决策理论的基本模型讲义

第三讲：决策理论的基本模型

主要内容：1.决策的基本模型2.个体偏好假设

3.效用存在性定理4.相关问题讨论

1.决策的基本模型

不确定性下的决策通常可用下述两个模型之一描述。1）概率模型(ProbabilityModel)；2）状态变量模型(State-variableModel)。在每一种模型中，我们所说的决策者都是在彩票(lotteries)中进行选择的人，两者的区别仅在于其对彩票的定义不同。在概率模型中，彩票是彩金的概率分布；而在状态变量模型中，彩票是从可能状态集到彩金集的函数。这两个模型各自有其最为合适的应用领域。概率模型适用于描述彩金依赖于具有明显客观概率的事件这一类的赌博，我们称这样的事件为客观未知(objectiveunknowns)事件。这类赌博有安斯库姆和奥曼(1963)的“轮盘彩票”(roulettelotteries)和奈特(Knight，1921)的“风险”(risk)等。例如，依赖于掷一枚匀质的硬币、轮盘的自旋，或者从装有同样大小而颜色不同的球的瓮中随机地抽取一个球(各色球的总体已知)之类的赌博都可以用概率模型充分地描述。在概率模型中，用到一个重要的假定是：

就决策的目的而言，具有相同概率分布的两个客观未知是完全等价的。例如，如果用“以各自l／2的概率得到100美元或0美元的彩金”来描述一张彩票，我们假定彩金是由掷一枚匀质的硬币来决定还是由从一个装有50个白球和50个黑球的瓮中抽取一个球来决定，都是无关紧要的。许多事件不具有明显的的概率，如一个未来来运动赛事的的结果或者股股票市场未来来的行情等，，这类事件我我们称为主观未知(subjectiveunknowns)事件。例如，安斯库库姆和奥曼(1963)的“赛马彩票”(horselotteries)或奈特特(1921)的“不确确定性”(uncertainty)都相当于于是依赖主观观未知事件的的赌博。上述事件可用用状态变量模模型来描述，，因为该模型型允许我们描描述彩金是如如何由不可预预见事件决定定的，而不必必事先对这些些事件明确其其概率。对于任何一个个有限集Z，用表表示集Z上的概率分布布集，即用X表示决策者最最终可能获得的彩彩金(prize)所组成的的集；用表表示示可能的状态(state)所组成的的集，其中之之一将是世界界真实状态(truestateoftheworld)。。为了简化描述述，我们假定定X和两两者都是有限限集。我们将彩票定定义为某个函函数f，对X中的每个彩金金s和中的的每个状态t，f都给出一个非非负实数，，使得得对中中的每个t都有令L表示所所有这这样的的彩票票所组组成的的集合合，即即对中中的任任一状状态t和L中的任任一彩彩票f，表表示在在状态态t下由f确定的的X上的概概率分分布，，即因此，，这里里的每每个数数都都可以以被理理解为为：若t是世界界真实实状态态，则则由彩彩票f得到彩彩金x的客观观条件件概率率是。为使上上述解解释合合乎情情理，，状态必必须被被定义义得足足够的的广泛泛，以致致于包括所所有可可能影影响到到彩金金获得得的主主观未未知事事件。从而，，一旦旦确定定了状状态，，余下下的只只是客客观概概率，，而对于任任何一一个规规范界界定的的赌博博而言言，其其可能能彩金金集的的客观观概率率分布布总是是可以以被计计算出出来的的。因此，，我们们对彩彩票的的上述述规范范定义义，可用于于表示示任何何一个个彩金金既依依赖于于客观观未知知事件件又依依赖主主观未未知事事件的的赌博博。所以以，概概率模模型和和状态态变量量模型型中的的彩票票都只只是上上述彩彩票的的特例例。我们所所说的的彩金可可以是是任何何的商商品组组合或或资源源配置置。我们们假定定，定定义X中的彩彩金时时，已已经使使得这这些彩金是是互不不相同同的，且穷尽了了决策策者各各种决决策的的可能能结果果。更进一一步，，我们们假定定X中的一一个彩彩金表示了决策策者在由其其决策导致致的局势中中他所关心心的各方面面的一个完完备描述。因而，给定决策者者关于世界界真实状态态的任一信信息，他应应该能给出出其在彩票票集上的偏偏好序。决策者关于于世界真实实状态可能能拥有的信信息可以用用一个事件件(event)来来描述，每个事件件都是的的一个非空空子集。用用表示所有事事件组成的的集，则对于L中的任意两两个彩票f和g，以及中中的的任一事件件S，当且仅当当，如果决决策者知道道了世界真真实状念在在S中，则对他他来说，f至少是和g一样的理想想选择时，，则有也就是说，，当且仅当当决策者在在只知道事事件S已经发生而而又必须在在f和g之间择其一一时，选择择了彩票f，才有应注意：对于中中任何何可能发生生的事件S，假定决策策者在彩票票集上都具具有定义完完善的偏好好。