高等数学3全俊杰第九讲不定积分

第九讲不定积分一、不定积分与原函数的关系二、不定积分的第一换元积分法（凑微分法）四、不定积分的分部积分法三、不定积分的第二换元积分法定义1.

在区间

I上的原函数全体称为上的不定积分,其中—积分号;—被积函数;—被积表达式.—积分变量;若则(C为任意常数)C

称为积分常数不可丢!例如,记作思考与练习1.

若提示:2.

若是的原函数,则提示:已知3.

若的导函数为则的一个原函数是().提示:已知求即B??或由题意其原函数为二、基本积分表从不定积分定义可知:或或利用逆向思维(k

为常数)或或例1.

求解:

原式=例2.

求解:

原式=1.

求下列积分:提示:2.

求不定积分解：3.

已知求A,B.解:

等式两边对x

求导,得二、第二类换元法一、第一类换元法（凑微分法）不定积分的换元积分法一、第一类换元法定理1.则有换元公式(也称配元法即,凑微分法)思考与练习1.下列各题求积方法有何不同?例1.

求解:

原式=例2.

求提示:例3.

求解:

原式=例4.

求解:

原式=例5.

求解法1解法2两法结果一样例6.

求解:例7.

求解:例8.

求解:

原式=机动目录上页下页返回结束分析:

例9.

求解:原式小结常用简化技巧:(1)分项积分:(2)降低幂次:(3)统一函数:利用三角公式;配元方法(4)巧妙换元或配元万能凑幂法利用积化和差;分式分项;利用倍角公式,如二、第二类换元法第一类换元法解决的问题难求易求若所求积分易求,则得第二类换元积分法.难求，例1.

求解:

令则∴原式练习1.

求解:

令则原式练习2.

求解:

令则原式练习3.

求解:

为去掉被积函数分母中的根式,取根指数2,3的最小公倍数6,则有原式令例2.

求解:

令则∴原式例3.

求解:

令则∴原式例4.

求解:令则∴原式令于是原式例5.

求解:

令则原式当

x<0时,类似可得同样结果.小结:1.第二类换元法常见类型:令令令或令或令或2.常用基本积分公式的补充(7)

分母中因子次数较高时,可试用倒代换

令例6.

求解:

令得原式倒代换思考与练习1.下列积分应如何换元才使积分简便?令令令2.已知求解:

两边求导,得则(代回原变量)

1.

求下列积分:2.求不定积分解：利用凑微分法,原式=令得分子分母同除以3.求不定积分解:令原式4.求不定积分解：令则,故分母次数较高,宜使用倒代换.由导数公式积分得:分部积分公式或1)v容易求得;容易计算.不定积分的分部积分法选择使用分部积分法的常见题型按“反对幂指三”的顺序,前者为后者为1.

形如选反:反三角函数对:对数函数幂:幂函数指:指数函数三:三角函数把被积函数视为两个函数之积,或2.

形如选解题技巧：例1.

求思考:

如何求原式解:原式=例2.

求解:原式=例3.

求解：原式例4.

求说明:

也可写成,但两次所设类型必须一致.解:原式故原式=例5.

求原式=例6.求解:原式例7.

求解:

令则原式例8.

求解:∴原式=例9.

已知的一个原函数是求解:说明:

此题若先求出再求积分反而复杂.例10.

求解法1

先换元后分部令即则故解法2

用分部积分法例11.

求解:令则内容小结分部积分公式1.使用原则:易求出,易积分2.使用经验:“反对幂指三”,前u

后3.题目类型:分部化简;循环解出;递推公式备用题.求不定积分解：方法1(先分部,再换元)令则思考与练习方法2(先换元,再分部)令则故设表示三角函数有理式,令万能代换t

的有理函数的积分1.三角函数有理式的积分则补充问题（了解）例1.

求解:

令则练习：求