微积分在经济学中的应用

..XX学院本科毕业设计<论文>一元函数微积分在经济学中的一些应用学生__王芳学号：200950811专业：数学与应用数学年级：2009级指导齐秀丽副教授SuihuaUniversityTheApplicationofUnaryFunctionCalculusinEconomicsStudentnameWangFangStudentnumber200950811MajorMathematicsandAppliedMathsSupervisingteacherQiXiuliSuihua..目录摘要……………………….ⅠAbstract……………………..Ⅱ第1章一元函数微分学在经济分析中的两种应用………………....…....1第1节导数在边际分析中的应用………2第2节导数在弹性分析中的应用……………………....6第2章一元函数积分学在研究经济函数时的一些应用…………….....10第1节定积分在研究经济函数时的一些应用………..10第2节不定积分在研究经济函数时的一些应用……..13结论………………………16参考文献……………………17致谢………………………18..摘要高等数学与经济学是当今世界发展不可缺少的两个组成部分,随着世界经济的不断发展及数学理论的不断完善,数学与经济学的关系也越来越紧密．尤其是21世纪以来,随着世界经济的迅猛发展,数学知识在经济学领域中所占有的地位也越来越突出．本文针对高等数学中一元函数微积分理论在经济学中的部分应用进行简单的概括分析．通过边际分析、弹性分析等知识的应用,进一步了解一元函数微分学在经济学中的重要作用．通过研究一元函数积分学中的定积分与不定积分在经济学中的应用,加强对在经济学中运用数学知识的了解,从而深化对数学知识和经济学知识的认识,并掌握数学知识求解经济学问题的一些简单方法．关键词：边际分析；弹性分析；一元函数微分学；一元函数积分学AbstractHighermathematicsandeconomicsaretwoindispensablecomponentsoncurrentworld’sdevelopment,withthecontinuousdevelopmentofworldeconomyandthecontinuousimprovementofthemathematicaltheory,mathematicsandeconomics’relationshipisbecomingmoreandmorecloser．Especiallysincethe21stcentury,withtherapiddevelopmentofworldeconomy,mathematicalknowledge’spossessionofstatusisbecomingmoreandmoreoutstandinginthefieldoftheeconomics．Thisarticleisaimedattomakesimplesummaryanalysisintheunaryfunctiontheoryofcalculusthatisbelongedtotheadvancedmathematics,andwhichpartialapplicationineconomics．BytheanalysisofMarginal,theanalysisofElastic,tomakeafurtherunderstandontheimportantroleofunaryfunctiondifferentialcalculusineconomics．Bystudyingtheapplicationoftheindefiniteintegralanddefiniteintegralwhicharepartoftheintegralcalculusineconomics,strengthentheunderstandingofmathematicalknowledge’sfunctionineconomics,soastodeepentheunderstandingofmathematicalknowledgeandknowledgeofeconomics,andmastersomesimplemethodofmathematicalknowledgetosolvetheeconomicproblems．Keywords:Marginalanalysis;Elasticanalysis;Unaryfunctiondifferentialcalculus;Unaryfunctionintegralcalculus..第1章一元函数微分学在经济分析中的两种应用随着世界经济的不断发展,数学知识对经济领域相关问题的研究越来越发挥出不可替代的独特作用．