中考复习：中考压轴 类型一 圆的综合-切线证明、长度与面积问题

中考压轴类型一圆的综合——切线证明、长度与面积问题1．已知⊙O中，弦AB⊥AC，且AB＝AC＝8，点D在⊙O上，连接AD，BD，CD．（Ⅰ）如图1，若AD经过圆心O，求BD，CD的长；（Ⅱ）如图2，若∠BAD＝2∠DAC，求BD，CD的长．2．已知：如图，P为⊙O外一点，射线PO交⊙O于点A，B，C为⊙O上一点，连AC，BC，过点O作OD⊥AC于点E，交直线PC于点D，∠AOD＝∠PCA．（1）求证：PC为⊙O的切线；（2）若BC＝4，DE＝1，求⊙O的半径．3．已知AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，连接BC，过点O作OD⊥BC于D，交于点E，连接AE，交BC于F．（1）如图1，求证：∠BAC＝2∠E．（2）如图2，连接OF，若OF⊥AB，DF＝1，求AE的长．4．如图所示，AB＝AC，AB为⊙O的直径，AC、BC分别交⊙O于E，D，连结ED，BE．（1）试判断DE与BD是否相等，并说明理由；（2）如果BC＝12，AB＝10，求BE的长．5．如图，在⊙O中，B是⊙O上一点，∠ABC＝120°，BM平分∠ABC交AC于点D，连结MA，MC．（1）求证：△AMC是正三角形；（2）若AC＝2，求⊙O半径的长．6．已知四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AC是⊙O直径，DE⊥AB，垂足为E．（1）如图1，延长DE交⊙O于点F，延长DC，FB交点P，求证：PC＝PB．（2）如图2，过点B作BG⊥AD，交DE于点H，垂足为G，点O和点A都在DE的左侧，且DH＝1．①求BC的长；②若AB＝，∠OHD＝80°，求∠CAD的大小．7．如图，等边△ABC内接于⊙O，点D是弧AC上一点，连接BD交AC于E．（1）如图1，求证∠ADB＝∠CDB；（2）如图2，点F为线段BD上一点，连接CF，若∠BCF＝2∠ABD时，求证：BF＝DE+AD；（3）在（2）的条件下，作∠BCF的平分线交⊙O于M，在CM上取点R，连接AR交CF于点T，若TR＝1，MR＝5，∠CAT＝3∠ACD，求AT的长．8．如图1，△ABC中，AB＝AC，⊙O是△ABC的外接圆，过点B作BE⊥AC，交⊙O于点D，垂足为E，连接AD．（1）求证：∠BAC＝2∠CAD；（2）如图2，连接CD，点F在线段BD上，且DF＝2DC，G是的中点，连接FG，若FG＝2，CD＝2，求⊙O的半径．9．如图，Rt△ABC中，∠BAC＝Rt∠，点O在BC上，以O为圆心，以OC为半径构造半⊙O，与AB切于点D，与BC，CA分别交于E，F两点．（1）求证：CD平分∠ACB；（2）过点F作FH⊥BC于点H（点H在点O的左侧），交DC于点G，若，BE＝1，求⊙O的直径长．10．如图，点D、E在以AB为直径的⊙O上，AE与BC交于点F，∠DAC＝∠AED．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）若点E是上一点，BD＝AD＝，BE＝1，求DF的长．11．如图，AB，AC分别是半⊙O的直径和弦，OD⊥AC于点D，过点A作半⊙O的切线AP，AP与OD的延长线交于点P，连接PC并延长与AB的延长线交于点F．（1）求证：PC是半⊙O的切线；（2）若∠CAB＝30°，AB＝10，求由劣弧AC、线段PA和线段PC所围成的图形面积S．12．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB边上的一点，以AD为直径的⊙O交BC于点E，过点C作CG⊥AB，垂足为G，交AE于点F，过点E作EP⊥AB，垂足为P，∠EAD＝∠DEB．