全国卷高考复习平面向量知识总结+题型

学习必备欢迎下载第一部分平面向量的概念及线性运算1.向量的有关概念名称定义备注向量既有大小又有方向的量；向量的大小叫做向量的长度(或称模)平面向量是自由向量零向量长度为零的向量；其方向是任意的记作0单位向量长度等于1个单位的向量非零向量a的单位向量为土1al平行向量方向相同或相反的非零向量0与任一向量平行或共线共线向量方向相同或相反的非零向量又叫做共线向量相等向量长度相等且方向相同的向量两向量只有相等或不等，不能比较大小相反向量长度相等且方向相反的向量0的相反向量为02.向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算a三角形法则a平行四边形法则(1)交换律：a+b=b+a.(2)结合律：(a+b)+c=a+(b+c)减法求a与b的相反向量—b的和的运算叫做a与b的差xy三角形法则a—b=a+(—b)数乘求实数人与向量a的积的运算(1)|入a|=|入llal；(2)当人＞0时，入a的方向与a的方向相同；当入＜0时，入a的方向与a的方向相反;当入=0时，入a=0入(ua)=入ua：(入+u)a=入a+ua：入(a+b)=>a+入b3.共线向量定理向量a(aW0)与b共线的充要条件是存在唯一一个实数入，使得b=Xa.【基础练习】学习必备 欢迎下载1.判断正误（在括号内打“J”或“X”）⑴零向量与任意向量平行.（）（2）若@〃卜b〃c,则a〃c.（ ）（3）向量砧与向量击是共线向量，则A,B,C,D四点在一条直线上.（）（4）当两个非零向量a,b共线时，一定有b=、a,反之成立.（）（5）在4ABC中，D是BC中点，则AD=；（AC+AB）.（）2.给出下列命题：①零向量的长度为零，方向是任意的；②若a,b都是单位向量，则a=b；③向量AB与曲目等.则所有正确命题的序号是（）A^ B.③ C.①③ D.①②.（2017•枣庄模拟）设D为4ABC所在平面内一点，AD=—；AB+4aC,若BC=入前（入£R）,则入=（）A.2 B.3 C.—2 D.—3.（2015•全国H卷）设向量a,b不平行，向量入a+b与a+2b平行，则实数入=..（必修4P92A12改编）已知ABCD的对角线AC和BD相交于O,且OA=a,OB=b，则DC=,BC=（用a,b表示）.12.（2017•嘉兴七校联考）设D,E分别是^ABC的边AB,BC上的点，AD="AB,BE=aBC,若DE23=%AB+入2AC（入j%为实数），则%=,%=.考点一平面向量的概念【例1】下列命题中，不正确的是（填序号）.①若|2|=由|,则@=匕②若A,B,C,D是不共线的四点，则"AB=DC”是“四边形ABCD为平行四边形”的充要条件；③若a=b,6=。，则a=c.【训练1】下列命题中，正确的是（填序号）.①有向线段就是向量，向量就是有向线段；②向量a与向量b平行，则a与b的方向相同或相反；③两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小.解析①不正确，向量可以用有向线段表示，但向量不是有向线段，有向线段也不是向量；②不正确，若a与b中有一个为零向量，零向量的方向是不确定的，故两向量方向不一定相同或相反；

学习必备欢迎下载学习必备③正确，向量既有大小，又有方向，不能比较大小；向量的模均为实数，可以比较大小答案③考点二平面向量的线性运算【例2】(2017•潍坊模拟)在4ABC中，P,Q分别是AB,B^g等分点，且AP=1AB,BQ=【例2】3：BC.若AB=：BC.若AB=a,AC=b3则西=()A.B.一1 1C.-a--3 3【训练2】⑴如图，正方形ABCD中点E是DC的中点靠近1 1C.-a--3 3【训练2】⑴如图，正方形ABCD中点E是DC的中点靠近B点的三等分点那么曲等于(A.C.点F是BC的一个1 1D.--a--3 3考点三共线向量定理及其应用【例3】设两个非零向量a与b不共线.(1)若融=a+b,BC=2a+8b,而=3(a-b).求证：A,B,0三点共线；⑵试确定实数k,使ka+b和a+kb共线.【训练3】已知向量AB=a+3b,Bt=5a+3b,说=-32+3h则()A.A,B,Cm点共线 B.A,B,0三点共线C.A,C,0三点共线 D.B,C,0三点共线第二部分平面向量基本定理与坐标表示.平面向量的基本定理如果e「e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a,有且只有一对实数入］，入/使己=入巴+入2e2.其中，不共线的向量eJ母叫做表示这一平面内所有向量的一组基底..平面向量的正交分解把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解.平面向量的坐标运算⑴向量加法、减法、数乘向量及向量的模设a=(xjy1),b=(x2,yj,贝U学习必备欢迎下载学习必备a+b=(x+a+b=(x+x,y+y)1 2 1 2⑵向量坐标的求法a—b=(x—x2,y—y),入a=(lx/①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标②设A(X/②设A(X/工)，双凡,y),则屈=(x—xjy2—y),|Ab|=((x2—x)2+(y—y)2..平面向量共线的坐标表示设a=(x,y),b=(x,y)1 1【基础练习】则a〃b xj2—x2y]=0设a=(x,y),b=(x,y)1 1【基础练习】则a〃b xj2—x2y]=0.1.(2017•东阳月考)已知向量a=(2,4),b=(—1,1),则2a+b等于( )A.(5,7)B.(5,9)C.(37)D.(3,9)2.(2015•全国I卷)已知点A(0,1),B(3,2)向量AC=(—4,—3),则向量位=( )A.(—7,—4)B.(74)C.(—1，4)D.(14)3.(2016•全国n卷)已知向量a=(m,4),b=(3,—2),且a〃b,则m=4.(必修4P101A3改编)已知ABCD的顶点A(—1,—2),B(3,—1),C(5,6),则顶点D的坐标为4.考点一平面向量基本定理及其应用【例1】(2014•全国I卷)设D,E,F分别为△庆8怎勺三边8&CA,AB的中点，则曲+FC=A.ADB.C.D.BC【训练1】如图，已知疝=A.ADB.C.D.BC【训练1】如图，已知疝=己,AC=b,BD=3DC,用ab表示砧，则砧=考点二平面向量的坐标运算【例2】(1)已知向量a=(5,2),b考点二平面向量的坐标运算【例2】(1)已知向量a=(5,2),b=(—4,—3)c=(x,y),若3a—2b+c=0,则Uc=(A.(—23,—12)B.(23,C.(7,0)D.(—70)C.(7,0)D.(—70)【训练2】(1)已知点A(—1,5)和向量a=(2,3),若AB=3a,则点B的坐标为()A.(7,4) B.(7,14)C.(5,4) D.(5,14)(2)(2015•江苏卷)已知向量a=(2,1),b=(1,—2).若ma+nb=(9,—8)(m,n£R),则m—n的值为.考点三平面向量共线的坐标表示【例3】(1)已知平面向量a=(1,2),b=(—2,m),且a〃b,则2a+3b=,

