2019届高考数学(文)二轮复习提优导学案(江苏专用)第1部分专题3不等式第1讲基本不等式与线性规划

第1讲基本不等式与线性规划【课前热身】第1讲基本不等式与线性规划(本讲对应学生用书第23~24页)y，-x2y，x-1y0所表示的平面地区的面积为.1.(必修5P77练习2改编)不等式组(第1题)1【答案】4【分析】作出不等式组表示的可行域如图中暗影部分所示，由题意知xB=1，xC=2.由1111解得yD=2，所以S△BCD=2×(xC-xB)×2=4.

y-x2，yx-1，2xy，4x-y，12.(必修5P90习题6改编)若x，y知足拘束条件x-2y，则z=x+y的最小值是.2(第2题)【答案】2【分析】作出不等式组表示的平面地区如图中暗影部分所示.由z=x+y，得y=-x+z.令z=0，画出y=-x的图象，当它的平行线经过点A(2，0)时，z获得最小值，最小值为z=2.13.(必修5P91习题5改编)已知函数f(x)=x+x-2(x<0)，那么f(x)的最大值为.【答案】-411(-x)【分析】由于x<0，所以f(x)=-(-x)-2≤-2-2=-4，当且仅当-x=-x，即x=-1时取等号.11y33x+的最小值为.4.(必修5P101习题2改编)若x>0，y>0，且logx+logy=1，则23【答案】31111123·【分析】由log3x+log3y=1，得x·y=3，所以x+y≥2xy=23=3.x255.(必修5P91习题3改编)函数y=x24的最小值为.5【答案】21【分析】设t=x24(t≥2)，易知y=t+t在[2，+∞)上是单一增函数，所以当t=x24=2，即5x=0时，ymin=2.【讲堂导学】运用基本不等式求最值1例1(2019·泰州期末)若正实数x，y知足(2xy-1)2=(5y+2)(y-2)，则x+2y的最大值是.1【点拨】设x+2y=z进行整体代换.【剖析】办理双元最值问题，常用消元法或整体法，也能够建立方程转变成方程有解去1办理.如此题，思虑方向一，能够设x+2y=z，代入以后转变成对于y的方程(4z2-5)y2-8(z-1)y+8=0在[2，+∞)上应有解，由Δ≥0解出z的范围，并考证最大值建立；思虑方向二，消去x再用基本不1等式去办理；思虑方向三，经过等比中项，引用一个新的参数q，把x+2y用q来表示后再整理求最值.32【答案】2-11【分析】方法一：令x+2y

=z，则2xy=2yz-1，代入(2xy-1)2=(5y+2)(y-2)，整理得(4z2-5)y2-8(z-1)y+8=0（*），由题意得y-2≥0，该方程在[2，+∞)上有解，故Δ≥0，即64(z-1)2-32(4z2-5)≥0，32化简得2z2+4z-7≤0，故0<z≤-1+2.32查验：当z=2-1时，方程(*)可化为(17-122)y2-(122-16)y+8=0，122-168此时y1217-1221217-122>4，+y=>0，y·y=132故方程必有大于2的实根，所以x+2y的最大值为2-1.方法二：(2xy-1)2=(5y+2)(y-2)，21-即2y=

5111-2y2y，11151，所以2-y，x-2y2+y成等比数列，1设公比为q(q>1)，将x，y用q表示，13(q-1)32122132则x+2y=q2q-1-1，当且仅当q-1=q-1，即q=1+2=q-1+2≤22+1时等号建立.【评论】办理此类双元最值问题，要有方程、减元和整体意识，要多察看题中给出式子的结构特色及条件与所求的联系，要带着方向和目标去解题，并能娴熟掌握和运用不等式：aba2b2ab2a2b2ab≤2≤2(a，b>0)和ab≤2≤2(a，b∈R).21变式1(2019·天一中学)设x，y∈R，a>1，b>1，若ax=by=2，a+b=4，则x+y的最大值为.【答案】42121【分析】由于x=loga2，y=logb2，所以x+y=loga2+logb2=log2a2+log2b=log2(a2b).又4=a+b≥2ab，当且仅当a=b时取等号，所以a2b≤16，所以log2(a2b)≤4.变式2(2019·扬州期末)设实数x，y知足x2+2xy-1=0，则x2+y2的最小值是.【剖析】(1)注意到条件与所求均含有两个变量，从简化问题的角度来思虑，消去一个变量，转变成只含有一个变量的函数，进而求它的最小值.注意题中消去y较简单，所以应消去y.(2)由所求的结论x2+y2想到将条件应用基本不等式结构出x2+y2，而后将x2+y2求解出来.5-1【答案】21-x2【解析】方法一：由x2+2xy-1=0，得y=2x，从而1-x225x211515-141x2+y2=x2+2x=4+4x2-2≥216-2=2，当且仅当x=±5时等号建立.方法二：由x2+2xy-1=0，得1-x2=2xy≤mx2+ny2，此中mn=1(m，n>0)，所以(m+1)x2+ny2≥1，5-151令m+1=n，与mn=1联立解得m=2，n=2