（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）若CE＝EP，CG＝12，AC＝15，求四边形CFPE的面积．13．如图，已知⊙O上依次有A、B、C、D四个点，＝，连接AB、AD、BD，弦AB不经过圆心O，延长AB到E，使BE＝AB，连接EC，F是EC的中点，连接BF．（1）若⊙O的半径为3，∠DAB＝120°，则弦BD的长＝；（2）求证：BF＝BD；（3）设G是BD的中点，探索：在⊙O上是否存在点P（不同于点B），使得PG＝PF？并说明PB与AE的位置关系．14．如图：已知⊙M经过O点，并且⊙M与x轴，y轴分别交于A，B两点，线段OA，OB（OA＞OB）的长是方程x2﹣17x+60＝0的两根．（1）求线段OA，OB的长；（2）已知点C是劣弧OA的中点，连结BC交OA于D．①求证：OC2＝CD•CB；②求点C的坐标．15．已知AB是⊙O的直径，AC是弦，∠BAC的角平分线交⊙O于点D，DE⊥AC于E．（1）如图1，求证：DE是⊙O的切线；（2）如图1，若AB＝10，AC＝6，求ED的长；（3）如图2，过点B作⊙O的切线，交AD的延长线于F，若ED＝DF，求的值．16．已知AB为圆O的直径，弦DE⊥AB于M．（1）如图1，求证：AB平分∠DAE；（2）如图2，点C为⊙O上一点，且满足＝，求∠CDA的度数；（3）如图3，在（2）的条件下，过点C作CF⊥AE于F，交AD于G，交AB于K，若CG：EF＝5：9，CD＝2，AF＜CD，求AK的长．

参考答案1．解：（Ⅰ）∵AD经过圆心O，∴∠ACD＝∠ABD＝90°，∵AB⊥AC，且AB＝AC＝8，∴四边形ABCD为正方形，∴BD＝CD＝AB＝AC＝8；（Ⅱ）连接OC，OB，OD，过O点作OE⊥BD，∵AB⊥AC，AB＝AC＝8，∴BC为直径，∴BC＝8，∴BO＝CO＝DO＝BC＝4，∵∠BAD＝2∠DAC，∴∠CAD＝30°，∠BAD＝60°，∴∠COD＝2∠CAD＝60°，∠BOD＝2∠BAD＝120，∴△COD为等边三角形，∠BOE＝60°，∴CD＝CO＝DO＝4，在Rt△CDB中，BD＝CD＝4．2．（1）证明：连接OC，∵OD⊥AC，∴∠AOD+∠OAC＝90°，又∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA，∵∠PCA＝∠AOD，∴∠PCA+∠OCA＝90°，即OC⊥PC，又∵OC是⊙O的半径，∴PC是⊙O的切线；（2）解：∵OD⊥AC，∴AE＝EC，又∵OA＝OB，∴OE＝BC＝2，∵∠AEO＝∠DEC＝90°，∠DCE＝∠AOE，∴△DEC∽△AEO，∴＝，即＝，∴AE＝，在Rt△AOE中，由勾股定理得，OA＝＝，即⊙O的半径为．3．（1）证明：如图1中，∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，∵OE⊥BC，∴∠ODB＝∠ACB＝90°，∴OE∥AC，∴∠CAF＝∠AEO，∵OA＝OE，∴∠AEO＝∠OAE，∴∠BAC＝2∠E；（2）解：如图2中，∵OF⊥AB，OA＝OB，∴FA＝FB，∴∠FAB＝∠FBA，∵∠CAF＝∠EAB，∴∠CAB＝2∠ABC，∵∠ACB＝90°，∴∠CAB+∠B＝90°，∴∠B＝∠EAO＝∠E＝30°，∴∠AOE＝120°，∴∠FOE＝∠E＝30°，∴FO＝EF，∵FD⊥OE，∴EF＝OF＝2DF＝2，AF＝2OF＝4，∴AE＝AF+EF＝4+2＝6．4．