2021年新高考高三八联考数学模拟试题与答案

2021年新高考高三八省联考数学模拟试题一选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．(1．(本题5分)已知集合A={x|-1<x<5},B=|x>。},则AB=()A．C．A．C．{x|0<x<5}D.{x|x>-1},nB.{x|0<x<5}12．（本题5分）已知复数数二.,则下列说法正确的是（2．A．复数z的实部为3A．复数z的实部为34B.复数z的虚部为声iC．34复数z的共轭复数为三十六，D.复数的模为1兀3．（本题5分）将函数f（x）=sin（2x+9）（0〈①〈兀）的图象向右平移43．（）g（X）=sin（2x+n）的图象，则函数f（x）的一个单调减区间可以为6（）A．［一，骂1212「n5nn

A．［一，骂1212「n5nn

B.[-,]

66C．n5n

I • I364．（本题5分）设f（x）“a+b>0”是“f(a)+f(b)>0”（）条件A．充分不必要B.A．充分不必要B.必要不充分C.充要D.既不充分也不必要.（本题5分）《算法统宗》全称《新编直指算法统宗》，是中国古代数学名著，程大位著.书中有如下问题：“今有五人均银四十两，甲得十两四钱，戊得五两六钱.问：次第均之，乙丙丁各该若干？”意思是：有5人分40两银子，甲分10两4钱，戊分5两6钱，且相邻两项差相等，则乙丙丁各分几两几钱？（注：1两等于10钱）（ ）A.A.乙分8两，丙分8两，丁分8两B.乙分8两2钱，丙分8两，丁分7两8钱C.乙分9两2钱，丙分8两，丁分6两8钱D.乙分9两，丙分8两，丁分7两.(本题5分)函数f(x)=249—x2的图像大致为()ex+e-x.(本题5分)已知点P为函数f(x)=Inx的图象上任意一点，点Q为圆x-(e+1]2+y2=1上任意_Ie)_一点，则线段pQ的长度的最小值为()TOC\o"1-5"\h\z. 弋e2+1-e222e2+1—e 八e—ee2—1 11 B. C. D.e+--1.(本题5分)已知f(x)是定义在[—1，1]上的奇函数，且f(—1)=-1,当a，b£[-1,1],且a+b丰0时，(a+b)(f(a)+f(b))>0成立，若f(x)<m2—2tm+1对任意的t£[—1,1]恒成立，则实数m的取值范围是( )A. (—8,-2) {0} (2,+8) B.(—8,—2) (2,+8) C, (—2,2) d. (—2,0) (0,2)二多选题：本题共Y小题，每小题5分，共20分!在每小题给出的四个选项中，有多项露题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分.一八」1节— .(本题5分)在x--的展开式中，下列说法正确的有( )I x)A.A.所有项的二项式系数和为64C.常数项为20B.所有项的系数和为0D.二项式系数最大的项为第4项上至少存在两个不同的，「兀上至少存在两个不同的，「兀c) 7兀点V-6,0)和直线x=五分别、/ 兀、.（本题5分）已知函数f（x）=srn（3x+⑺3>0,1⑺（不在区间V 2）『2满足f9f(x2)=1，且fG)在区间—上具有单调性，为f（X）图象的一个对称中心和一条对称轴，则下列命题中正确的是（）A.fG）在区间（］g］A.162；f（X）图象的一个对称中心为f亭,0,16JTOC\o"1-5"\h\z,，、，一、「兀兀］,…一，.一 1c.f（X）在区间--,-上的最大值与最小值的和为-■"I"_ 乙D.将f（X）图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再向左平移-个单位得到y=g（x）6的图象，则g（X）=—cosX11.（本题5分）下列结论正确的是（ ）A.若v是直线l方向向量，/1平面a，则九v（XeR）是平面a的一个法向量;\o"CurrentDocument"B.坐标平面内过点P（X,y）的直线可以写成A（X—x）+B（y—y）=0（A2+B2w0）；0 0 0 0—>C.直线l过点（-2,3）,且原点到1的距离是2,则l的方程是5X+12y—26=0；D,设二次函数y=（X-2019）（X+2020）的图象与坐标轴有三个交点，则过这三个点的圆与坐标轴的另一个交点的坐标为（0』）..（本题5分）已知数列｛an｝,“｝均为递增数列，"｝的前n项和为Sn,“｝的前n项和为Tn.且满足“〃十%讨=2n，bn讨=2n（neN），则下列说法正确的有（）A.0<a<1B,1<b1V尬 C,s2VTn D.S2>Tn三、填空题（本题共4小题，每小题5分，其中第16题分值分配为前3分、后2分，满分共20分）.（本题5分）下列命题：口p:VxeR,X2+x+1>0；口q:3X0eR,sinx0+cosx0=2；口r:Vxe（—8,0）,”>x+1；口s:若abw0,则aw0的否命题，其中正确的结论是.（填写所有正确的序号）.（本题5分）（a+2b—3c）6的展开式中ab2c3的系数为..（本题5分）如图，在四棱锥P—ABCD中，PA1平面ABCD,底面ABCD是直角梯形，AB//CD,AB1AD,CD=AD=<2AB=2,PA=3，若动点Q在△PAD内及边上运动，使得^CQD=/BQA,则三棱锥Q-ABC的体积最大值为.