学习必备 欢迎下载(2)(必修4P101练习7改编)已知庆(2,3),B(4,—3),点P在线段AB的延长线上，且|AP|3,, … =5|BP|,则点P的坐标为 .2【训练3】(1)(2017•浙江三市十二校联考)已知点A(1,3),B(4,—1),则与噩同方向的单位向量是()“3 41 "4 3、 」341 J43^A.15，-5J 艮15，一3 C-5,5J D15,5J⑵若三点A(1,—5),B(a,—2),C(—2,—1)共线，则实数a的值为.第三部分平面向量的数量积及其应用.平面向量数量积的有关概念(1)向量的夹角：已知两个非零向量a和b,记OA=a,OB=b，则NAOB=O(0°WOW180°)叫做向量a与b的夹角.⑵数量积的定义：已知两个非零向量a与b,它们的夹角为0,则数量⑶B―。叫做a与b的数量积(或内积)，记作a-b,即a-b=!alibk年」，规定零向量与任一向量的数量积为0,即0-a=0.⑶数量积几何意义:数量积a-b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos0的乘积..平面向量数量积的性质及其坐标表示设向量a=（x/y1）,b=（x2,y2）,0为向量a,b的夹角.（1）数量积：a•b=|a||b|cos。=*/+丫1y2.（2）模：|a|=\：a•a=\：x2+y2.⑶夹角：cos⑶夹角：cos0=x.x.+y.y（4）两非零向量a±b的充要条件：a•b=0QX]X2+y1y2=0.TOC\o"1-5"\h\z⑸|a•b|W|a||b|（当且仅当a〃b时等号成立）o|xx+yy|W\.,x2+y2•\,'x2+y2.12 12 1 1 2 2.平面向量数量积的运算律：（1）a・b=b-a（交换律）.⑵入a・b=、（a・b）=a•（入b）（结合律).(3)(a+b)・c=a•c+b•c(分配律).【基础练习】1.(2015•全国n卷)向量a=(1,—1),b=(-1,2),则(2a+b)-a等于( )A.-1 B.0 C.1 D.22.(2017•湖州模拟)已知向量a,b,其中|a|=43,|b|=2,且(a-b)，a,则向量a和b的夹角是.2n,,3.(2016•石家庄模拟)已知平面向量a,b的夹角为〒，|a|=2,|b|=1,则|a+b|= .3.(必修4P104例1改编)已知|@|=5,|饵=4,a与b的夹角0=120°,则向量b在向量a

学习必备 欢迎下载方向上的投影为..（2017•瑞安一中检测）已知a,b,c是同一平面内的三个向量，其中a=（1,2）,|b|=1,且a+b与a—2b垂直，则向量a-b=；a与b的夹角0的余弦值为.【考点突破】考点一平面向量的数量积及在平面几何中的应用（用已知表示未知）【例1】（1）（2015•四川卷）设四边形ABCD为平行四边形，圆|=6,|前|=4,若点M,N满足印［=3前，加=2NC,则醯•丽等于（ ）A.20 B.15 C.9 D.6（2）（2016•天津卷）已知△ABC是边长为1的等边三角形，点D,E分别是边AB,BC的中点，5a.一81,4连接DE并延长到点F,使得DE=2EF,则AF5a.一81,411D.T【训练1】（1）（2017•义乌市调研）在Rt^ABC中，NA=90°,AB=AC=2,点D为AC的中点，点E满足BE=；SC,则AE-BD= .3⑵（2017•宁波质检）已有正方形ABCD的边长为1,点E是AB边上的动点，则瓦・CB的值为；DE-DC的最大值为.考点二平面向量的夹角与垂直TOC\o"1-5"\h\z【例2】（1）（2016•全国n卷）已知向量a=（1,m）,b=（3,—2）,且（a+b），b,则Um=（ ）A.—8 B.—6 C.6 D.8⑵若向量a=（k,3）,b=（1,4）,。=（2,1）,已知22—3b与c的夹角为钝角，