解：（1）DE＝BD，理由如下：∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴AD⊥BC，∵AB＝AC，AD⊥BC，∴∠CAD＝∠BAD，∴＝，∴DE＝BD；（2）∵BC＝12，BD＝BC＝6，在Rt△ABD中，AB＝10，∠ADB＝90°，∴AD＝＝＝8，∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝∠AEB＝90°，∴AD⊥BC，BE⊥AC，∴△ABC的面积＝BC•AD＝AC•BE，∵AB＝AC＝10，∴AC•BE＝CB•AD，∴BE＝．5．（1）证明：∵∠ABC＝120°，BM平分∠ABC交AC于点D，∴∠ABM＝∠CBM＝∠ABC＝60°，∴∠MAC＝∠CBM＝60°，∠ACM＝∠ABM＝60°，∴△AMC是正三角形；（2）连接OA、OC，过O作OH⊥AC于点H，如图，∵∠ABC＝120°，∠AMC+∠ABC＝180°，∴∠AMC＝180°﹣∠ABC＝60°，∴∠AOC＝2∠AMC＝120°，∴∠AOH＝∠AOC＝60°，∵AC＝2，∴AH＝AC＝，∴OA＝＝＝2，故⊙O的半径为2．6．（1）证明：如图1，∵AC是⊙O的直径，∴∠ABC＝90°，∵DE⊥AB，∴∠DEA＝90°，∴∠DEA＝∠ABC，∴BC∥DF，∴∠F＝∠PBC，∵四边形BCDF是⊙O的内接四边形，∴∠F+∠DCB＝180°，∵∠PCB+∠DCB＝180°，∴∠F＝∠PCB，∴∠PBC＝∠PCB，∴PC＝PB；（2）解：①如图2，∵AC是⊙O的直径，∴∠ADC＝90°，∵BG⊥AD，∴∠AGB＝90°，∴∠ADC＝∠AGB，∴BG∥DC，∵BC∥DE，∴四边形DHBC是平行四边形，∴BC＝DH＝1；②如图2，连接OD，设DE与AC交于点N，∵AC是⊙O的直径，∴∠ABC＝90°，∵AB＝，BC＝1，∴tan∠BAC＝＝＝，∴∠BAC＝30°，∠ACB＝60°，∴AC＝2BC＝2，∴OD＝1，∴OD＝DH，∴∠DOH＝∠OHD＝80°，∴∠ODH＝180°﹣∠DOH﹣∠OHD＝20°，∵DE∥BC，∴∠ONH＝∠ACB＝60°，∴∠DON＝∠ONH﹣∠ODH＝60°﹣20°＝40°，∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA，∵∠OAD+∠ODA＝∠DON＝40°，∴∠OAD＝20°，即∠CAD＝20°．7．解：（1）证明：∵△ABC是等边三角形，∴∠BAC＝∠ACB＝60°，∴＝，∴∠ADB＝∠CDB；（2）证明：如图，作∠BCF的角平分线，交BD于点G，设∠ACD＝α，∵＝，∴∠ABD＝∠ACD＝α，∵∠BCF＝2∠ABD，∴∠FCG＝∠BCG＝∠ACD＝α，∵△ABC是等边三角形，∴BC＝AC，∵＝，∴∠DAC＝∠DBC，在△ADC与△BGC中，，∴△ADC≌△BGC（SAS），∴BG＝AD，DC＝GC，∵＝，∴∠BDC＝∠BAC＝60°，∴△DGC是等边三角形，∴∠FGC＝∠EDC＝60°，在△CED与△CFG中，，∴△CED≌△CFG（ASA），∴ED＝FG，∴BF＝BG+GF＝AD+DE，即BF＝DE+AD；（3）解：设∠ACD＝α，则∠CAT＝3∠ACD＝3α，如图，延长CF交⊙O点P，交AM于N点，连接PA，过M点作MQ∥AP，交AR于Q点，连接PM，∵CM是∠BCF的平分线，由（2）得∠FCG＝∠BCG＝∠ACD＝α，∴∠ACP＝∠ACB﹣∠BCF＝60°﹣2α，∠BAT＝∠BAC﹣∠CAT＝60°﹣3α，∵＝，＝，∴∠MAB＝∠BCG＝α，∠MAP＝∠FCG＝α，∴∠MAC＝∠BAC+∠BAM＝60°+α，∴∠MAT＝∠MAC﹣∠CAT＝60°+α﹣3α＝60°﹣2α，∠PAT＝∠MAT+∠MAP＝60°﹣2α+α＝60°﹣α，∵＝，∴∠AMP＝∠ACP＝60°﹣2α，∴∠AMP＝∠MAT＝60°﹣2α，∴MP∥AR，∴∠AMQ＝∠