1 1.（本题5分）对于正整数n,设％是关于x的方程-一logxn=n2+3n的实数根.记a二丁，其n x2 n+1 n 2xn中［x］表示不超过x的最大整数，则a= ；设数列｛a｝的前n项和为S则Ss~~=.1 n n22020四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.兀.（本题10分）在ABC中，A=~3,b=<2，再从条件①、条件①这两个条件中选择一个作为已知，求（口）B的大小；（①）ABC的面积.条件□:b2+*"ac=a2+c2；条件①:acosB=bsinA.A注：如果选择条件①和条件①分别解答，按第一个解答计分..（本题12分）已知数列｛a｝满足：a=1,'=-nr数列｛b｝是等比数列，并满足b=2，且b-1,n 1a n+1 n 1 1nb4,b5-1成等差数列.（1）求数列｛an｝,｛bn｝的通项公式；（2）若数列c=b，求数列｛c｝的前n项和s.na n nn19.（本题12分）如图所示的几何体中，BE±BC,EA±AC,BC=2,AC=2<2,ZACB=45,

19.AD//BC,BC=2AD•⑴求证：AE，平面ABCD；⑵若/ABE=60，点F在EC上，且满足EF=2FC,求二面角F—AD—C的余弦值.20．（本题12分）据相关部门统计，随着电商网购的快速普及，快递包装业近年来实现了超过50％的高速年均增长.针对这种大好形式,某化工厂引进了一条年产量为1000万个包装胶带的生产线.已知该包装胶带的质量以某项指标值志为衡量标准.为估算其经济效益,该化工厂先进行了试生产,并从中随机抽取了1000个包装胶带，统计了每个包装胶带的质量指标值左，并分成以下5组：［50,60）,［60,70），…，［90,100］,其统计结果及产品等级划分如下表所示：质量指标值k[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100]产品等级A级B级C级D级废品频数16030040010040试利用该样本的频率分布估计总体的概率分布,并解决下列问题（注：每组数据取区间的中点值）：（1）由频数分布表可认为，该包装胶带的质量指标值k近似地服从正态分布N（ji,o2），其中r近似为样本平均数亍，。近似为样本的标准差s，并已求得sx10.03.记X表示某天从生产线上随机抽取的30个包装胶带中质量指标值k在区间（50.54,80.63］之外的包装胶带个数，求P（X=1）及X的数学期望；（精确到0.001）（2）已知每个包装胶带的质量指标值k与利润》（单位：元）的关系如下表所示：“e（1,4））质量指标值k[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100]利润》5t3t21t-5et

假定该化工厂所生产的包装胶带都能销售出去，且这一年的总投资为5000万元（含引进生产线、兴建厂房等等一切费用在内），问：该化工厂能否在一年之内通过生产包装胶带收回投资？试说明理由.参考数据：若随机变量Z~NQe2),则P(N—o<zVR+O)=0..6827,P(口―2o<Z<^+2o)=1（〃〉b〉0）的离心率为亘2，其左、右焦点分别为F1,F2，点P为坐=0.9545,P(R-3o<Z=1（〃〉b〉0）的离心率为亘2，其左、右焦点分别为F1,F2，点P为坐.（本题12分）已知椭圆C:三十?a2b2八3 ____ 3标平面内的一点,且O二2，/PF2二-4,O为坐标原点.（1）求椭圆C的方程;（2）设M为椭圆C的左顶点，A,B是椭圆C上两个不同的点，直线MA,MB的倾斜角分别为。,3,八五 且。+3=万证明：直线AB恒过定点，并求出该定点的坐标.acosx.（本题12分）已知函数f（x）= +b（a,b①R）.xTOC\o"1-5"\h\z…c 兀（1）当a=1b=0时，判断函数fx）在区间（0,万）内的单调性acosx7,，/兀“兀 6 0（2）已知曲线f（x）= +b在点（-,f（-））处的切线方程为y=-X+2.\o"CurrentDocument"x 2 2 兀⑺求fx）的解析式3⑺判断方程f（X）=--1在区间（0,2扪上解的个数，并说明理由.2兀数学试题答案一选择题：本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.