一元函数微分学是数学中的一个重要分支,也是解决经济学问题的重要工具之一．微分学理论是自研究物体运动的瞬间速度问题和求一般曲线上某点处的切线问题开始建立,并逐渐完善起来的．因此,导数能反映某一变化过程中函数的因变量相对于其自变量的变化快慢程度．函数在点的导数是从因变量在以和为端点的区间上的平均变化率出发,在时,平均变化率的极限值即为．其严格的数学定义为定义1[1]设函数在点的某个邻域内有定义,当自变量在处取得改变量时,相应的因变量取得的改变量为．如果极限存在,则称函数在点处可导,并称此极限值为函数在点处的导数,记作,即,也可记为,,．将导数的概念引进经济学之后,对经济学问题的分析与研究产生了很大影响．利用导数可以定量分析很多以前无法分析的经济学问题．导数在经济学中的应用不仅为一些经济学问题的求解提供了更为简便的方法．导数在经济学中最常见的应用是边际问题和弹性问题的分析．对于企业来说,边际问题和弹性问题与其决策和发展息息相关．本章将从导数在边际分析中的应用、在弹性分析中的应用两个方面来介绍一元函数微分学在经济分析中的一些应用．第1节导数在边际分析中的应用1.1导数在边际成本中的应用根据经济学理论,成本函数可表示为,其中为固定成本,为可变成本,为产量．显然,产量发生改变时,会引起可变成本的改变,从而引发总成本的变化．有时需要研究当产量自某一水平开始再多生产一个单位产品<或少生产一个单位产品>的话,所引发总成本的增加量<减少量>,即为总成本对产量的导数,称之为边际成本．它反映了总成本对产量的变化率．用来表示,则边际成本的经济学意义是当产量为时,每再多生产一个单位产品所增加的成本,即边际成本在数值上等于第个产品的成本[2]．例1设总成本关于产量的函数为,需求量关于价格的函数为,并设此时市场达到均衡且生产的商品全部卖出,试求边际成本．解由边际成本的定义可知,边际成本等于总成本函数的导数,即．因此,函数的边际成本为．由得到其反函数．又由于此时市场达到均衡,可知需求量等于销售量．根据题意,销售量等于产量,则,可得．由例1可以看出当产品的固定产量不同时,增加单位产品的产量,会使产品的总成本发生变化．由定义可知边际成本为总成本函数的导数．同时可知产品价格不同时,也会使边际成本发生变化．在边际成本与价格的关系式中,边际成本函数是价格函数的反函数．当价格增加时,边际成本将减少,同样,当价格减少时,边际成本将增加．利用边际成本可以得到成本的最小值,同时也可以得出利润的最大值,从而使得企业可以实现在生产过程中所追求的最大利益．1.2导数在边际收益问题中的应用在销售过程中,总收益函数是关于销售量的函数,当销量达到某一值时再多销售<少销售>一单位产品就会引起收益的相应变化．定义1设销售某产品的总收益函数为<是销售量>,则对其自变量的导数称为边际收益．它反映了总收益对销售量的变化率．其经济意义为近似等于销售量为单位时,再多<或少>销售一个单位产品所引起的收益的变化量．根据以上分析可得出在销售量为时,若,则总收入将增加；在销售量为时,若,则总收入将减少；在销售量为时,若,则总收入不变．设产品的需求函数为,其中表示价格．由于当价格上涨时需求量一般会减少,因此此时产品的需求函数是其价格的减函数,其反函数也是单调递减的函数,即价格是关于销量的减函数．假定总收益等于出售产品的数量与单位产品价格的乘积,则可知每出售单位产品时总收益为,根据边际收益的定义,利用微分学中乘积函数的求导法则,其边际收益为．<1.1>由其可得到以下经济学研究的结论<1>若产品的价格与其销售量无关,即价格为常数时,则,该产品的边际收益等于价格．这种情况只有在完全竞争市场的短期均衡条件下才会出现．<2>由上述公式<1.1>可知由于是减函数,根据微分学理论,有,对于任意的销售量,都有,因此边际收益小于价格．这种情况是在非完全竞争市场,即垄断市场情况下才会发生的．根据曼昆的经济学原理,当一个垄断者增加一个单位产量时,他就必须降低对所销售的每一个单位产品收取的价格,而且,这种价格下降减少了他已卖出的各单位产品的收益,因此,垄断销售的边际收益小于其价格．边际收益在经济学中的应用十分广泛,利用边际收益可以预测产品的收益,从而预算出获得最多利益所需要生产产品的数量,根据微分学原理所做的边际收益分析可以使利益达到最大化．例2已知某种产品的市场需求量为,该产品的价格与其需求量的关系为,试求该产品的边际收益．解由于该产品的需求量为,用表示得．因此,根据总收益公式可知．根据<1.1>可知,边际收益为．根据以上例题可知当销售量时,再多生产一个产品,总收益将增加；当销售量时,再多生产一个产品,总收益将减少；当销售量时,再多生产一个产品,总收益将不变．1.3导数在边际利润中的应用边际利润是指产品的销售收入与相应的变动成本之间的差额．边际利润在经济学中的作用十分重要,其定义为定义2设利润函数<为产量或销售量>,则的导数即为边际利润,即．