在决策理论论的一些论论述中，一一个决策者者的条件偏偏好是在做做任何观察察之前，由由他所确定定的先验偏偏好(用贝贝叶斯公式式)推导而而来的，但但是，这种种推导不能能在先验概概率为0的的事件下给给出彩票的的优劣关系系。在博弈论的的领域内，，这一疏漏漏并不像看看上去那样样无关紧要要。Kreps和wilson，(1982)已经证明明，一个理理性决策者者在观察到到零概率事事件后的信信念和偏好好特征对分分析一个博博弈可能会会起到至关关重要的作作用。为了解释释上述定定义，考考虑从一一个瓮中中取一个个球，瓮瓮中黑球球的比例例是，，白白球的比比例是(1－)。设想想若取出出的是黑黑球，则则决策者者赌f，而若取取出的是是白球，，则这个个决策考考将赌g。于是，如如果t是真实状状态，该该决策者者最终得得到彩金金x的概率是是因而，表示这个个基于f和g，并按照照这个随随机的彩彩票选择择过程而而生成的的复合彩票票。对任一彩彩金x，我们令令[x]表示示一个总总是肯定定给出彩彩金x的彩票。。即对每每个状态态t有：2个体偏偏好假设一个理性决决策者的偏偏好所应满满足的一些些基本性质质可以用以以下公理3.1～3.8表示示。公理3.1A(完完备性)：：公理3.1B(传传递性)：：公理3.1A和3.1B断定定了偏好在彩票集上上构成完备备的传递序序。公理3.2(相关关性)：公理3.2断言，只有可能状状态才是与与决策者相相关的，因此，给给定事件S，对于只在在S以外的状态态有所不同同的两个彩彩票对决策策者而言将将是无差异异公理3.3(单调调性)：公理3.3认为：得到一个较较好的彩票票的概率总总是越高越越好。公理3.4(连续性性)：基于公理3.3、公公理3.4可以认为为：总是随着增增大而连续续地变得越越来越好，，因此，对偏好次序序介于f和h之间的任一一彩票，总总存在某个个由f和h随机化产生生的一个复复合彩票与与之一样好好。公理3.5A(客观观替代性)：公理3.5B(严格格客观替代代性)：：公理3.6A(主观观替代性)：公理3.6B(严格格主观替代代性)：：替代性公理理(也被称称为独立性性公理或肯肯定性公理理)在下述述意义上或或许是公理理系中最最重要的——个：即使没有其其他的公理理，替代性性公理也能能对决策者者偏好应具具有的性质质产生很强强的限制。。上述公理表表达了这样样的思想：：即如果决策策者必须在在两个选择择中取其一一，又存在在两个互斥斥事件且其其中之一必必然发生，，而他在每每个事件下下都偏好于于第一个选选挥，那么么，在知道道哪个事件件发生之前前，他一定定偏好于第第一个选择择(否则，他他将表现出出一种偏好好，按照这这种偏好，，必然存在在某个事件件使得他在在知道该事事件是真实实的之后，，他肯定想想颠倒偏好好顺序而偏偏好于第二二个选择)。公理3.7(利害性性)：公理3.7要求决策者绝不不会对所有有的彩金都都是无差异异的。该公理只是是一个正则则性条件以以保证在每每个状态下下决策者都都会多少有有点利害关关系发生。。公理3.8(状态中中性)：：公理3.8断言，决策者在世世界所有状状态下对客客观赌博总总是具有相相同的偏好好序。如果上述公公理不成立立，那是因因为同样的的彩金在不不同的状态态下可以有有不同的评评价值。3.3效效用存在性性定理上的一个条条件概率函函数(conditional-probabilityfunction)是是任何一个个这样的函函数：它能对中中的每每个状态t和每个事件件S都具体指定定非负的条条件概率，，且使使得给定任一这这样的条件件概率函数数，有定理公公理3.1～3.7同时满满足的充要要条件是存存在一效用用函数和一个条件件概率函数数使得(3.1)式、、(3.2)式和(3.3)式成立。。定理3.2公理3.1～3.8同时满足足的充要条条件是：式式(3.1)～(3.3)对一个状状态独立的的效用函数数也成立。。为了能在实实践中应用用上述结论论，我们需需要一个对对所有x、t和S来确定效用用和概率的的程序。。雷费(1968)证证明：上述述程序确实实存在，它它们构成了了实际决策策分析的基基础。2.4相相关问题讨讨论1）决策者者的目标决策者追求求期望效用用最大化而而非期望货货币最大化化。考察Ellsberg游戏。。连续掷一枚枚匀质的硬硬币，直到到出现反面面为止。若若连续出现现正面的次次数为n，则掷硬币币者可得元元现现金。