|x>。},则AB=()1.(本题5分)已知集合A={x|-1|x>。},则AB=()A.{xx<A.{xx<5}B.{x|0<x<5}C.{C.{x0<x<5}D.{x|x>—1}【答案】C【解析】由已知得AB={x|0<x<5},故选c2.12.(本题5分)已知复数z二.’则下列说法正确的是()A.复数z的实部为3B.C.3 4.复数z的共轭复数为舌+泥D.复数的模为A.复数z的实部为3B.C.3 4.复数z的共轭复数为舌+泥D.复数的模为1【答案】C34【解析】由已知得z=--—I，3z的实部为行4 3 4. 1虚部为一玄，共轭复数为赤+—i,模为不为模为a，故选C兀3.(本题5分)将函数以x)=sin(2x+①)(0〈①〈兀)的图象向右平移4个单位长度后得到函数g(x)=sln(2x+n)的图象，则函数f(x)的一个单调减区间可以为( )6A.[二，骂1212【答案】a兀 仃【解析】由已知得f(x)=sin(2x+①)(0〈①〈兀)向右平移-个单位长度得到g(x)=sln(2x+^--)，所I 乙—— 2— 2- 2-x以9—-=—+2k—,9=2k—+2-(0<分<—),口中=2-,f(x)=sin(2x+--),f(x)的单调减区间是26 3 3 31 2兀 3_2k兀+-K<2x+——<2k兀+—兀…一1一,八一5一、，……，即k—-——<x<k—+——，A选项符合题意JL乙 JL乙4(本题5分)设f(X)=X3+lg\+寸X2+14则对任意实数a、b,"a+b>0”是“f(a)+f(b)>0”的()条件A.充分不必要 B.必要不充分 C.充要 D.既不充分也不必要【答案】C【解析】由已知得f(X)为奇函数，a+b>0,a>-b,f(a)>f(-b),即f(a)+f(b)>0，故选C.(本题5分)《算法统宗》全称《新编直指算法统宗》，是中国古代数学名著，程大位著.书中有如下问题：“今有五人均银四十两，甲得十两四钱，戊得五两六钱.问：次第均之，乙丙丁各该若干？”意思是：有5人分40两银子，甲分10两4钱，戊分5两6钱，且相邻两项差相等，则乙丙丁各分几两几钱？(注：1两等于10钱)( )A.乙分8两，丙分8两，丁分8两 B.乙分8两2钱，丙分8两，丁分7两8钱C.乙分9两2钱，丙分8两，丁分6两8钱D.乙分9两，丙分8两，丁分7两【答案】C【解析】由已知得五人共有40两银子，甲分10两4钱，戊分5两6钱，则中间一项丙分8两，乙与丁共有16两，乙与丁分钱和恰为丙的2倍，则丁分6两8钱，丙分8两，乙分9两2钱，故选C.(本题5分)函数f(x)=2x*9-x2的图像大致为()ex+e-x【答案】C【解析】由解析式可知得f(-x)=-22、：9-(-x8=-f(x)为奇函数，且定义域为L3,31，x>0，则中e-x+exf(x)>0恒成立，故选C

7.(本题5分)已知点P为函数fG)=Inx7.(本题5分)已知点P为函数fG)=Inx的图象上任意一点，点Q为圆「(1、］2上任意x-|e+-I+y2=1LIe力一点，则线段PQ的长度的最小值为()人\/e2+1-e 2弋2e2+1-eA. B. eee-ee2-1C^.【答案】A【解析】依题意，圆心为C(e+i,0)，设P点的坐标为(X,lnx)，由两点间距离公式得eIPC|2二… (八+ln2x,f(x)=X2-2e+-x+IeJ一一/1、f'(x)=2x-2e+-IeJ2lnx elnx一x+ =2(x-e)+ ,x exf'(x)=0,x=e,二——JVxJ'1—lnx /、lnx l、lnx= ,可知当xe(0,e),——递增，xe(e,+s),——递减，故当x=e时取得极x2 x x大值也是最大值为0,lnx-140，当x£(0,e),f'(x)<0,当xe(e,+s),f'(x)>0,f'(x)=0,x=exex£(0,e),f(x)单调递减，xE(e,+s),f(x)单调递增，口f(x)=f(e)=e2+1,线段PQ的长度的最min e2,'e2+1 e2+1-e小值为□ -1= ，故选Ae e9 10111213.(本题5分4已知f(x)是定义在［-1,11上的奇函数，且f(-1)=-1,当a,bg［-1,11,且a+b中0时，(a+b)(f(捞f(b))>0成立，若f(x)<m2-2tm+1对任意的t£【-1,1］恒成立，则实数m的取值范

