八年级上册数学-等腰三角形三作辅助线构造等腰三角形

第16讲等腰三角形（三）作辅助线构造等腰三角形知识导航1、作平行构等腰。2、倍长中线构等腰。3、利用二倍角构等腰。【板块一】作平行线构造等腰三角形方法技巧作腰或底的平行线构造等腰三角形，作角平分线的平行线也可得等腰三角形。【例1】如图，"5。中，AB=AC，BC=10，AABC的面积为10，AD是^ABC的中线，AE是^BAD的角平分线，DF//AB交AE的延长线于点F,求DF的长。【例2】如图，AE,BC交于点D，且AB=CE,NB+NDCE=1800，求证：AD=DE。月月针对练习11、如图，在人^。中，NBAC=60o,/C=40o,p,Q两点分别在BC,CA上，并且AP,BQ分别是NBAC,NABC的角平分线，求证：BQ+AQ=AB+BPO2、如图1,在4ABC中，NABC=2NACB,AO,BO分别平分NBAC,NABC,连接OCo(1)求证：OC平分NACB；(2)如图2,若AB=6,AC=10,求OB的长。图1 图2【板块二】中线倍长构造等腰三角形方法技巧中线倍长，将相等的角或边集中到新的三角形中构成等腰三角形。【例3】如图，AD为^ABC的中线，E为AB上一点，AD,CE交于点/，且AB=CF,^点E作AF的垂线交AC于点P，求证：AP=PFo

针对练习21、如图，AB〃CD,BD与AC交于点E,DO平分/CDE，若点O为AC的中点，试探究线段CD,AB,BD之间的数量关系。2、如图，在"BC中，D为CA的中点，NABD=2/CBD,AO±BD于点O。(1)若OD=3,OB=5,求AB的长；(2)求证：AB=2OD。【板块三】利用Na=2NP构造等腰三角形方法技巧作角平分线或延长二倍角的一边。【例4】如图，△ABC中，NBAC=2NC,BD为^ABC的角平分线，BC=6,AB=3.5,求AD的长。B针对练习31、如图，在"5。中，NABC=2NC,AD±BC于点D,AE为BC边上的中线。(1)求证：BE+DE=AB+BD；(2)若BD=2,DE=3,求AB的长。2、如图E为^ABC内部一点，AE的延长线交BC于点D,连接BE,CE,NBED=NBAC=2NDEC,AC=AB，探究BE,AE的数量关系，并说明理由。【板块四】截长补短构造等腰三角形方法技巧用截长补短法证明m=a+b时，先截长补短后需证明两条线段b=d，若b,d集中到一个三角形时，此时通过证明或计算两底角相等找到解题途径。基本图形1：如图1,AABC中，NC=36o,CA=CB,N1=N2,则CD=AD=ABO基本图形2：如图2,AABC中NC=900,AC=BC,N1=N2,DE±AB于点E基本图形2：如图2,AABC中CD=DE=BE。图1图1题型一：顶角为900角的等腰三角形【例5】如图，AABC中，AC=BC,AD平分NBAC交BC于点D，若AC+CD=AB，求NC的度数。

题型二、顶角为1000的等腰三角形【例6】如图，AA5C中，AB=AC,NA=1000,CD平分NACB交AB于点D,E为BC上一点，BE=DE，求证：BC=CD+ADo备用图题型三顶角为108°的等腰三角形方法技巧：截长补短后计算角的度数证明新等腰【例7】如图，△ABC中，CA=CB,NACB=108°,BD平分NABC交AC于点D，求证:AB=AD+BC.备用图题型四一般的三角形

备用图题型四一般的三角形方法技巧：截长补短后要证明同一个三角形中的两条线段相等，需设未知数计算角，得出两底角相等【例8】如图，△ABC中，/ACB=90°,点E是AC上一点，/ADE=45°,NABC=2ZEDC(1)求证：AD平分ZCAB；(2)求证：AB=AE+DB.针对练习4CD±AB于点D，试探究BC,BD,AD1.如图，&BC中，CD±AB于点D，试探究BC,BD,AD之间的关系.之间的关系.备用图2.在^ABC备用图2.在^ABC中，ZABC=45°,AD±BC于点D,BE±AC于点E,BE与AD交于点F.若DM〃AB.求证：BF=AM+FM..如图，△ABC中，AB=AC,点D在AB上，AD=CD=CB.(1)求证：CD平分NACB；(2)点E在AC上，EF±CD交BC于点F,求证：AE=DB+BF..△ABC和^DEF均为等腰三角形，AB=AC,DE=DF,/BAC=ZEDF,点E在AB上，点F在射线AC上.(1)如图1,若NBAC=60°,点F与点C重合，求证：AF=AE+AD；(2)如图2,若AD=AB，求证：AF=AE+BC.图1图2

图1图2.在△ABC中，/ABC=45°,AD±BC,垂足为点D,BE±AC,垂足为点E,BE与AD交于点F.若/BAC=60°,求证：AB=BF+FC.【板块五】【板块五】45°角的用法构造等腰直角三角形方法技巧（1）利用45°角构造等腰直角三角形进而构造出三角形全等（旋转全等）.（2）利用45°角构造等腰直角三角形进而构造出K型全等（内K或外K）.（3）利用45°角构造全等.（4）利用45°找八字形导角.C八字型导角ZA=ZBC八字型导角ZA=ZB=45°得NC=ZD利用45°角构造 对称全等等腰直角三角形 △AED^△AE'D外K型全等 内K型全等△AEOg△OFB△AEOg△OFB题型一利用45°角找八字形导角.【例9】如图，AD与BC交于点O,ZOCD=45°,点F在AB上，FE±ADZAFE=45°,求证：NB=ZD.题型二利用45°角作垂线构造等腰直角三角形.【例10］如图，点D为及△ABC外一点，ZACB=90°,AC=BC,ZADC=45°,求证:ZCDB=45

备用图题型三过45°角的顶点作一边的垂线构造对称型全等.【例11］如图，在Rt^ABC中，ZACB=90°,AC=BC,点F在AB上，AE±AB，/ECF=45°,求证：EF=AE+FB.题型四利用45°角作高构造K型全等.【例12］如图，在平面直角坐标系中，A(0,-3),B(—4,3),AB交％轴于点D,BD=5BD=413,(1)求AB的长及点D的坐标；求^ABC的面积.(2)点C在y轴上，NCBA=求^ABC的面积.针对练习5.如图，RtAABC中，AB=BD,/ABD=90°,BC±AD于点C，点E,F都在AB上，且NECF=45°,过点C作CT±CE交DB于点T.(1)求证：S =S.心；四边形ECTB△ACB'(2)若4ABC的面积为4,AE•FB=2,求4ECF的面积..如图，在"BC中，AC=BC,A