理论力学试题库

吉首大学物理与机电工程学院2023级物理学(师范)班 《理论力学教程》试题库整理版该试题库启用前绝] 注[02A表示02物师A卷以此类推。〔A〕[02A]一、填空题〔1020分〕1、作平面运动的质点的加速度在极坐标系下的重量表达式为ar

rr2,a

r2r；其中r为径向rr为横向速度的大小变化所引起的。d L L L L2、保守系的拉格朗日方程为

( ) 0，当

称为循环坐标，所对应的p守恒。

dt q q q

q二、选择题〔1020分〕1、两个质点分别为mm

的物体用一个倔强系数为k的轻弹簧相连，放在水平光滑桌面上，如下图，1 2xxx时，m〔D〕0 0 1〔A〕

2〕

2C〕

k xx2

〕

km xx22m 0 m 02

mm 0

m(m

m) 01 2 1 2 1 1 22、一个均质实心球与一个均质实心圆柱在同一位置由静止动身沿同一斜面无滑动地滚下，则〔D〕圆柱先到达底部。质量大的一个先到达底部。半径大的一个先到达底部。球先到达底部。同时到达底部。三、计算题〔2060分〕a(1e2)1、一个质点在有心力作用下沿椭圆r 运动，上式中r1ecos和是以椭圆焦点为原点，长轴为极轴的极坐标；ae表示偏心率(0e1)，证明质点在v“近日点”处和“远日点”处的速率之比为：1v2

1e1e解：由动量守恒r2h rh第1页，共13页吉首大学物理与机电工程学院2023级物理学(师范)班 《理论力学教程》试题库整理版v故在近日点处：1

0

h (1e)a(1e2)v2

h (1e)a(1e2)1 v 1v2

1e1e2、圆柱半径为R，质量为M，绕其轴作角速度为 的转动，然后将此圆柱0无初速放在摩擦系数为的水平桌面上，问圆柱何时开头作纯滚动？解：由质心运动定理和转动定理，物体的运动微分方程为c Mx fc d 1I

fR I MR2 fMgxc

gt2gtR 0g00当满足关系x R 时，园柱体作无滑滚动，由此可解出tc 3g3、轴为竖直而顶点向下的抛物线形光滑金属丝，以匀角速度绕竖直轴转动，另一质量为m的小环套在此金属丝上。并沿金属丝滑动，抛物线的方程为x2

4aya为常数，试求小环的运动微分方程。解：此题可用两种方法求解法一：用转动参照系的物理定律列出小环的运动微分方程如下mxm2xsinmyNcosmg

(1)(2)由〔2〕式Nmymgcos 〔3〕把〔3〕代入〔1〕可得：mxm2x(mymg)tg 〔4〕tg

dy，y

x2，y

2xx

xx，y

1x2

xx，dx 4a 4a 2a 2a 2a

x24a2

)xmx2

x4a2

mgm2x02ax第2页，共13页x吉首大学物理与机电工程学院2023吉首大学物理与机电工程学院2023级物理学(师范)班《理论力学教程》试题库整理版第第3页，共13页1法二：用拉格朗日方程求小环的运动微分方程1T m[(x2y2)2x2]. Vmgy21LTV m[(x2y2)2x2]mgy12又y

x2,4a2

y x，利用这些公式有12a11 x2 x2L m[x2(12 4a2

)2x2]mg

4a2d由拉格朗日方程

0可得

dt x xx2)xm

x2

xmgm2x04a2

4a2

2a理论力学〔卷B〕[02B]一、填空题〔1020分〕1、刚体作一般运动时，刚体内任意一点P 的速度为vvAd

r”

aa A

r”(r2rvadt A

r”表示P点相对于基点的位矢。2、虚位移是约束所许可的条件下，不是由于时间的转变所引起的位移；对稳定约束，实位移是虚位二、选择题〔1020分〕MkkMMka M2 k1、在以加速度a向上运动的电梯内，挂着一根倔强系数为k，质量不计的弹簧，弹簧下面挂着一质量为M的物体，M处于A点，相对电梯的速度为零，当电梯的加速度突然变为零后，电梯内的观测者看到MkkMMka M2 k〔A〕a

