数学-全书版第一章1.32课时

第2柱体、锥体、台体、球的体积与球的表面V柱体＝Sh(S为底面面积，h为高V圆柱＝πr2h(r为底面半径 锥体＝3Sh(S为底面面积，h为高 圆锥＝3πrh(r为底面半径 台体＝3(S＋SS′＋S′)h(S′，S上、下底面面积，h为高 1圆台

＝3πR[情境导学]上一节我们学习了几何体的表面积，一般地，面积是相对平面图形来说的，对探究点一柱体、锥例 如图所示的三棱锥P—ABC的三条侧棱两两垂直，且PB＝1，PA＝3，PC＝6，解∴PAA—PBCPBC且 ＝6因 2∴V三棱锥P—ABC＝V三棱锥A—＝1＝ 63×3×＝18＝ 2P—ABC的体积为2与感悟等体积法求点到平面的距离.VP－ABC＝VA－PBC＝VB－PAC＝VC－PAB.训练 33 33 2 2＋ D.4π＋答案解析12四棱锥的底面边长为2，高为

(2)2× 2 2

＝3＋3探究点二球的体积和表面思考

3，它的表面积S＝4πR2，现在请大家观察这两个公式，思考它们都有什么答R唯一确定.R的RR4倍.例

证明(1)RR33V球＝4πR3，V圆柱＝πR2·2R＝2πR3，所以，V球＝2V圆柱33(2)S球＝4πR2，S圆柱侧＝2πR·2R＝4πR2，所以S球＝S圆柱侧与感悟(1)球与正方体的六个面均相切，则球的直径等于正方体的棱长训练 ) 答案解析如图所示，作圆台的轴截面等腰梯形ABCD，球的大圆O内切于梯形ABCD.设球的长为r1＋r2.S球∶S圆台侧(r1＋r2)2＝163RV球∶V圆台

43π r＋r2－r

＝ ＝ 1

3探究点三简单组合体的表面积和体积例3 面ABCD内过点C作l⊥CB，以l为轴旋转一周.求旋转体的表面积和体积.解ABCD∴CD＝cos60°AB＝CDsin60°＝ 由于以l为轴将梯形ABCD旋转一周后形成的几何体为圆柱中挖去一个倒放的与圆柱等高由上述计算知，圆柱母线长3a2a；圆锥的母线长2a，底面半径a.∴S1＝2π·2a·3a＝43πa2，圆锥的侧面积S2＝π·a·2a＝2πa2，S3＝π(2a)2＝4πa2，圆锥的底面积S4＝πa2，∴∴S＝S1＋S2＋S3＋S5＝(4V柱＝Sh＝π·(2a)2·3a＝4V锥 3 3S′h＝3·π·a·3a＝3πa∴V＝V柱－V锥＝43πa3－3πa3＝11 与感悟训练 如图所示在多面体ABCDEF中已知面ABCD是边长为3的正方形EF∥AB， EFABCD2，求该多面体的体积解AB，CDG，HEG，EH，EB，EC，GH(如图所示)，易知BCF－GHE为三棱柱，则有VABCDEF＝VE－ABCD＋VE－BCF，333又VE－BCF＝1VBCF－GHE，3 2的体积为 C.答案解析

3 3

D.3Sh＝3×4×3＝4设正六棱锥(底面为正六边形)的底面边长为1，侧棱长为5，那么它的体积为 33 3333答案

解析因正六棱锥的高 5－12＝2，所以

6×

2＝ 4设甲、乙两个圆柱的底面积分别为S1，S2，体积分别为

2＝4，则V的值 2答案2解析r1，r2h1，h2， 得1＝，则1＝2 22πr1h1＝2πr2h2，即r1h1＝r2h2，所以V1＝πr2h.1.22 22一个六棱锥的体积为23，其底面是边长为2的正六边形，侧棱长都相等，则该六棱锥的 答案解析h 2×3×h＝23×∴斜高 12＋∴S侧 ＝ShS′＝S

＋SS′＋S′)S′＝0 柱

台体

锥体A－BCDABCDh

3V.＝S＝ A.72 B.90C.108 D.138答案2解析该几何体为一个组合体，左侧为三棱柱，右侧为长方体，如图所示2V＝V三棱柱＋V长方体＝1×4×3×3＋4×3×6＝18＋72＝90(cm3). 答案解析S1＝4πr21＝r12＝1r2 (r2

答案1解析以长为a的直角边所在直线旋转得到圆锥体积1

2，以长为b

2所以

2

3πb3πa 3πba∶3πa若与球外切的圆台的上、下底面半径分别为r，R，则球的表面积为( 答案解析方法一r1Rt△CDEr.4r2＝(R＋r)2－(R－r)2r＝Rr.S 方法二Or1OA，OBRt△AOB中，OF是斜边AB上的高.OF2＝BF·AF＝Rrr2＝Rrr＝Rr，故球的表面积为S球＝4πRr.113cm4cm11 答案解析r36π＝43r＝3已知三棱锥A—BCD的所有棱长都为2，则该三棱锥的外接球的表面积 答案解析ANDM—2因为三棱锥A—BCD的所有棱长都为2，所以正方体ANDM—FBEC的棱长为1.所以该正方体的外接球的半径为32A—BCDANDM—FBECA—BCD外接球的半径为3.A—BCDS球＝4π 2aABCD－A1B1C1D1AA1BD解A1－ABDAA1A1B＝BD＝A1D＝ 1 3∴3×2a·a＝3×2×2a×2·3 答案4解析这是一个正方体切掉两个14 向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm，如果不计容器的厚度，则球的体 A. B. 33答案

23

解析BE＝2，AE＝CE＝4DE＝xAD＝2＋xAD2＝AE2＋DE2

＝3＝

设甲、乙两个圆柱的底面积分别为S1，S2，体积分别为V1，V2.若它们的侧面积相等， S＝4，则V的值 答案2解析r1，r2由 得1＝，则1＝2 22πr1h1＝2πr2h2，即r1h1＝r2h2，所以V1＝πr2h.1.22 22ABEFC的体积.解∴BEFCB1EFC1的面积ABEFCAB1EFC1 12VABBCVAA1B1C1＝133 2×3m＝33ABEFC的体积是3解由题意知，圆锥的轴截面为正三角形，如图所示为圆锥的轴截面3r，水面的半径为3r＝V圆锥－V球＝1π·( h，则水面圆的半径为3

3323

h) V＝V′h＝315r.即容器中水的深度为3E—ABCDABCD为梯形，AB∥CD,2A