<1.2>边际利润反映了利润对产量或销量的变化率,其经济意义为近似等于当产量或销售量为单位时,再多生产或销售一个单位产品时商品所增加<或减少>的利润．由于总利润等于总收入与总成本之差,即,故,即边际利润等于边际收益与边际成本之差．例3某企业对产品进行分析后指出,总收入<万元>与每月产量<吨>的函数关系为,试确定当每月产量为、、时的边际利润．解根据<1.2>可知,边际成本为边际利润函数的导数,即表示产量为单位时,总利润的变化率．依题可知：,则当、、时,有；；．因此,由上述结果表明,当产量为每月时,再增加产品,产品的利润将增加万元；当产量为时,再生产产品,产品的利润不变；当产量为每月时,再增加产品,产品的利润将减少万元．从以上例子中我们可以看出,当企业投资决策时,利用边际利润对将要投资的项目进行分析,可以避免盲目投资给企业带来的损失,使得企业在未来的发展中拥有更美好的前景．另外,若企业同时从事多种产品的加工生产,也可以通过边际利润进行分析,使得生产转向利润较大的产品,从而提高企业的经济效益．运用以微分理论支撑的边际分析知识对经济学中的问题进行分析,不仅可以减少企业损失、增加企业利润,还可以使得企业的资金流向更加合理,从而提高企业的经济效益．不仅利于企业本身的发展也为整个市场经济的运行提供了保障．第2节导数在弹性分析中的应用在经济学中,与导数有着密切联系的另一个概念是弹性．弹性是定量描述一个经济变量对另一个经济变量变化的反应程度的函数．在经济学中,弹性主要用于对生产供给、需求问题的研究．弹性在数学中的严格定义为定义3设函数在点处可导,函数的改变量与自变量的相对改变量之比,称为函数从到两点的相对变化率．当时,的极限,即在处的相对变化率,称为在点处的弹性,记作或,即．在经济学中,弹性的种类有很多,其中价格弹性是最常用的弹性概念之一．本节我们主要讨论需求弹性和供给弹性．2.1导数在需求弹性中的应用需求弹性表示的是某种商品的需求量<因变量>对它的影响因素<自变量,如价格>变动的反应程度[3]．影响商品需求的重要因素有很多,如价格、消费者的收入等,都是影响商品需求的重要因素,因此需求函数的种类也有很多,其中常用的有三种,即需求价格弹性、收入弹性、交叉弹性,下面主要介绍导数在需求价格弹性中的一些应用．顾名思义,需求价格弹性指的是某商品的需求量对其价格变动的反应程度．它可以用价格系数来表示．需求弹性的数学定义为定义4设人们对某种商品的需求量为,其价格为,则该商品的需求价格弹性为．<1.3>一般来说,市场对多数商品的需求量是其价格的减函数,因此一般为负,由,可知,当价格上升百分之一时,需求量减少百分之．例1设甲、乙两家公司同时生产同种产品,市场上对甲公司产品的需求函数为,对乙公司产品的需求函数为,两公司的销售价格分别为元,元．求甲乙两公司的需求价格弹性,并说明其经济学意义．解由,,得,．从而市场上对该产品的饱和需求量为．根据导数与需求弹性的公式<1.3>可知,甲公司的需求弹性为,由于,所以当,该产品价格上涨时,需求量将下降．乙公司的需求价格弹性,由于,所以当,该产品价格上涨时,需求量将下降．2.2导数在供给弹性中的应用供给弹性表示一定时期的一种商品的供给量的相对变动对于该商品的价格的相对变动的反应程度[4]．其中,供给弹性是用来表示商品供给量的变动率对于价格的变动率的反应程度的．若供给函数为,则供给价格弹性记做,定义为．<1.4>一般地,假设函数是单调增加的,由于,,,所以供给价格弹性取正值,供给价格弹性简称供给弹性[5]．例2市场需求函数为,市场供给函数为,当市场达到均衡<需求量等于销售量>时,供给弹性是多少？解由于供给弹性是供给函数的导数,根据<1.4>及已知条件可知,因此,供给弹性为．因为市场均衡时即为市场对该产品的需求量等于销售量,即时达到市场均衡,因此知,解得,<舍>,于是,即市场均衡时供给弹性为．影响产品供给弹性的因素有很多,例如当增加产品所需消耗的生产要素费用过大时,该产品的弹性系数较小,反之则较大．此外,生产产品的时间长短也是影响产品供给弹性的因素之一,若短时期内厂商只能在固定的厂房设备下增加产量,此时供给量变化有限,则该产品弹性较小,反之较大．从本章可见,一元函数微分学在经济学问题的研究中,尤其是边际分析和弹性分析的计算中,有着很重要的用途．利用一元函数微分学求解经济学问题,不仅是对数学理论本身的完善和发展,也是一个企业谋求发展时不可缺少的途径．对于一个企业来说,进行边际分析和弹性分析都非常重要,企业如果离开边际分析而盲目进行生产,就会减少企业收益,造成不必要的损失；而如果离开弹性分析就会使利润无法达到最大化．利用导数得出的客观数据,有助于企业做出正确的决策．第2章一元函数积分学在研究经济函数时的一些应用积分学是高等数学的重要组成部分之一．在本章中我们主要介绍一元函数的定积分和不定积分在经济学中的一些应用．