〔〕a 〕2a 〔〕

E〕上面四个答案都不对2、两人各持一均匀直棒的一端，棒重W，一人突然放手，在此瞬间，另一人感到手上承受的力变为〔B〕〔A〕W3， 〔B〕W4， 〔C〕W6，〔D〕W2， 〔E〕3W4三、计算题〔2060分〕1 k2m1、从有心力场中运动的质点的总机械能mr2r22 E动身，并利用在近日点处0,r02 r12Eh2m k 12Eh2m k 2mk2 1 h2 mk2解：由E mr22 m r 2 r2 r又r我们可得到：

p ,0,r p1ecos 1e1 h2 mk2(1e) h2E m2 p2

(1e)2 又p p

k2h21 Em

p2(1e)2(1e)可解出e 1

2E(h)2m k22、质量为m，长为2a的均匀棒AB，用铰链固定在A点，棒从水平位置在铅直面内无初速开头运动，当棒在重力作用下，通过与竖直位置成45时，求棒的角速度。1解：由机械能守恒2

I2

mgasin450m3 2g3 2g4a可解出

2 m(2a)2 ma21 3 31 3、在一光滑水平直管中，有一质量为m的小球，此管以恒定角速度绕通过管子的一端的坚直轴转动，a1解：小球确实定速度为vv”rxijxi)xixk1T m(x2x22),V021LTV m(x2x22)12d(L)L0dt x xL Lxmx,x可得mxmx20

〔C〕[03A]一、推断题〔对的打“√”,错的打“×”,2分〕1、切向加速度是由于速度的方向变化所引起的。2、保守力作功与路径无关。3、在有心力场中运动的质点动量守恒。4、内力不转变质点组的总动能。53。6、作用在刚体上的力可沿作用线移动而作用效果不变。7、假设作用在刚体上的全部外力的矢量和为零，则刚体处于平衡状态。8、轨道磨损和河岸冲刷是科里奥利力的影响。9、质点发生实位移是需要时间的。10、在稳定约束的状况下，实位移是虚位移中的一个。1×；2√；3×；4×；5√；6√；7×；8√；9√；10√二、填空题〔4分〕1、在自然坐标系下，质点的切向加速度为a

dv，法向加速度为adt

v2。2、在两个平动参照系之间的速度变换关系为vvv0

，加速度的变换关系为aaa。03、在有心力场中运动的质点所受的力矩为零，因而角动量守恒。4、当质点组所受合外力为零时，质点组的总动量守恒。5、当质点组的内力和外力都是保守力时，质点组的机械能守恒。三、选择题〔1〕〔1〕L

1mx2 kx2

〔2〕L mx2 〔3〕L kx2 〔4〕L011 2 2 2 211 2、一实心圆柱体，沿一斜面无滑动的滚下，以下说法正确的选项是〔1〕〔1〕机械能守恒，动量矩不守恒。 〔2〕质心动量守恒。〔3〕机械能不守恒，动量矩守恒。 〔4〕没有守恒量3、火车在平直轨道上以匀加速a向前行驶，在车中用线悬挂着一小球，当小球静止时，悬线与竖直线的0夹角可表达为〔2〕tg0 〔4〕tggg 0kmm4mm1 2

的两自由质点相互吸引，它们之间的引力势能为1

1 2，开头时，两质点皆处于静r2止状态，其间距离为a，当两点的距离为a时，质量为m2 1

的质点的速度为〔1〕2ka(m2ka(mm)1 21 2

；(2)vm2k2ka(mm)1 2

；(3)vm2k2kam1

；(4)vm 。2k2kam2四、计算题1、试导出下面有心力气值的公式

Fmh2dp22 dr

，式中

m为质点的质量，r为质点到力心的距离，hr2p为力心到轨道切线的垂直距离。解：由于质点在有心力场中运动，因此，质点的机械能守恒，角动量守恒，在极坐标系下，质点的机1械能可表达为：

mv2V(r)E2pvhv1

h，代入上式pmh2p2V(r)E2r

dv(r) 1

dp2把上式两边对

mh2dr 2 drdv 1

dp2又 F(r) ； F(r) mh2dr 2 dr2、一段半径R为的均质圆弧，绕通过弧线中心并与弧面垂直的轴线摇摆，求其作微振动的周期。解：首先求质心的位置设单位弧长的质量为，则质心的坐标为：yc