A. (—8,—2) {0} (2,+8) B. (—8,—2) (2,+8) C, (-2,2) d. (—2,0) (0,2)【答案】BUU【解析】a,b£匚1,1],且a+b丰0时，(a+b)(f(a)+f(b))>0成立，则fG)为单调增函数(令a=%],b=—x2,则X],x2e[—1,1],(\—x2)(f(x)—f(x2))>0,)，若f(x)<m2-2tm+1对任意的t£[—1,1]恒成立，则f(x)<m2—2tm+1，即f(1)<m2—2tm+1，即Vte[—1,1]都有m2—2tm>0fg(1)>0令g(t)=m2—2tm>0，则g(t).>0,□< ,口me(—8,—2)(2,+8),故选bmin Ig(—1)>0U二多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分.一八」1节— .(本题5分)在x--的展开式中，下列说法正确的有( )I x)A.所有项的二项式系数和为64 B.所有项的系数和为0C.常数项为20 D.二项式系数最大的项为第4项【答案】ABD【解析】所有项的二项式系数和C6+C6+C2+C6+C4+C6+C6=26=64,令x=1,即可得到所有项的系数和为06=0,含有常数项为C3(x>1—J]=20,C0,C1,C2,C3,C4,C5,C6中最大的项为C3，第4项，，TOC\o"1-5"\h\z6Ix) 6666666 6故选ABD、＜ 兀)10.上至少存在两个不同的(本题5分)已知函数f(x)=sin(3x+⑺3＞0,1⑺10.上至少存在两个不同的\o"CurrentDocument"1 27『2满足于(x1)f(x2)=1，且于(x)在区间层联]上具有单调性，点[一卜卜口直线x=-12分别为f(x)图象的一个对称中心和一条对称轴，则下列命题中正确的是( )「兀兀、A.在区间I-,-A.1627B.f(x)图象的一个对称中心为f丝,0、I6 7C.f(C.f(x)在区间“a,— —，1上的最大值与最小值的和为-乙D.将f(x)图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，再向左平移-个单位得到y=gG)6的图象，则g(x)=—cosx【答案】BC-3TOC\o"1-5"\h\z3- 八7-3 - 4八1、-3【解析】由题意可知，一一+中=0,--+^=-+k兀，kGZ，即3=-(k+-)，6 12 2 3 22-T--「-、5--一..八- 。,、 ._ -、=x= 7^~—w=77，则k=1，此时3=2，①=不，f(x)=sin(2x+—)，23 212I3J12 3 32- - 4-—<22- - 4-—<2x+—<—33f(x)在区间上单调递减，故A错误，由2义59--. +—=20-，«一 --c- -5- - …-、图象的一个对称中心，故b正确，口xg——，—，2x+—G—6，—，f(x)mln=f(—4)二sln(――)=——，f(x) =f(TT')=sln7r=1，口最大值与最小值的和为t；■，故c正确，将f(x)图象上6 2max12 2 2所有点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，到y=sln(x+?)的图象，再向左平移-个单位，得到3 6-- -y=sin(x++—)=sin(x+)=cosx，即g(x)=cosx故D错误，BC正确6 3 2.(本题5分)下列结论正确的是( )A.若v是直线l方向向量，11平面a，则九v(九gR)是平面a的一个法向量；B.坐标平面内过点P(x0,y°)的直线可以写成A(x—x0)+B(y—y0)=0(A2+B2w0)；—►C.直线l过点(-2,3),且原点到1的距离是2，则l的方程是5x+12y—26=0；D,设二次函数y=(x-2019)(x+2020)的图象与坐标轴有三个交点，则过这三个点的圆与坐标轴的另一个交点的坐标为(0/).【答案】BD【解析】A、v是直线1方向向量，11平面a，则v是平面a的一个法向量；但入=0时，九v(九gR)为零向量，不是平面a的一个法向量B、过点P(x0,y0)的直线方程为Ax+By+C=0(A2+B2w0)可得Ax0+By0+C=0，即C=—Ax0—By0,代入直线方程得A(x—x)+B(y—y)=0(A2+B2w0)，故b正确；0 0

