为极点．求圆C的极坐标方程．参考答案：【考点】