MAP＝α，∠MQT＝∠PAR＝60°﹣α，∵＝，∴∠AMC＝∠ABC＝60°，∴∠QMR＝∠AMC﹣∠AMQ＝60°﹣α，∴∠QMR＝∠MQR＝60°﹣α，∴QR＝MR＝5，∵设MP＝AQ＝m，则QT＝QR﹣TR＝5﹣1＝4，∴AT＝QT+AQ＝4+m，∵＝，∴∠MPC＝∠MAC＝60°+α，又∵∠MNP＝∠ANT＝∠APC+∠PAM＝60°+α，∠ATN＝∠ACP+∠CAT＝60°﹣2α+3α＝60°+α，∴∠MNP＝∠MPC＝∠ANT＝∠ATN＝60°+α，∴MP＝MN，AN＝AT，∴AM＝MN+AN＝MP+AT＝m+4+m＝4+2m，在△AMR中，∠AMR＝60°，AM＝4+2m，MR＝5，AR＝5+m，如图，过R点作AM变的高HR，∴∠MRH＝30°，∴MH＝MR＝，HR＝＝MR＝，∴AH＝AM﹣MH＝+2m，在Rt△AHR中，HR2+AH2＝AR2，∴（）2+（+2m）2＝（5+m）2，解得：m＝2或﹣（舍去），∴AT＝4+m．8．（1）证明：如图1，作AH⊥BC于H，∴∠AHC＝90°，∴∠HAC+∠C＝90°，∵AB＝AC，∴∠BAC＝2∠CAH，∵BE⊥AC，∴∠BEC＝90°，∴∠CBE+∠C＝90°，∴∠CAE＝∠CAH，∵＝，∴∠CAD＝∠CBE，∴∠CAH＝∠CAD，∴∠BAC＝2∠CAD；（2）解：如图，连接GC并延长交AD延长线于点H，连接DG，BG，AG，∵G是的中点，∴，∴GB＝GC，∠BAG＝∠CAG，∴∠CAG＝∠DAC，∵AB＝AC，∴AG垂直平分BC，∴AG为直径，∴∠ADG＝∠ACG＝90°，∴∠GDH＝∠ACH＝90°，∵∠AGC+∠CAG＝90°，∠AHC+∠CAH＝90°，∴∠AGC＝∠AHC，∴AG＝AH，∴CG＝CH，在Rt△GDH中，DC＝CG＝CH，即GH＝2DC＝DF，∵∠AEB＝90°＝∠ACG，∴BD∥GH，∴四边形GHDF为平行四边形，∴DH＝FG＝2，设半径为r，则AH＝AG＝2r，AD＝2r﹣2，在Rt△AGD中，DG2＝AG2﹣AD2，＝（2r）2﹣（2r﹣2）2＝8r﹣4，在Rt△GDH中，GH＝DF＝2CD＝4，∴DG2＝GH2﹣DH2＝32﹣4＝28，∴8r﹣4＝28，解得r＝4，∴⊙O的半径为4．9．（1）证明：如图，连接OD，∵AB切⊙O于点D，∴AB⊥OD，∴∠BDO＝∠BAC＝90°，∴OD∥AC，∴∠ODC＝∠ACD，∵OD＝OC，∴∠ODC＝∠OCD，∴∠ACD＝∠OCD，∴CD平分∠ACB．（2）如图，连接DE，∵FH⊥BC于点H，∴∠CHF＝∠A＝90°，∴∠B＝∠CFG＝90°﹣∠ACB，∵CE是⊙O的直径，∴∠CDE＝90°，∴∠BDE＝∠ODC＝90°﹣∠ODE，∵∠ODC＝∠OCD，∴∠BDE＝∠OCD＝∠FCG，∴△BDE∽△FCG，∴＝，∴＝＝，∵BE＝1，∴BD＝＝＝，∵∠B＝∠B，∠BDE＝∠BCD，∴△BDE∽△BCD，∴＝，∵BC＝＝＝，∴CE＝﹣1＝，∴⊙O的直径长为．10．（1）证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴∠DBA+∠DAB＝90°，∵∠DBA＝∠DEA．∠DAC＝∠DEA，∴∠DAC＝∠DBA，∴∠DAC+∠DAB＝90°，∵AB是⊙O的直径，∴AC⊥AB，∵AB为⊙O的直径，∴AC是⊙O的切线；（2）解：∵AB是⊙O的直径，∴∠BEF＝90°，∴∠ADF＝∠BEF，∵∠DAF＝∠EBF，∴△ADF∽△BEF，∴＝＝，设EF＝x，则DF＝x，∴BF＝﹣x，∵EF2+BE2＝BF2，∴x2+1＝（﹣x）2，解得：x1＝，x2＝2（不合题意，舍去），∴DF＝．11．