C、直线l方程为过点C、直线l方程为过点y—3=k(x+2)，原点到/的距离是2，5x+12y—26=0，故C不正确则d=02\"21+解得k=土-的方程是

12D、设二次函数y=(x—2019)(x+2020)的图象与坐标轴有三个交点分别为(2019,0)、(—2020,0)、(0,4078380)，由相交弦定理得：2019x2020=ax2019x2020，解得：a=1，故另一个交点坐标为(0,1)，故D正确.(本题5分)已知数列“｝,"｝均为递增数列，"｝的前n项和为Sn, 的前n项和为Tn.且满TOC\o"1-5"\h\z足an+an+1=2n，人；bn+1=2n(n£N)，则下列说法正确的有( )D.S2户2nA.0<a1<1B,1<b1V21 C,SD.S2户2n【答案】ABC【解析】解:□数列｛a｝为递增数列，n口aVaVa，又①a【解析】解:□数列｛a｝为递增数列，na+a>2a\a+a>2a\1 2 1a+a>2a=4一4a23 2 10Va1V1，故A正确.又口｛bn｝均为递增数列，口b又口｛bn｝均为递增数列，口bVb2Vb3,b>b12 1[b3>b2又口T—b+b+…+b―(b+b+b5+…+b )+(b+b+…+b)—b(2n—1)b(212—1—1)，□对于任意的n£n*,S2nVT2故C正确，D错误.□S=(a+a)+(a+a)+,,,+(a +a)=2+6+10+…+2(2n—1)—2n2□b-b―2n(n£N)□<12

nn+1 bb—4□1Vb1V<2，故B正确.三、填空题(本题共4小题，每小题5分，其中第16题分值分配为前3分、后2分，满分共20分)13.(本题5分)下列命题：口p：vx£R,x2+x+1>0；□q:3x0£R,sinx。+cosx0=2；□r:Vx£(—s,0),ex>x+1；□s：若ab丰0,则a丰0的否命题，其中正确的结论是.(填写所有正确的序号)【答案】□口

【解析】口A=1—4<0,x2+x+1>0为真命题，口sinx+cosx=V2sinx+-使得sinx°+cosx0=2,为假命题，口g(x)=s—(x+1),g(x)'=e—1,当xe(—s,0),g'(x)<0,g(x)单调递减，g(x)>g(0)=0,即ex>x+1为真命题，□若ab中0,则a丰0的否命题是若ab=0,则a=0为假命题14.（本题5分）Q+2b-3c）6的展开式中ab2c3的系数为【答案】-6480【解析】有关ab2c3的项为。a-C2(2b)2-C3(—3c)ab2c3=60・(2》•(一3)3ab2c3=—6480ab2c315.（15.（本题5分）如图，在四棱锥P一ABCD中，PA±平面ABCD，底面ABCD是直角梯形，AB//CD,AB1AD,CD=AD=&AB=2,PA=3，若动点Q在^PAD内及边上运动，使得"QD=ZBQA,则三棱锥Q一ABC的体积最大值为.【答案】【分析】根据题意推出AB1QA,CD1QD,再根据/CQD=/BQA推出QD=2AAQ,在平面PDA内，建立直角坐标系求出Q点轨迹是圆（x—3）2+y2=8在三角形PDA的边上或内的弧，从而可求出点Q到DA的距离最大为2，即三棱锥Q-ABC的高的最大值为2，再根据三棱锥的体积公式可求得结果.【解析】因为PA1平面ABCD，所以平面PAD1平面ABCD，因为AB//CD,AB1AD，所以AB1平面PAD,CD1平面PAD,因为Q在^PAD内及边上，所以AB1QA,CD1QD，所以tan/CQD=DQ,tanBQA=QA，因为ZCQD=/BQA，所以CDAB=，因为CD=2,AB=v2,DQQA所以QD=22AQ，在平面PDA内，以DA的中点为原点，线段DA的垂直平分线为丁轴，建立平面直角坐标系：则D(—1,0), A(1,0), P(1,3)，设P(x, y)，则|DQI=、J(x+1)2+y2 ,|QA 1=式x-1)2 + y2，由

