线性代数是最有趣最有价值的大学数学课程

线性代数是最有趣最有价值的

大学数学课程

----DavidC.Lay广泛地应用于工程学，计算机科学，物理学，数学，生物学，经济学，统计学，力学，信号与信号处理，系统控制，通信，航空等学科和领域。应用于理工类的后继课程，如电路、理论力学、材料力学、计算机图形学、信号与系统、数字信号处理、系统动力学、自动控制原理、机械振动、机器人学等课程。

线性方程组的应用剑桥减肥食谱问题

一种在20世纪80年代很流行的食谱，称为剑桥食谱，是经过多年研究编制出来的。这是由AlanH.Howard博士领导的科学家团队经过8年对过度肥胖病人的临床研究，在剑桥大学完成的。这种低热量的粉状食品精确地平衡了碳水化合物、高质量的蛋白质和脂肪、配合维生素、矿物质、微量元素和电解质。为得到所希望的数量和比例的营养，Howard博士在食谱中加入了多种食品。每种食品供应了多种所需要的成分，然而没有按正确的比例。例如，脱脂牛奶是蛋白质的主要来源但包含过多的钙，因此大豆粉用来作为蛋白质的来源，它包含较少量的钙。然而大豆粉包含过多的脂肪，因而加上乳清，因乳清含脂肪较少，然而乳清又含有过多的碳水化合物…

在这里我们把问题简化，看看这个问题小规模的情形。表1是该食谱中的3种食物以及100克每种食物成分含有某些营养素的数量。31.170脂肪

45743452碳水化合物

33135136蛋白质

乳清

大豆面粉

脱脂牛奶

减肥所要求的每日营养量每100克食物所含营养（g）营养

表

1

如果用这三种食物作为每天的主要食物，那么它们的用量应各取多少才能全面准确地实现这个营养要求？

以100克为一个单位，为了保证减肥所要求的每日营养量，设每日需食用的脱脂牛奶x1个单位，大豆面粉x2个单位，乳清x3个单位，则由所给条件得解上方程组得，解为即为了保证减肥所要求的每日营养量，每日需食用脱脂牛奶27.72克，大豆面粉39.19克，乳清23.32克。

MATLAB代码如下：Untitled2.mclear;A=[36,51,13;52,34,74;0,7,1.1];b=[33;45;3];U=rref([A,b])网络流问题当科学家、工程师或者经济学家研究一些数量在网络中的流动时自然推导出线性方程组。例如，城市规划和交通工程人员监控一个网络状的市区道路的交通流量模式；电气工程师计算流经电路的电流；以及经济学家分析通过分销商和零售商的网络从制造商到顾客的产品销售。许多网络中的方程组涉及成百甚至上千的变量和方程。一个网络包含一组称为接合点或节点的点集，并由称为分支的线或弧连接部分或全部的节点。流的方向在每个分支上有标示，流量（速度）也有显示或用变量标记。

网络流的基本假设是全部流入网络的总流量等于全部流出网络的总流量，且全部流入一个节点的流量等于全部流出此节点的流量。于是，对于每个节点的流量可以用一个方程来描述。网络分析的问题就是确定当局部信息（如网络的输入）已知时，求每一分支的流量。电路问题

在工程技术中所遇到的电路，大多数是很复杂的，这些电路是由电器元件按照一定方式互相连接而构成的网络。在电路中，含有元件的导线称为支路，而三条或三条以上的支路的会合点称为节点。电路网络分析，粗略地说，就是求出电路网络种各条支路上的电流和电压。对于这类问题的计算，通常采用基尔霍夫（Kirchhoff）定律来解决。以图3-2所示的电路网络部分为例来加以说明。

设各节点的电流如图所示，则由基尔霍夫第一定律（简记为KCL）（即电路中任一节点处各支路电流之间的关系：在任一节点处，支路电流的代数和在任一瞬时恒为零（通常把流入节点的电流取为负的，流出节点的电流取为正的）。该定律也称为节点电流定律），有对于节点A：

对于节点B：对于节点C：对于节点D：于是求各个支路的电流就归结为下面齐次线性方程组的求解相应MATLAB代码为：dianliu.mclearA=[1,0,0,1,0,-1;0,1,0,1,-1,0;0,0,1,0,-1,1;1,-1,1,0,0,0];b=[0;0;0;0];[R,s]=rref([A,b]);r=length(s);disp('对应齐次线性方程组的基础解系为：')x=null(A,'r')其中:由于i1,i2,i3,i4,i5,i6均为正数，所以通解中的3个任意常数应满足以下条件：