Ellsberg游游戏的期望望现金收益益趋于无穷穷大，但现现实中很少少有人愿意意出较大的的一笔钱（（如50元元）去玩该该游戏。2）贝叶叶斯决策模模型的不足足（1）效用用函数的不不适用性。。考察一个著著名的悖论论——Allais悖论。这此人或许许感到1200万美美元明显地地好于100万美元元，所以，，与与相相比，彩彩金低些的的彩票即使使中彩概率率稍稍高一一点也是没没有吸引力力的。另一方面，，它们宁可可按受，，中肯定的的100万万美元，而而不愿意接接受，，即即以1％的的概率一无无所获作为为代价去换换取10％将其其彩金从100万美美元提高到到1200万美元的的诱惑。上述偏好无法法用任何效用用函数去解释释。这是因为为：（2）主观概概率的不适用用性。考察下列悖论论——Raiffa悖论论。假设A表示美州队将将在下一次全全明星赛(美美国棒球赛事事)中获胜这这个状态，而而N表示联盟队将将在下一次全全明星赛中获获胜这个状态态(假设这两两个队中间必必然有一个队队在全明星赛赛中获胜)。。许多对美国捧捧球赛几乎一一无所知的人人都表示如下下偏好：也就是说，他他们将严格地地偏好通过掷掷一枚公正的的硬币并以100美元赌赌正面朝上胜胜于以100美元赌全明明星赛中哪个个队会获胜。。这样的偏好好是不能用上上任何何主观概率分分布来解释的的。由于中中至少有一个个状态的发生生概率必定大大于或等于0.5，故赌赌这个状态下下胜队所给出出的期望效用用一定至少与与赌掷一枚公公正的硬币所所给出的期望望效用一样大大。事实上，注意意（3）决策模模型的不适用用性。考察卡尼曼——特弗斯基悖悖论。比较下列选择择情形。情形A：你准准备观看戏剧剧表演，为此此你已经花40美元买了了一套票，在在你将到剧院院之际，突然然发觉票从口口袋中丢失了了，你必须决决定是再花40美元去另另买一套票(还有类似座座位的票出售售)还是简单单地回家。情形B：你准准备到剧院观观看演出，票票的价格是每每套40美元元，你没有事事先买好票，，而在临行时时放了40美美元在口袋中中，在你将到到剧院之际，，突然发觉钱钱从你的口袋袋中丢失了，，你必须决定定是用赊帐卡卡(尚在)买买票还是简单单地回家。正如卡尼尼曼和特特弗斯基基所指出出的，大大多数人人都说在在情形A中他们们会简单单地回家家，但在在情形B中会买买票。然然而，在在这两种种情形的的每一种种情形中中，由两两个选择择所得到到的最后后结果都都是：要要么观看看演出并并支出了了80美美元，要要么没有有观看演演出而支支出了40美元元。对于现有有的决策策模型（（即期望望效用最最大化）），只要要它假定定在这两两种情形形中，决决策者所所关心的的所有因因素只是是货币财财富水平平和戏剧剧消费水水平，都都不可能能对这样样的行为为做出解解释。3.凸凸出扰动动分析某给定决决策问题题的一个个扰动(perturbation)就是是任何另另一个(在某种种意义上上)与之之非常相相似的决决策问题题。对任何一一个给定定的决策策问题，，如果实实际面临临这个决决策问题题的人很很可能会会采取其其在某个个扰动决决策问题题中一样样的行动动，我们们就说这这个扰动动是凸出出的(salient)。当人们发发现某个个决策问问题难以以理解而而且扰动动情形又又与他们们通常体体验的情情形很相相像时，，这个决决策问题题的特定定扰动可可能也是是凸出的的。如果我们们能对个个人决策策问题的的凸出扰扰动进行行预测，，那么在在这个凸凸出扰动动中最大大化决策策者期望望效用的的决策可可能会是是对其行行为的一一个准确确预测。。重新考虑虑前述赌赌美国全全明星赛赛哪个队队会获胜胜的问题题。假设以下下彩票集集被无增加加信息地地提供给给决策者者，也就就是当决决策者被被提供上上述选项项时，没没有关于于状态集集中真实实状态的的任何新新的信息息。在一般情情况下，，人们只只有在拥拥有一些些特殊信信息或信信念时才才去打赌赌。因此此，对于于某个对对棒球赛赛知之其其少的人人来说，，当有人人提供给给他的打打赌选项项中有赌赌美州队队胜这个个选择时时，他通通常会认认为：对对方（赌赌项提供供者）有有信息表表明美州州队可能能会输。。因此，一一个去赌赌全明星星赛中某某方获胜胜的机会会应该(由贝叶叶斯公式式)让一一个对棒棒球赛一一无所知知的人降降低其对对该方获获胜的主主观概率率，因此此他可能能更愿意意去赌一一枚公正正的硬币币。在受控实实验中，，实验对对象被尽尽可能无无信息地地提供赌赌项，其其至被告告知这些些赌项是是无附加加信息地地提供的的。但这这会被实实验对象象认为是是很不自自然的，，以致实实验对象象反而会会以为：：实验人人员只会