QD=2AqAQ得\；(x+1)2+y2=21•式x—1)2+y2，化简得(x—3)2+y2=8,所以。点轨迹是圆(x-3)2+y2=8在三角形pda的边上或内的弧，如图所以，当Q为圆(x—3)2+y2=8与pa在x轴上方的交点时，点Q到DA的距离最大，令x=1，解得y=±2，所以点Q到DA的距离最大为2，也就是三棱锥Q—ABC的高的最大值为2，因为S八=1X、2x2=J2，所△ABC2以三棱锥Q—ABC的体积最大值为1X2X.；2=h2.故答案为：空.TOC\o"1-5"\h\z3 3 31 116.(本题5分)对于正整数n,设x是关于％的方程--logxn=n2+3n的实数根.记a二丁，其n x2 n+1 n 2xn中［x］表示不超过X的最大整数，则a= ；设数列｛a｝的前n项和为S则邪~=.1 n n22020【分析】(1)当n=1时，化简方程，通过构造函数的方法，找到函数零点的范围，进而求出结果1TOC\o"1-5"\h\z(2)令t=—，化简方程，通过构造函数的方法，找到零点的范围，即t得范围，分类讨论n为奇数n2x nn和偶数时an,求得结果.【答案】0 1010【解析】⑴当n=1时，:一性x=4,设f(x)=1-log2x-4单调递减，f(2)=1>0，f⑴=-3<0，1所以51所以5<x1<1,—<12x1a—[ ]=01 2x11(2)令t—-—，则方程化为：(2t)2+nlog2t—n2+3n，n2x n n+1n则f(x则f(x)在(0,+8)单调递增，—nlog n-3n<0；n+1令f(x)—(2x)2+nlog 2x-n2-3n，n+1n+1 nn+1f( )=1>0，由零点存在定理可得：3xg(-,——)，f(x)=0，2k-1当n—2k-1(kgN)，tg( ,k)，a=[t]—k-1+n2 nn2k+1当n=2k(kgN)，tg(k， )，a=[t]=k+n 2 nn所以当s2020—艺(k-1)+凭k=10102， =1010k—1 k—1

【点睛】关键点点睛：在平面PDA内，建立直角坐标系求出。点轨迹是圆(，-3)2+y2=8在三角形PDA的边上或内的弧，从而可求出点。到da的距离最大为2，即三棱锥Q-ABC的高的最大值为2，这是本题解题的关键，属于难题.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(本题10分)在ABC中，A=],b=<2，再从条件①、条件①这两个条件中选择一个作为已知，求(口)B的大小；(①)ABC的面积.LA条件□:b2+C2ac=a2+c2；条件□:acosB=bsinA.A注：如果选择条件①和条件①分别解答，按第一个解答计分.【答案】(①)B=3(①)3+13.44【分析】若选择条件□:b2+22aac=a2+c2.3(①)根据余弦定理求出B二-；再根据面积再根据面积(①)根据正弦定理求出a=<3，根据三角形内角和定理以及两角和的正弦公式求出sinC公式可得结果.再根据面积再根据面积若选择条件①:acosB=bsinA3(①)根据正弦定理可求出B二-；(①)根据正弦定理求出a=<3，根据三角形内角和定理以及两角和的正弦公式求出sinC公式可得结果.【解析】若选择条件□:b2+2aac=a2+c2.(①)因为b2+\(①)因为b2+\;2ac=a2+c2由余弦定理cosB=a2+c2一b=-，因为B£(0,兀),2ac(①)由正弦定理absinAsinBbsinA得a= 得sinB2 222又因为sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB=-^-^-x-^-?-+—x="「+'?,2 2221 1万6\6+22 3+。3所以S=absinC=—x<3xv2x = ABC2 2 4 4若选择条件□:acosB=bsinA.（口）由正弦定理=7=-b-，得asinB=bsinA.sinAsinB又因为acosB=bsinA，所以sinB=cosB，又因为Be（0,兀），所以B=，.2x亘TOC\o"1-5"\h\zab bsinA2 :k（口）由正弦定理 二一二，得a= =一/=\：3,sinA sinB sinB<2F又因为sinC=sin又因为sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=—x +—x = 2 2 2 2 41 1匹6v'6+<2_3+v3/所以S ——absinC——x33x22x - .ABC2 2 4 4【点睛】本题考查了正弦定理，考查了余弦定理，考查了三角形的面积公式，考查了两角和的正弦公式，属于中档题.18.（本题12分）已知数列｛a卜满足：a-1,土升——二数列｛b｝是等比数列，并满足b-2，且b-1,n 1an+1 n 1 1nb4,々-1成等差数列.（1）求数列｛a｝,｛b｝的通项公式；（2）若数列c-b，求数列｛c｝的前n项和S.nn na n nn、 1【答案】（1）a-;

nnb-2n（2）S、 1【答案】（1）a-;