如果则：解之，得其解为

交通流问题

图3-3给出了某城市部分单行街道在一个下午早些时候的交通流量（每小时车辆数目）。计算该网络的车流量。

由网络流量假设，有对于节点A：对于节点B：对于节点C：对于节点D：对于节点E：于是，所给问题可以归结为如下线性方程组的求解。

求解该问题的相应MATLAB代码：wangluo.mclearA=[-1,1,0,0,0,0;0,-1,1,-1,1,0;0,0,0,0,-1,1;0,0,0,1,0,-1;1,0,-1,0,0,0];b=[50;0;-60;50;-40];[R,s]=rref([A,b]);[m,n]=size(A);x0=zeros(n,1);r=length(s);x0(s,:)=R(1:r,end);disp('非齐次线性方程组的特解为：')x0disp('对应齐次线性方程组的基础解系为：')x=null(A,'r')解这个方程组，得

其中：马尔科夫链

马尔科夫链在许多学科如生物学、商业、化学、工程学及物理学等领域中被用来做数学模型。在每种情形中，该模型习惯上用来描述用同一种方法进行多次的实验或测量，实验中每次测试的结果属于几个指定的可能结果之一，每次测试结果依赖于最近的前一次测试。

例如，若每年要统计一个城市及其郊区的人口，像这样的向量可以显示60%的人口住在这个城市中，40%的人口住在郊区。中的分量加起来等于1，是说明这个地区的总人口。

当向量在中的一个马尔科夫链描述一个系统或实验时，中的数值分别列出系统在n个可能状态中的概率，或实验结果是n个可能结果之一的概率。称为状态向量。马尔科夫链可用一阶差分方程来刻画：

定义1

一个具有非负分量且各分量的数值相加等于1的向量称为概率向量；各列向量均为概率向量的方阵称为随机矩阵；一个概率向量序列和一个随机矩阵P，使得称为马尔科夫链。下面我们先看一个数值的例子

例

令考虑系统：它的状态由马尔科夫链描述，随着时间的流逝，这个系统将有什么结果？解

后面向量中的数值保留4位或5位有效数字。继续可得这些向量似乎是逼近

的。注意到下面若系统处于状态q，则从上一次测量到下一次测量，系统没有发生变化。

定义2

若P是随机矩阵，则满足的概率向量q称为随机矩阵P的稳态向量。若随机矩阵P的幂

仅包含正的数值，称P是一个正则随机矩阵。

在上例中，向量q是随机矩阵P的稳态向量。又

关于马尔科夫链我们有下面的定理

定理

若P是一个正则随机矩阵，则P具有惟一的稳态向量q。进一步，若x0是任一个起始状态，且，则当时，马尔科夫链收敛到q。

这个定理的证明在有关马尔科夫链的教科书可找到，这里不做证明。这个定理的奇妙之处在于初始状

由于P2中每个数是严格正的，故P是一个正则随机矩阵。状态对马尔科夫链的长期行为没有影响。下面举一例说明求解随机矩阵的稳态向量的一种方法。例

设，求P的稳态向量。

解

由定义知，稳态向量是方程的解，所以求稳态向量就是要解这个方程。

即最后，在

的全体解的集合中求一个概率向量，这是简单的，在通解中，令，得则q即为所求。容易求得其通解为

对应的MATLAB代码为：weitai.mP=[0.6,0.3;0.4,0.7];E=[1,0;0,1];[R,s]=rref(P-E);r=length(s);x=null(P-E,'r')联合收入问题

已知三家公司X,Y,Z具有图2-1所示的股份关系，即X公司掌握Z公司50%的股份，Z公司掌握X公司30%的股份，而X公司70%的股份不受另两家公司控制等等。

现设X，Y和Z公司各自的营业净收入分别是12万元、10万元、8万元，每家公司的联合收入是其净收入加上在其他公司的股份按比例的提成收入、试确定各公司的联合收入及实际收入。