第1节定积分在研究经济函数时的一些应用定积分的数学定义为定义1[6]设函数在有定义,任给一个分法和一组取点,有积分和．若当时,积分和存在有限极限,设,且常数与分法无关,也与在内的取法无关,即,,,,总有||,则称函数在可积,是函数在的定积分,记为．若当时,积分和不存在极限,则称函数在上不可积．1.1利用变上限积分求经济函数定义2设在区间上连续,对于任意的,积分存在,则称是积分上限的函数．所谓经济函数一般指第一章所提到的总成本函数、总利润函数以及总收益函数,由第一章可知经济函数的导数即为边际函数,因此,可以利用定积分求出边际函数的原函数,即经济函数．利用定积分求经济函数,就是已知边际经济函数<经济函数的变化率>,用变上限的定积分来确定它的一个原函数．在经济学中常遇到的求经济函数问题有下列几种[7]1．已知某产品的边际成本<表示产量>,固定成本为,则<1>总成本函数；<2.1><2>累计产量从到<>的总成本为．2．已知某产品的边际收入为<表示销量>,则<1>销售个单位的产品的总收入函数为；<2.2><2>累计销售量从到时的总收入为．3．总收入扣除总成本为利润,所以边际利润边际收边际成本．若已知边际收入为<表示产量>,边际成本为<表示销量>,在产量无积压<>时,则有<1>所获总利润函数为；<2>当累计产量从增加到过程中所获总利润为．例1已知某公司的边际成本函数为,该公司的边际收益函数为,固定成本是万元,试利用定积分求该公司的成本函数和收益函数．解因为边际成本函数为,所以根据<2.1>可知成本函数为．令,则．又因固定成本为万元,即<万元>,,所以,当时,可知,因此得<万元>,故所求成本函数为<万元>．因为边际收益函数为,所以根据<2.2>可知．故所求的收益函数为．1.2利用定积分求经济函数的最大值、最小值利用定积分求经济函数的最大值与最小值,即利用边际经济量求出极值点,然后再根据定积分求出经济量的最大值或最小值．首先要求得经济函数的导数,若函数在点处的导数满足,且二阶导数,那么为函数的极大值点．若函数在点处的导数满足,且二阶导数,则为函数的极小值点．若一函数有多个极大<小>值点,则将的值代入原函数进行比较,其得数最大<小>的点为最大<小>值点[8]．例2某种产品生产件的边际成本为元,固定成本元,又知每件产品的零售价为元,试求产量为多少时利润最大？最大利润值是多少？解因为变上限的定积分就是被积函数的一个原函数,因此可变成本就是总成本函数的变化率在上的定积分,又知固定成本为元,所以根据<2.1>有总成本函数．设销售件产品的收入函数为,依题意有:．利润函数为．由,得,又因为,说明为极大值点,因为函数只有一个极大值点,所以也是函数的最大值点．即产量为时,获得的利润最大,最大利润为<元>,即产量为时可获得的最大利润为元．从以上例子中可以看出,利用定积分研究经济函数,有助于实现利润的最大化．第2节不定积分在研究经济函数时的一些应用不定积分是微积分的重要组成部分之一,不定积分在经济学中的应用也是十分广泛的．不定积分的数学定义为定义3设函数在区间有意义,存在函数,对,有,则称函数是在区间上的原函数,或简称是的原函数．函数在区间的所有原函数称为函数的不定积分,记为,其中称为被积函数,称为被积表达式,称为积分常数．在经济应用中,可对已知的某种经济函数求导,从而求其边际函数；反过来,也可以对已知的边际函数计算其不定积分,而求其总量经济函数．利用不定积分求经济函数的问题,最常见的有三种<1>已知边际成本函数,求总成本函数．设用函数表示边际成本函数,表示平均成本,为产量,为总成本,则,<2.3>因此总成本为．<2>已知边际收益函数,求总收益函数．设某种商品的产量为个,用表示边际收益函数,则可知总收益函数为．<3>已知总产量的变化率,求总产量．设某产品在时间的总产量的变化率为,则总产量函数为．下面对已知边际成本函数,求总成本函数的问题做以举例说明．例1设已知某厂的边际成本函数,假设该产品产量为时,平均成本为,试求：<1>平均成本函数；<2>总成本函数；<3>产量为多少时,平均成本最低．解由于平均成本是边际成本的原函数,所以对边际平均成本函数积分便可以得到平均成本函数,因此有<1>根据<2.3>可知．由题设,则,解得．这样,平均成本函数为．<2>因为总成本函数等于平均成本函数与产量的乘积,即,所以．<3>由极限存在的必要条件可知,平均成本最低的条件是,则令,得,<舍>．因此,当产量为时,成本最低．从本章可见,一元函数积分学在经济学中的应用十分普遍且起到重要作用,尤其是在已知边际函数求原函数的问题中．利用一元函数积分学可以方便快捷的求出原函数,使得经济问题的求解方法更加多样化．同时,也使数学领域中一元函数积分学的运用范围更加广阔．结论一元函数微积分是高等数学中的一个重要分支,一元函数微积分在经济学中拥有不可替代的作用．运用微积分知识解决经济学问题,不仅是微