m

R2

2

Sin这样可求得悬挂点离质心的距离为：RycRyc其次求圆弧的转动惯量

I (2RSin)0 2

RdsR3(Co)4RSi)22m Sin又

，I0

2mR2((1 )I0mg由复摇摆的周期公式I0mg2Rg我们有：2Rg3、在一光滑水平直管中，有一质量为m的小球，此管以恒定角速度绕通过管子一端的竖直轴转动，假设a解：小球确实定速度为v2

x2x22因而动能为T势能为v01

1m(x2x22)2LTV m(x2x22)2d L Ldtxx

0mxmx20xx20。xAet

BetxAetBetat0xax0AB2a故小球沿管的运动规律线为x

(et2

et)acht〔D〕[03B]一、推断题〔,每题2分〕1、法向加速度是由于速度的大小变化所引起的。2、非保守力做功与路径无关。3、在有心力场中运动的质点角动量守恒，机械能守恒。4、内力不转变质点组的总动量。5、刚体作一般运动时，自由度是6。6、内力不转变质点组质心运动状态。7、假设作用在刚体上的全部外力的力矩的矢量和为零，则刚体处于平衡状态。8、由于地球是一个转动参照系，惯性离心力的作用将使重力加速度随着纬度而变化。9、自由落体偏东是科里奥利力的影响。10、虚位移是约束许可的条件下，可能发生的位移，是不需要时间的。1、×；2、×；3、√；4、√；5、√；6、√；7、×；8、√；9、√；10、√二、填空题〔4分〕1、在极坐标系下，质点的横向加速度为a

r2r。径向加速度为ar

rr2。2、相对性原理可表述为全部的惯性系对于描述力学现象都是平权的，等价的。3、由于有心力为保守力，因而机械能守恒。4、作定点转动刚体上任意一点的线速度与角速度的关系为vr。5、刚体的平衡条件为F0、M0。三、选择题〔5分〕〔2〕动量守恒，角动量守恒，机械能守恒。动量不守恒，角动量守恒，机械能守恒。角动量不守恒。〔4〕机械能不守恒。2、细杆绕通过杆的一端O点的水平轴转动，在重力作用下，当无初速地自水平位置转到竖直位置时，细杆的角速度为〔3〕〔1〕 g；〔2〕 3g2

； 〔3〕

3g；〔4〕6g。km6g。3mm1 2

的两自由质点相互吸引，它们之间的引力势能为1

1 2，开头时，两质点皆处于静r止状态，其间距离为a，当两质点的距离为

a时，质量为m2

的质点的速度可表为1〕2ka(m2ka(mm)1 21 2

vm2k2ka(mm)1 2

vm1 2

vm2kam2kam12kam24、自由质点在球坐标系下的拉格朗日量为〔V(r)〔〕1 1L

m(r2r22r2Sin22)V(r) 〔2〕L 2 211〔3〕L mr2 〔4〕L mr2Sin22112 2四、计算题〔115215310分〕1、小环的质量为m，套在一条光滑的钢索上，钢索的方程式为x2

4ay，试求小环自x2a处自由滑至抛物线顶点时的速度及小环在此时所受到的约束反作用力。解：小环的受力状况如下图，承受自然坐标，小环的运动微分方程为：mdvmgSindtmv2

RmgCosdvdvdsvdvdt dsdt dsSindydsmvdvmgdy， vdvgdyds ds2agv2agy(y(y”2)321

， yx

，y1y0y

2a 2a1，所以2a2aRmv2

ymgCos2mg2、矩形均质薄片ABCD，边长为a与b，重为mg，绕坚直轴AB以初角速转动。此时薄片的每一局部均受到空气的阻力，其方向垂直薄片的平面，其量值与面积及速度平方成正比，比例系数为k，问经过多少时间后，薄片的角速度减为初角速度的一半？解：由题意，把矩形薄片分成很多小窄条，对dx的窄条所受的阻力为Fkb(x)2dxdMz