nn【分析】（1）由数列｛an｝的递推公式判断数列｛nan｝是常数列，从而求得｛an｝的通项公式，根据4-1,bb4,b5-1成等差数列，列式求数列的公比q，再求通项公式；（2）由（1）可知cn=a-n-2n，利用n错位相减法求和.【解析】（1）由已知a1-1,nan=（n+1）an讨，所以｛naj是常数列，所以nan=1-q-1，故an=：设｛bj的公比是q，由已知得2br（日一必也一1）,所以4q3-2q4，所以q2，故bn=2n(2)由题意可知：C=f=n-2n，又S=c+c+c+c，代入可得：na n12 n-1nnTOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"S=1-21+2-22++(n-1)-2n-1+n-2n……口 …n •••\o"CurrentDocument"2S=1-22+2-23+3-24++(n-1)-2n+n-2n+1 口n•••2(1-2n)口-□得：-S=21+22+23++2n-n-2n+1= n-2n+1=(1-n)-2n+1-2n … 1-2所以S:(n-1)-2n+1+2.【点睛】本题考查数列的递推公式，等差数列，等比数列，错位相减法数列求和，重点考查计算能力，转化与变形，属于中档题型.19.(本题12分)如图所示的几何体中，BE1BC,EA1AC,BC=2,AC=2<2,ZACB=45,AD//BC,BC=2AD.（1）求证：AE，平面ABCD；⑵若ZABE=60，点F在EC上，且满足EF=2尸。，求二面角F—AD—C的余弦值.【答案】（1）详见解析（2）亘7【分析】（1）在AABC中，根据已知的边、角条件运用余弦定理可得出AB1BC,再由BE1BC,ABCBE=B，得出BC，平面ABE.,由线面垂直的性质得BC±AE，再根据线面垂直的判定定理得证；（2）在以B为原点，建立空间直角坐标系B-町Z，得出点F,A,D,C的坐标，求出面FAD的法向量，由（1）得EA1平面ABCD,所以EA为平面ABCD的一个法向量，再根据向量的夹角公式求得二面角的余弦值.【解析】（1）在AABC中，BC=2,AC=2aZACB=45,由余弦定理可得AB2=BC2+AC2-2xBCxACxcos45=4,

所以AB=2，所以AC2=AB2+BC2,所以AABC是直角三角形，AB1BC.又BE1BC,ABcBE=B，所以bc，平面ABE.因为AEu平面ABE，所以BC±AE，因为EA1AC,ACcBC=C,所以ae，平面ABCD.（2）由（1）知，BC，平面ABE，所以平面BEC1平面AEB，在平面ABE中，过点B作Bz1BE,则Bz1平面BEC,如图，以B为原点，BE,BC所在直线分别为瑞丁轴建立空间直角坐标系B-1工,则B（0,0,0）,C（0,2,0）,E（4,0,0）,A1,0,、3）DQlw3）(44A / \ (14Q因为EF=2FC，所以F-,-,0，易知AD=(0,1,0),AF=-,-,-栏\337 V33 7设平面ADF的法向量为n设平面ADF的法向量为n=（x,y,z），贝^AD^n=0,一即〈[AF•n=0,1 4w八令z=V3,则y=0,x=9，3x+3y-Wz=0,所以n=Q,0,%/3）为平面ADF的一个法向亶一EA-n_ 24 _2不EA.n―2#x2叵一〒由（1）知EA1EA-n_ 24 _2不EA.n―2#x2叵一〒设二面角F-AD-C的平面角为一由图知a为锐角，则cosa所以二面角F-AD-C的余弦值为2立7【点睛】本题考查线面垂直关系的证明和二面角的计算，属于中档题.【点睛】本题考查线面垂直关系的证明和二面角的计算，属于中档题.20．（本题12分）据相关部门统计，随着电商网购的快速普及，快递包装业近年来实现了超过50％的高速年均增长.针对这种大好形式，某化工厂引进了一条年产量为1000万个包装胶带的生产线.已知该包装胶带的质量以某项指标值志为衡量标准.为估算其经济效益，该化工厂先进行了试生产，并从中随机抽取了1000个包装胶带，统计了每个包装胶带的质量指标值k,并分成以下5组：[50,60）,[60,70），…，[90,100],其统计结果及产品等级划分如下表所示：质量指标值k[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100]产品等级A级B级C级D级废品频数16030040010040试利用该样本的频率分布估计总体的概率分布，并解决下列问题（注：每组数据取区间的中点值）：（1）由频数分布表可认为，该包装胶带的质量指标值k近似地服从正态分布Nt，o2）其中N近似为样本平均数无，。近似为样本的标准差s，并已求得s=10.03.记X表示某天从生产线上随机抽取的30个包装胶带中质量指标值k在区间（50.54,80.63］之外的包装胶带个数，求p（X=1）及X的数学期望；（精确到0.001）（2）已知每个包装胶带的质量指标值k与利润》（单位：元）的关系如下表所示：Qe（1,4））质量指标值k[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100]利润》5t3t21t-5et假定该化工厂所生产的包装胶带都能销售出去，且这一年的总投资为5000万元（含引进生产线、兴建厂房等等一切费用在内），问：该化工厂能否在一年之内通过生产包装胶带收回投资？试说明理由.参考数据：若随机变量Z~N（四,o2），则P（从—0<Z«N+o）=0..6827，P（从―2o<Z«从+2o）=0.9545，P⑴—3o<Z«曰+3o）=0.9973，0.8I862920.0030，ln13工2.6.【答案】（1）P（X=1）氏0.016，E（X）=5.442；（2）不能在一年之内通过销售包装胶带收回投资，理由见解析.【分析】（1）本小题先求样本平均数，再根据正态分布直接求解即可.（2）本小题根据题意利用导函数求函数最大值，进行比较，给出判断即可.【解析】（1）由题意知：中间值5565758595概率0.160.30.40.10.04

