《函数的基本性质》设计2

《函数的基本性质》教学设计（4）一、教学目标设计1.掌握增函数、减函数、单调函数及单调区间的概念；2.学会判断函数的单调性并能加以证明；3.学会“由具体到抽象”、“数形结合”的思维方法；4.通过形式化的表达，让学生懂得数学既是从现实原型中抽象出来的，又随着数学本身的发展而逐步得到完善的，并树立严格定义的思维。二、教学重点及难点1.教学重点掌握函数单调性的概念，能判断一些简单函数的单调性。2.教学难点判断函数的单调性并求函数的单调区间。三、教学流程设计设置情境导入引导探索研究设置情境导入引导探索研究归纳总结提炼组织评价回馈布置课外作业适时练习巩固四、教学过程设计（一）复习引入1．复习：我们在初中已经学习了函数图像的画法.为了研究函数的性质，我们按照列表、描点、连线等步骤先分别画函数和图像.函数的图像如图1，函数的图像如图2.⒉引入：（叫学生看图总结）从函数的图像（图1）看到：图像在y轴的右侧部分是上升的，也就是说，当在区间上取值时，随着的增大,相应的值也随着增大，即如果取，得到,那么当时，有.这时我们就说函数在上是增函数.图像在轴的左侧部分是下降的，也就是说，当在区间上取值时，随着的增大，相应的值反而随着减小，即如果取，得到那么当时，有.这时我们就说函数在上是减函数.函数的这两个性质，就是今天我们要学习讨论的.（二）学习、讲解新课⒈增函数与减函数定义：对于函数的定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值.（1）若当时，都有则说在这个区间上是增函数（如图3）；（2）若当时，都有则说在这个区间上是减函数（如图4）.[说明]：函数是增函数还是减函数，是对定义域内某个区间而言的.有的函数在一些区间上是增函数，而在另一些区间上不是增函数.例如函数（图1），当时是增函数，当时是减函数.⒉单调性与单调区间若函数在某个区间是增函数或减函数，则就说函数在这一区间具有（严格的）单调性，这一区间叫做函数的单调区间.此时也说函数是这一区间上的单调函数.在单调区间上，增函数的图像是上升的，减函数的图像是下降的.[说明]：（1）函数的单调区间是其定义域的子集；（2）应是该区间内任意的两个实数，忽略需要任意取值这个条件，就不能保证函数是增函数（或减函数），例如，图5中，在那样的特定位置上，虽然使得但显然此图像表示的函数不是一个单调函数；⒊例题评价例1：图6是定义在闭区间上的函数的图像，根据图像说出的单调区间，以及在每一单调区间上，函数是增函数还是减函数.解：函数的单调区间有，，，，其中在区间，上是减函数，在区间，是增函数.[说明]：1）函数的单调性是对某个区间而言的，对于单独的一点，由于它的函数值是唯一确定的常数，因而没有增减变化，所以不存在单调性问题；另外，中学阶段研究的主要是连续函数或分段连续函数，对于闭区间上的连续函数来说，只要在开区间上单调，它在闭区间上也就单调，因此，在考虑它的单调区间时，包括不包括端点都可以；还要注意，对于在某些点上不连续的函数，单调区间不包括不连续点.2）要了解函数在某一区间是否具有单调性，从图像上进行观察是一种常用而又较为粗略的方法，严格地说，它需要根据增（减）函数的定义进行证明，下面举例说明.例2：证明函数在上是增函数.证明：设是上的任意两个实数，且，则,由,得,于是,即.在上是增函数.练习：判断函数在上是增函数还是减函数？并证明你的结论.（减函数：证明略）例3：判断函数在区间上是增函数还是减函数？并证明你的结论.解：设，且，,由，得,又由,得,,即.在上是减函数.能否说函数在上是减函数？答：不能.因为属于的定义域.[说明]：通过观察图像，对函数是否具有某种性质，作出一种猜想，然后通过推理的办法，证明这种猜想的正确性，是发现和解决问题的一种常用数学方法.（三）课堂小结1.讨论函数的单调性必须在定义域内进行,即函数的单调区间是其定义域的子集,因此讨论函数的单调性,必须先确定函数的定义域;2.根据定义证明函数单调性的一般步骤