kb2x3dxa 1Mz1

0

kb2x3dxd 1

kb2a44由转动定理：ma23t

kb2a4dt 44m3kba203、在极坐标系下，写出质点在平方反比引力场中的拉格朗日量，并推导出质点的运动微分方程。1解：在极坐标系下，粒子的动能为T

m(r2r22)2对于平方反比引力，势能为：V(r)mk2r 拉格朗日量为：L m(r2 r22)rqqL)Lq由拉格朗日方程 (dt

0有L L mk2 mk2rmr，

mr2r r2

，m(r2r2)r2L Lmr2，0d(mr20 mr2常数dt〔E〕[04A]一、推断题〔2〕1、作匀速圆周运动的质点的向心加速度，是由于速度的方向变化引起的。2、平方反比引力是保守力。3、在有心力场中运动的质点的角动量不守恒。4、对于质点组来说，全部内力的矢量和为零。5、内力对质点组质心的运动没有影响。6、作一般运动的刚体的自由度是37、刚体的重心和质心无论在什么状况下都是重合在一起的。吉首大学物理与机电工程学院2023级物理学(师范)班 《理论力学教程》试题库整理版8、假设质点相对于转动参照系静止，则科里奥利加速度为09、由于地球自转的影响，赤道处的重力加速度将大于地球两极的重力加速度。101、√；2、√；3、×；4、√；5、√；6、×；7、×；8、√；9、×；10、×二、填空题〔每题4分〕1、在极坐标系中，径向速度大小的变化所引起的加速度为r，横向速度大小的变化所引起的加速度为rr。2、惯性力的主要特点是没有施力者，没有反作用力。3、假设地球半径为6400km，重力加速度为9.8ms2，则第一宇宙速度的量值为7.9kms4、柯尼希定理表述为质点组的总动能等于质心的平动动能加相对质心系的动能_5、假设拉格朗日函数Lq

，则q

称为循环坐标。三、选择题〔每题5分〕1、在平方反比引力作用下，质点作平面运动，假设承受平面极坐标，则体系的拉格朗日函数为〔2〕1 mk2〔1〕L m(r2r22) 〔2〕L m(r2r22)2 r1 mk2 1

mk2〔3〕L mr2 〔4〕L mr222 r 2 r2、设v1

为第一宇宙速度，则其次宇宙速度为〔4〕〔1〕2v13v15v12v13、半径为a，质量为M的薄圆片，绕垂直于圆片并通过圆心的竖直轴以匀角速度转动，则绕此轴的〔2〕1 1 2 2J

Ma2， 〔2〕J Ma2，〔3〕J Ma2，〔4〕J Ma23 2 3 54、对于空间转动参照系，科里奥利力定义为〔3〕〔1〕v”， 2mv”

〔4〕mv”四、计算题〔151510分〕1ABCD，边长为ab，重为mg，绕竖直轴AB以初角速度0转动，此时薄片的每一局部均受到空气的阻力，其方向垂直于薄片的平面，其量值与面积及速度平方成正比，比例系数为k，问经过多少时间后，薄片的角速度减为初角速度的一半？解：如图示；对面元bdxFkbdx(x)2则力矩为Mz

a0a

x3dx

1kb2a44第10页，共13页吉首大学物理与机电工程学院2023级物理学(师范)班 《理论力学教程》试题库整理版1由转动定理：ma23

d 1 kb 2a4dt 4d3kba2dt 4 m1 11 2 3kba24 20 4 0 004mt3kba202W1

的木板受水平力F的作用在一不光滑的平面上运动， 板与平面间的磨擦系数为，在板上放一重为W2

的实心圆柱，此圆柱在板上滚动而不滑动，试求木板的加速度a。解：此为平面平行运动动力学问题，列出方程如下：fMa 〔1〕2c1ff MR2 〔2〕fR 2 2a aR 〔3〕cFf(M2

M)gma1 1由以上关系式可解出： FF(Wa 2

W) f1 gWW 31 23、半径为r的光滑半球形碗，固定在水平面上，一均质棒斜靠在碗缘，一端在碗内，一端则在碗外，在碗4(c22r2)内的长度为c，试用虚功原理证明棒的全长为c解：由虚功原理可得 Fi

rmgriirxiyj，mgmgj，wmgy0，y0y(2rcos

l)sin2ly2rsin2(2rcos )cos0l2l即2r(sin2cos2) cos02第11页，共13页吉首大学物理与机电工程学院2023吉首大学物理与机电工程学院2023级物理学(师范)班《理论力学教程》试题库整理版第第12页，共13页2r(12cos2)

lcos02l2r(2cos21)l

2 cos2rcos2c， cosc2r4(c22r2)c理论力学〔卷F〕[04B]该卷与“理论力学〔卷D”完全全都，详见卷D理论力学〔卷