（1）证明：如图，连接OC，∵PA是半⊙O的切线，∴PA⊥OA，∴∠OAP＝90°，∵OD⊥AC，OD经过圆心O，∴CD＝AD，∴PC＝PA，∵OC＝OA，OP＝OP，∴△OCP≌△OAP（SSS），∴∠OCP＝∠OAP＝90°，∵PC经过⊙O的半径OC的外端，且PC⊥OC，∴PC是⊙O的切线．（2）∵AB是⊙O的直径，且AB＝10，∴OA＝OB＝5，∵∠ADO＝90°，∠CAB＝30°，∴OD＝OA＝，∴AD＝＝，∵∠OAP＝90°，∠AOP＝60°，∴∠OPA＝30°，∴OP＝2OA＝10，∴S△POC＝S△POA＝×10×＝，∴S四边形PAOC＝2×＝25，∵∠COB＝2∠CAB＝60°，∴∠AOC＝180°﹣60°＝120°，∴S扇形AOC＝＝，∴S＝S四边形PAOC﹣S扇形AOC＝25．12．证明：（1）连接OE，∵OE＝OD，∴∠OED＝∠ADE，∵AD是直径，∴∠AED＝90°，∴∠EAD+∠ADE＝90°，又∵∠DEB＝∠EAD，∴∠DEB+∠OED＝90°，∴∠BEO＝90°，∴OE⊥BC，∵OE是⊙O的半径，∴BC是⊙O的切线；（2）连接PF，∵CG＝12，AC＝15，∴AG＝＝＝9，∵AC⊥CE，EP⊥AB，CE＝EP，∴∠CAE＝∠EAO，∴∠AEC＝∠AFG＝∠CFE，∴CF＝CE，∴CF＝PE，∵CG⊥AB，EP⊥AB，∴CF∥EP，∴四边形CFPE是平行四边形，又∵CF＝CE，∴四边形CFPE是菱形，∴CF＝EP＝CE＝PF，∵AE＝AE，CE＝EP，∴Rt△ACE≌Rt△APE（HL），∴AP＝AC＝15，∴PG＝AP﹣AG＝15﹣9＝6，∵PF2＝FG2+GP2，∴CF2＝（12﹣CF）2+36，∴CF＝，∴四边形CFPE的面积＝CF×GP＝×6＝45．13．（1）解：连接OB，OD，过点O作OM⊥DB于M，∵∠DAB＝120°，∴所对圆心角的度数为240°，∴∠BOD＝360°﹣240°＝120°，∴∠DBO＝30°，∵OM⊥DB，∴DM＝BM，∠OMB＝90°，∵⊙O的半径为3，∴OM＝，∴BM＝＝＝，∴BD＝2BM＝3，故答案为3；（2）证明：连接AC，∵AB＝BE，∴点B为AE的中点，∵F是EC的中点，∴BF为△EAC的中位线，∴BF＝AC，∵，∴，∴，∴BD＝AC，∴BF＝BD；（3）解：过点B作AE的垂线，与⊙O的交点即为所求的点P，∵BF为△EAC的中位线，∴BF∥AC，∴∠FBE＝∠CAE，∵，∴∠CAB＝∠DBA，由作法可知BP⊥AE，∴∠GBP＝∠FBP，∵G为BD的中点，∴BG＝BD，∴BG＝BF，在△PBG和△PBF中，，∴△PBG≌△PBF（SAS），∴PG＝PF．14．解：（1）∵x2﹣17x+60＝0，∴（x﹣12）（x﹣5）＝0，∴x1＝12，x2＝5，∴OA＝12，OB＝5；（2）①∵点C是劣弧OA的中点，∴弧OC＝弧AC，∴∠OBC＝∠DOC，又∵∠C＝∠C，∴△OCB∽△DCO，∴，即OC2＝CD•CB；②连接MC交OA于点E，根据垂径定理的推论，得ME⊥OA，根据垂径定理，得OE＝OA＝6，∵OA＝12，OB＝5，∠BOA＝90°，∴AB是⊙M的直径，由勾股定理得AB＝＝＝13，根据勾股定理，得ME＝ME＝＝2.5，∴CE＝6.5﹣2.5＝4，即C（6，﹣4）．15．解：（1）连接OD，∵AD平分∠BAE，∴∠BAD＝∠DAE，∵OA＝OD，∴∠ADO＝∠DAO＝∠EAD，∴∠ADO＝∠OAE，∴OD∥AE，∵DE⊥AE，∴∠DAE＝90°，∵∠AED+∠ODE＝180°，∴∠ODE＝90°，∴OE⊥OD，∵OD是⊙O的半径，∴DE是⊙O的切线；（2）连接BC，交OD于F，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵DE⊥AE，∴CF＝FB＝BC，∵AC＝6，AB＝10，∴B