□样本平均数为x=55x0.16+65x0.3+75x0.4+85x0.1+95x0.04=70.6.口(n-2o,N+o]=(70.6-20.06,70.6+10.03]=(50.54,80.63],而P(日一2c<k<N+o)=1P(R—o<k<N+o)+1P(日-2c<k<曰+2c)=0.8186.2< /2从而质量指标值k在区间（50.54,80.63］之外的概率为0.1814.因此p(X=1);C1(0.8186)29x0.1814x30x0.0030x0.1814:0.01632620.01630X的数学期望为E(X)=30x0.1814=5.442（2）由题意可知，该包装胶带的质量指标值k与对应概率如下表所示：（1<t<4）质量指标值k[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100]利润y5t3t21t-5etP0.160.30.40.10.04故每个包装胶带的利润y=5tx0.16+3tx0.3+21x0.4+1x0.1—0.2e=-0.2e+2则y=-0.2et+2.6=-0.2Q-13),令y'=0，得t=ln13,故当t£(1,ln13)时，y'>0，当t£(ln13,4)时，y'<0,所以当t=ln13x2.6时，y取得最大值，y=-0.2ein13+2.6xln13x-2..6+2.6x2.6=4.16(元),max由已知，该生产线的年产量为1000万个，故该生产线的年盈利的最大值为4.16x1000=4160（万元），而4160万元<5000万元，故该化工厂不能在一年之内通过销售包装胶带收回投资.【点睛】本题考查正态分布的相关知识点，函数最值问题，是偏难题21.（本题12分）21.（本题12分）已知椭圆C:02b2=1（a〉b〉0）的离心率为走，其左、右焦点分别为勺，F2，点P为坐

乙标平面内的一点，且PF1-PF2二34,o为坐标原点.（1）求椭圆C的方程;（2）设M为椭圆C的左顶点，/,B是椭圆C上两个不同的点，直线MA,MB的倾斜角分别为。，3,

且a+B=9证明：直线AB恒过定点，并求出该定点的坐标.乙x2 10【答案】（1）—+y2=1（2）证明见解析，该点坐标（-—,0）43【分析】（1）设P（m,n）,F1（-c,0）,F2（c,0），运用两点的距离公式和向量数量积的坐标表示，以及椭圆的离心率公式，解方程可得。，b，进而得到椭圆方程；（2）设A（\,y1），B（x2,yJ，判断直线AB的斜率不存在不成立，设直线AB的方程为y=kx+m，联立椭圆方程，运用判别式大于0，以及韦达定理，结合直线的斜率公式，化简整理，结合直线方程和恒过定点的求法，可得所求．3 3 9【解析】⑴设P(m，n)，F1(-c，0)，F2(c，0)，由l°P|=2，PF1PF2=-4可得m2+n2=4,即c即c=<3，又e=—=—，

a2(-c-m,-n)(c-m,n)=m2-c2+n2=——c2=——，即有c2=3，44可得a=2，b=va2-c2=1，则椭圆的方程为-4-+y2=1；（2）证明：设A（-1，yi），B（-2,yJ，由题意可得M（-2,0），若直线AB的斜率不存在，即\=x2，y1=-y2，由题意可得直线MA，MB的斜率大于0，即y1y2>0，矛盾；因此直线BA的斜率存在，设其方程为y=kx+m.联立椭圆方程-2+4y2=4，化为：(1+4k2)x2+8kmx+4(m2-1)=0，，①=64k2m2-16(1+4k2)(m2-1)>0，化为：1+4k2>m2化为：1+4k2>m2••二x1+x28km1+4k24(m2-1)

xx= .121+4k2兀一，一由a+B=—，可得tanatanp=1乙x1+2x2+2=1，「.