2022年北师大实验高三零模数学试卷及答案解析

北师大实验中学2021—2022学年第二学期摸底试卷高三数学2022.2一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1、已知集合，，则A.B.C.D.2、下列函数中，既是偶函数又在单调递增的函数是A.B.C.D.3、设p：，q：，则p是q成立的A.充分必要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件4、A.10B.20C.40D.805、记A.1B.2C.4D.8的展开式中的系数为为等差数列的前n项和．若，，则的公差为6、下图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各5名工人某日的产量数据（单位：件）若这两组数据的中位数相等，且平均值也相等，则和的值分别为（）A．5，5B．3，5C．3，7D．5，77、已知抛物线C：的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点，若，则A.B.3C.D.28、已知A，B为双曲线E的左，右顶点，点M在E上，为等腰三角形，顶角为，则E的离心率为A.B.2C.D.9、已知是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则的最小值是A.B.C.D.10、设为多面体的一个顶点，定义多面体在处的离散曲率为其中为多面体的所有与点相邻的顶点，且平面遍历多面体的所有以为公共点的面，如图是正四面体、正八面体、正十二面体和正二十面体(每个面都是全等的正多边形的多面体是正多面体)，若它们在各顶点处的离散曲率分别是，则的大小关系是A．C．B．D．二、填空题（共5个小题，每小题5分，共25分，请将答案写在答题纸的相应位置）11、设复数z满足（其中是虚数单位），则______.12、在中，，，，则______；______.13、在报名的3名男学生和6名女学生中，选取5人参加义务献血，要求男、女学生都有，则不同的选取方式的种数为__________结果用数值表示14、直线分别与x轴，y轴交于A，B两点，点P在圆上，则面积的取值范围是________.15、定义为正整数的各位数字中不同数字的个数，例如.在等差数列中则____；数列的前100项和为_______.三、解答题（共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程）16、（本小题13分）已知函数求的最小正周期和单调递增区间；求在区间上的最大值和最小值．17、（本小题15分）如图，在四棱柱中，侧棱底面ABCD，，，，求证：求，且点M和N分别为和的中点．平面；；设E为棱上的点，若直线NE和平面所成角的正弦值为，求线段的长．18、（本小题14分）某企业生产流水线检测员每天随机从流水线上抽取100件新生产的产品进行检测.若每件产品的生产成本为1200元，每件一级品可卖1700元，每件二级品可卖1000元，三级品禁止出厂且销毁.某日检测抽取的100件产品的柱状图如图所示.根据样本估计总体的思想，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率.若从生产的所有产品中随机取出2件，求至少有一件产品是一级品的概率；现从样本产品中利用分层抽样的方法随机抽取10件产品，再从这10件中任意抽取3件，设取到二级品的件数为，求随机变量的分布列和数学期望；已知该生产线原先的年产量为80万件，为提高企业利润，计划明年对该生产线进行升级，预计升级需一次性投入2000万元，升级后该生产线年产量降为70万件，但产品质量显著提升，不会再有三级品，且一级品与二级品的产量比会提高到8：2，若以该生产线今年利润与明年预计利润为决策依据，请判断该次升级是否合理.19、（本小题14分）如图，椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)的左焦点为F1，右焦点为F2，离心率e＝，过F1的直线交椭圆于A、B两点，且△ABF2的周长为8.(1)求椭圆E的方程；(2)设动直线l：y＝kx＋m与椭圆E有且只有一个公共点P，且与直线x＝4相交于点Q，试探究：在x轴上是否存在定点M，使得以PQ为直径的圆恒过点M?若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．20、（本小题15分）设函数若曲线求在点处的切线斜率为1，求实数的值；的单调区间；若，k为整数，且当时，恒成立，求k的最大值．21、（本小题14分）将所有平面向量组成的集合记作，是从到的映射，记作或，其中，都是实数.定义映射的模为：在的条件下的最大值，记做.若存在非零向量，及实数使得，则称为的一个特征值.若，求；如果若，计算的特征值，并求相应的；，要使有唯一的特征值，实数应满足什么条件？试找出一个映射，满足以下两个条件：①有唯一的特征值；②,并验证满足这两个条件.北师大实验中学2021—2022学年第二学期高三年级摸底考试卷数学（答案）一、选择题1~10：ABCCCBBDBA二、填空题11.15.12.2；13.12014.15.；三、解答题（共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程）16.（本小题13分）解：，…分所以由的最小正周期为；…分得，，…分由得，，所以；…分根据正弦函数的图象可知当当时，时，有最大值为有最小值为，…分…分P17.（本小题15分）【答案】法一：取中点，连结，，，是中点，，又是中点，，在四棱柱中，，，，且四边形又是平行四边形，，平面，平面，平面…分法二：如图，以A为坐标原点，以AC、AB、所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，则，，，，，，，，又、N分别为、的中点，，由题可知：是平面ABCD