直线与圆的位置关系 学案 九年级数学上册

苏科版九年级上册第2章《对称图形—圆》2.5直线与圆的位置关系【要点梳理】要点一、直线和圆的位置关系1．直线和圆的三种位置关系：

(1)相交：直线与圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交．这时直线叫做圆的割线．

(2)相切：直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切．这时直线叫做圆的切线，唯一的公共点叫做切点．

(3)相离：直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离．

2．直线与圆的位置关系的判定和性质：

直线与圆的位置关系能否像点与圆的位置关系一样通过一些条件来进行分析判断呢？

由于圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小，因此研究直线和圆的位置关系，就可以转化为直线和点(圆心)的位置关系．下面图(1)中直线与圆心的距离小于半径；图(2)中直线与圆心的距离等于半径；图(3)中直线与圆心的距离大于半径．rrlOdrldOrldOrlOd图（1）图（2）图（3）如果⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，那么（1）直线l和☉O相交d＜r；（2）直线l和☉O相切d＝r；（3）直线l和☉O相离d＞r。要点诠释：这三个命题从左边到右边反映了直线与圆的位置关系所具有的性质；从右边到左边则是直线与圆的位置关系的判定．要点二、切线的判定定理、性质定理和切线长定理1．切线的判定定理：

经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.

要点诠释：切线的判定定理中强调两点：一是直线与圆有一个交点，二是直线与过交点的半径垂直，缺一不可.

2．切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径.

3．切线长：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长.

要点诠释：切线长是指圆外一点和切点之间的线段的长，不是“切线的长”的简称.切线是直线，而非线段.

4．切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角.

要点诠释：切线长定理包含两个结论：线段相等和角相等.

5．三角形的内切圆：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆.

6．三角形的内心：三角形内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心.三角形的内心到三边的距离都相等.

要点诠释：

(1)任何一个三角形都有且只有一个内切圆，但任意一个圆都有无数个外切三角形；

(2)解决三角形内心的有关问题时，面积法是常用的，即三角形的面积等于周长与内切圆半径乘积的一半，即(S为三角形的面积，P为三角形的周长，r为内切圆的半径).

(3)三角形的外心与内心的区别：名称确定方法图形性质外心(三角形外接圆的圆心)三角形三边中垂线的交点(1)到三角形三个顶点的距离相等，即OA=OB=OC；(2)外心不一定在三角形内部内心(三角形内切圆的圆心)三角形三条角平分线的交点(1)到三角形三边距离相等；(2)OA、OB、OC分别平分∠BAC、∠ABC、∠ACB；(3)内心在三角形内部.【例题讲解】例1、如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°．BC＝4cm，以点C为圆心，以2cm的长为半径作圆，则⊙C与AB的位置关系是（）A．相离B．相切C．相交D．相切或相交例2、如图，AB为⊙O的直径，PD切⊙O于点C，交AB的延长线于D，且CO＝CD，则∠PCA＝（）A.30° B.45° C.60° D.67.5°例3、如图，正方形边长为，以正方形的一边为直径的正方形内作半圆，再过作半圆的切线，与半圆相切于点，与相交于点，则的面积是（）A．12 B．4 C．8 D．6例4、如图，中，，它的周长为16，若圆O与BC，AC，AB三边分别切于E，F，D点，则DF的长为（）A．2 B．3 C．4 D．6【巩固练习】一、选择题1、如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，以C为圆心，r为半径的圆与边AB有公共点，则r的取值范围为（）A．r≥125B．r＝3或r＝4 C．125≤r≤3 2、如图，在平面直角坐标系中，⊙与轴相切，与轴相交于点，，则圆心的坐标是（）A.(5，3)B.(5，4)C.(3，5)D.(4，5)3、如图，菱形的两边与分别相切于点、，点在上，则的度数是（）A． B．C． D．4、如图，直线与⊙相切于点是⊙的两条弦，且，若⊙的半径为5，，则弦的长为（）A.10B.8C.D.5、如图，已知与⊙相切于点，连接是⊙的弦，且，垂足为。若，则的长为（）A.B.C.D.6、如图，⊙O与正方形ABCD的两边AB．AD都相切，且DE与⊙O相切于点E，若正方形ABCD的边长为4，，则OD的长为（）A． B． C． D．47、如图，在矩形中，，，点在上，与、相切，与相交于点、，则的长为（）A．3 B．C． D．8、如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB经过点、，⊙O的半径为3（O为坐标原点），P是直线AB上的一动点，过点P作⊙O的一条切线PQ，Q为切点，则切线长PQ的最小值为（）A． B． C． D．3二、填空题9、如图，已知是的直径，是的切线，连接交于点，连接．若，则的度数是．10、如图，与相切于点，线段与弦垂直，垂足为，，则．11、如图，在平面直角坐标系中，点在第一象限，与轴、轴都相切，且经过矩形的顶点，与相交于点．若的半径为5，点的坐标是．则点的坐标是__________．12、如图，、是的切线，、为切点，点、在上．若，则_________．13、如图，△ABC内接于⊙O，∠ABC＝105°，⊙O的切线CD交AB的延长线于点D，且CD＝BC，则∠ACB的度数为_________．14、如图，在中，，⊙为的内切圆，点为的外心，，则的长为。15、如图，在中，，，点在上，，若⊙的圆心在线段上，且⊙与都相切，则⊙的半径是。16、如图，直线、相交于点，半径为1cm的⊙的圆心在直线上，且与点的距离为8cm，如果⊙以2cm/s的速度，由向的方向运动，那么_________秒后，⊙与直线相切.三、解答题17、如图，在平面直角坐标系中，直线l：y=－2x－8分别与x轴、y轴相交于A，B两点，点P(0,k)是y轴的负半轴上的一个动点，以P为圆心，3为半径作⊙P．（1）若⊙P与x轴有公共点，直接写出k的取值范围；（2）连接PA，若PA=PB，试判断⊙P与直线l的位置关系，并说明理由．18、如图，Rt△APE，∠AEP＝90°，以AB为直径的⊙O交PE于C，且AC平分∠EAP．连接BC，PB：PC＝1：2．（1）求证：PE是⊙O的切线；（2）已知⊙O的半径为，求AP的长．19、如图，D为⊙O上一点，点C在直径BA的延长线上，且∠CDA＝∠CBD．（1）求证：CD2＝CA·CB；（2）求证：CD是⊙O的切线；（3）过点B作⊙O的切线交CD的延长线于点E，若BC=12，，求BE的长．20、如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，过点A的切线交BC的延长线于点D，E是⊙O上一点，点C，E分别位