1515-1，进而x2+y2≥2=2.变式3(2019·扬淮南连二调)设x，y，z均为大于1的实数，且z为x和y的等比中项，则lgzlgz4lgx+lgy的最小值为.9【答案】8【剖析】从求解的结构上看，属于基本不等式中“1”的代换的题型.lgzlgz1【分析】由题意得lgx>0，lgy>0，lgz>0，且z2=xy，进而lgz=2(lgx+lgy)，所以4lgx+lgy=lg11lgxlgy11z4lgx+lgy=·4lgxlgy2

51lgxlgy51lgxlgy9·=8+2lgy+4lgx≥8+2·lgylgx=8lgxlgy当且仅当lgy=4lgx，即y=x2时取等号.线性规划中的最值问题例2(2019·全国卷Ⅲ)若实数x，y知足拘束条件3【答案】2

x-y10，x-2y0，2y-20，则z=x+y的最大值为.，x-2y0【分析】作出不等式组表示的可行域如图中暗影部分所示.联立，x2y-20得11，2

13，当直线z=x+y过点A时，z获得最大值，所以zmax=1+2=2.(例2)变式1(2019·山东卷)若变量x，y知足拘束条件(变式1)

xy2，2x-3y，9，则x2+y2的最大值是.x0【答案】10xy，2【分析】作出不等式组表示的可行域如图中暗影部分所示，设z=x2+y2，联立2x-3y，9x，3得y，2=z过点(3，-1)时，z获得最大值，即(x2+y2)max=32+(-1)2=10.-1由图可知，当x2+yxy-3，0x-y-3，2xy0变式2(2019·苏州中学)若实数x，y知足拘束条件0y，则z=xy的最1小值为.(变式2)5【答案】3【分析】作出可行域如图中暗影部分所示，此中A(3，0)，C(2，1)，易知2y15，xyy13x=1+1z=x.基本不等式的实质应用例3(2019·南京学情调研)某市对城市路网进行改造，拟在原有a个标段(注：一个标段是指必定长度的灵活车道)的基础上，新建x个标段和n个道路交错口，此中n与x知足n=ax+5.已知新建一个标段的造价为m万元，新建一个道路交错口的造价是新建一个标段的造价的k倍.写出新建道路交错口的总造价y(单位：万元)与x的函数关系式；设P是新建标段的总造价与新建道路交错口的总造价之比，若新建的标段数是原有标段1数的20%，且k≥3，问：P可否大于20?并说明原因.【解答】(1)依题意得y=mkn=mk(ax+5)，x∈N*.方法一：依题意知x=0.2a.mxx0.2aa所以P=y=k(ax5)=k(0.2a25)=k(a225)a11a2525112332a≤3(a25)=a≤a=30<20.1答：P不行能大于20.方法二：依题意得x=0.2a.mxx0.2aa所以P=y=k(ax5)=k(0.2a25)=k(a225).1假定P>20，得ka2-20a+25k<0.由于k≥3，所以Δ=100(4-k2)<0，1所以不等式ka2-20a+25k<0无解，与假定矛盾，故P≤20.1答：P不行能大于20.【讲堂评论】1.若0<x<1，则当f(x)=x(4-3x)获得最大值时x的值为.2【答案】3113x4-3x242【分析】由于0<x<1，所以f(x)=x(4-3x)=3×3x(4-3x)3=3，当且仅当3x=4-3x，≤×2即x=3时取等号.112.(2019海·门中学)已知a>0，b>0，a，b的等比中项是1，且m=b+a，n=a+b，则m+n的最小值是.【答案】411=2a，所以m+n=2(a+b)≥4ab=4.【分析】由题意知ab=1，所以m=b+a=2b，n=a+b(2019北·京卷)若实数x，y知足拘束条件【答案】4

2x-y0，xy3，，x0则2x+y的最大值为.【分析】作出可行域如图中暗影部分所示，点A的坐标为(1，2)，目标函数z=2x+y变成y=-2x+z，当目标函数的图象过点A(1，2)时，z获得最大值4，故2x+y的最大值是4.(第3题)14.(2019扬·州期末)已知a>b>1且2logab+3logba=7，则a+b2-1的最小值为.【答案】31【分析】由于2logab+3logba=7，所以2(logab)2-7logab+3=0，解得logab=2或logab=3.由于a>b>1，1111所以logab∈(0，1)，故logab=2，进而b=a，所以a+b2-1=a+a-1=(a-1)+a-1+1≥3，当且仅当a=2时等号建立.5.(2019浙·江卷)在平面上，过点P作直线l的垂线所得的垂足称为点P在直线l上的投影，由地区x-20，xy0，x-3y40中的点在直线x+y-2=0上的投影组成的线段记为AB，则AB=.(第5题)【答案】32【分析】易知线性地区为图中三角形MNP(包含界限)，且MN与AB平行，故AB=MN，易得M(-1，1)，N(2，-2)，则MN=32，故AB=32.温馨提示：一鼓作气，事半功倍.请老师部署同学们达成《配套检测与评估》第9~10页.【检测与评估】专题三不等式第1讲基本不等式与线性规划一、填空题xy1.(2019福·建卷)若直线a+b=1(a>0，b>0)过点(1，1)，则a+b的最小值为.xy，2x-y，22.(2019苏·州暑期测试)已知变量x，y知足拘束条件0y，z=2x-y的最大值3则目标函数是.(2019山·东卷)若变量x，y知足拘束条件

y-x1，xy3，y1，则z=x+3y的最大值为.a4.(2019苏·锡常镇二模)已知常数a>0，函数f(x)=x+x-1(x>1)的最小值为3，则a的值为.5.(2019淮·阴中学)已知x，y∈R，且x2+2xy+4y2=6，则z=x2+4y2的取值范围是.6.(2019新·海中学)已知点P(x，y)到A(0，4)和B(-2，0)的距离相等，则2x+4y的最小值为.(2019全·国卷Ⅰ)某高科技公司生产产品A和产品B需要甲、乙两种新式资料.生产一件产品A需要甲资料1.5kg，乙资料1kg，用5个工时；生产一件产品B需要甲资料0.5kg，乙资料0.3kg，用3个工时.生产一件产品A的收益为2100元，生产一件产品B的收益为900元.该公司现有甲资料150kg，乙资料90kg，则在不超出600个工时的条件下，生产产品A、产品B的收益之和的最大值为元.axy1，8.(2019上·海卷)设a>0，b>0.若对于x，y的方程组xby1无解，则a+b的取值范围是.二、解答题9.(1)当点(x，y)在直线x+3y-4=0上挪动时，求3x+27y+2的最小值；(2)已知x，y都是正实数，且x+y-3xy+5=0，求xy的最小值.10.(2019苏·州一模)如图，某生态园将一三角形地块ABC的一角APQ开拓为水果园栽种桃树，已知角A为120°，AB，AC的长度均大于200m，此刻界限AP，AQ处建围墙，在PQ处围篱笆笆.(1)若围墙AP，AQ总长度为200m，怎样围可使得三角形地块APQ的面积最大?(2)已知AP段围墙高1m，AQ段围墙高1.5m，造价均为100元/m2.若围围墙花销了20000元，问怎样围可使篱笆笆用料最省?(第10题)11.(2019启·东中学)设x>0，y>0，a=x+y，b=x2xyy2，c=mxy(m∈N*).求证：若对随意正数x，y可使a，b，c为三角形三边，则m的取值会合为{1，2，3}.【检测与评估答案】专题三不等式第1讲基本不等式与线性规划一、填空题1111ababa+b·1.4【分析】依题意得a+b=1，所以a+b=(a+b)=1+b+a+1≥2+2ba=4，当且仅当a=b=2时等号建立.2.7【分析】作出可行域如图中暗影部分所示，可知当目标函数过点A(5，3)时，z获得最大值，所以zmax=2×5-3=7.(第2题)3.7【分析】作出可行域如图中暗影部分所示，当直线x+3y-z=0经过可行域内的点A时，z获得y-x，x，11最大值.联立xy，y，3解得2即A(1，2)，故zmax=1+3×2=7.(第3题)a4.1【分析】由于f(x)=x-1+x-1+1，且x-1>0，所以f(x)≥2a+1=3，当且仅当x-1=a，即x=a+1>0时取等号，此时a=1.x24y2x24y25.[4，12]【分析】由于2xy=6-(x2+4y2)，而2xy≤2，所以6-(x2+4y2)≤2，所以x2+4y2≥4，当且仅当x=2y时取等号.又由于(x+2y)2=6+2xy≥0，即2xy≥-6，所以z=x2+4y2=6-2xy≤12.综上可得4≤x2+4y2≤12.6.42【分析】由题意得点P在线段AB的中垂线上，则易得x+2y=3，所以32x+4y≥22x4y=22x2y=42，当且仅当x=2y=2时，等号建立，故2x+4y的最小值为42.1.5x0.5y，150x0.3y，905x3y，6007.216000【分析】设生产产品A、产品B分别为x件、y件，收益之和为z元，则xN，yN，，3xy300即

10x3y900，5x3y600，xN，yN，目标函数为z=2100x+900y.(第7题)作出不等式组表示的平面地区为图中暗影部分内(包含界限)的整点，即可行域.由图可知当直线z=2100x+900y经过点M时，z获得最大值.10x3y900，联立方程组5x3y600，得M的坐标为(60，100)，所以当x=60，y=100时，zmax=2100×60+900×100=216000.8.(2，+∞)【分析】将方程组中的第一个方程化为y=1-ax，代入第二个方程整理得(1-ab)x=1-b，该方程无解应当知足1-ab=0且1-b≠0，所以ab=1且b≠1，所以由基本不等式得a+b>2ab=2，故a+b的取值范围是(2，+∞).二、解答题9.(1)由x+3y-4=0，得x+3y=4，所以3x+27y+2=3x+33y+2≥23x?33y+2=23x3y+2=234+2=20，2当且仅当3x=33y且x+3y-4=0，即x=2，y=3时取等号，此时所求的最小值为20.(2)由x+y-3xy+5=0，得x+y+5=3