解

依照图2-1所示各个公司的股份比例可知，若设X、Y、Z三公司的联合收入分别为x,y,z,则其实际收入分别为0.7x，0.2y，0.3z。故而现在应先求出各个公司的联合收入。因为联合收入由两部分组成，即营业净收入及从其他公司的提成收入，故对每个公司可列出一个方程，对X公司为x=120000+0.7y+0.5z对Y公司为y=100000+0.2z对Z公司为z=80000+0.3x+0.1y故得线性方程组因系数行列式故此方程组有唯一解。MATLAB代码为：symsxyzeq1=sym('x-0.7*y-0.5*z=120000');eq2=sym('y-0.2*z=100000');eq3=sym('-0.3*x-0.1*y+z=80000');[xyz]=solve(eq1,eq2,eq3)Y公司的联合收入为y=137309.64(元)实际收入为0.2*137309.64=27461.93(元)Z公司的联合收入为z=186548.22(元)实际收入为0.3*186548.22=55964.47(元)于是X公司的联合收入为X=309390.86(元)实际收入为0.7*309390.86=216573.60（元）

现代飞行器外形设计例把飞行器的外形分成若干大的部件，每个部件沿着其表面又用三维的细网格划分出许多立方体，这些立方体包括了机身表面以及此表面内外的空气。对每个立方体列写出空气动力学方程，其中包括了与它相邻的立方体的共同边界变量，这些方程通常都已经简化为线性方程。对一个飞行器，小立方体的数目可以多达400,000个，而要解的联立方程可能多达2,000,000个。

向量组的线性相关性的应用

药方配制问题

通过中成药药方配制问题，理解向量组的线性相关性、最大线性无关组向量的线性表示以及向量空间等线性代数的知识。

问题：某中药厂用9种中草药A-I，根据不同的比例配制成了7种特效药，各用量成分见表1（单位：克）。206201228I103510101656H25392251749G505535535525F633525210E35471552597D014501135C5560352512012B10038201214210A7号成药6号成药5号成药4号成药3号成药2号成药1号成药中药

表1

试解答：（1）某医院要购买这7种特效药，但药厂的第3号药和第6号药已经卖完，请问能否用其他特效药配制出这两种脱销的药品。（2）现在该医院想用这7种草药配制三种新的特效药，表2给出了三种新的特效药的成分，请问能否配制？如何配制？305214I216841H3811871G8015550F76053E5110244D82714C6714162B8816240A3号新药2号新药1号新药中药

表2解：（1）把每一种特效药看成一个九维列向量:u1,u2,u3,u4,u5

,u6,u7

分析7个列向量构成向量组的线性相关性。若向量组线性无关，则无法配制脱销的特效药；若向量组线性相关，且能将u3,u6

用其余向量线性表示，则可以配制3号和6号药品问题（1）的分析与求解Matlab代码

u1=[10;12;5;7;0;25;9;6;8];u2=[2;0;3;9;1;5;4;5;2];u3=[14;12;11;25;2;35;17;16;12];u4=[12;25;0;5;25;5;25;10;0];u5=[20;35;5;15;5;35;2;10;0];u6=[38;60;14;47;33;55;39;35;6];u7=[100;55;0;35;6;50;25;10;20];U=[u1,u2,u3,u4,u5,u6,u7][U0,r]=rref(U)

计算结果为从最简行阶梯型U0中可以看出r=12457，R(U)=5,向量组线性相关，一个最大无关组为

故可以配制3号和6号药。问题（2）的分析与求解

三种新药用v1，v2，v3表示，问题化为v1，v2，v3能否由u1-u7线性表示，若能表示，则可配制；否则，不能配制。令U=[u1,u2,u3,u4,u5,u6,u7,v1,v2,v3][U0,r]=rref(U)计算结果为v1v2v3由U0的最后三列可以看出结果一个最大无关组为：u1,

u2,u4,

u5,u7,v3,

可以看出

v1=u1+3u2+2u4，

v2=3u1+4u2+2u4+u7由于v3在最大无关组,不能被线性表示，所以无法配制。

特征值、特征向量的应用

假设A可对角化，特征向量，，特征值

的基，故任一初始向量x0

可惟一表示为

(1)x0的这种特征向量分解确定了序列所发生的情况。因为是特征向量，所以

一般地有(2)下面的例子说明当时，(2)会出现什么结果。

生态系统

用表示在时间k（单位：月）猫头鹰和老鼠的数量，是在研究区域猫头鹰的数量，是老鼠的数量（单位是千只）。设它们满足下面的方程（3）其中p是被指定的正参数。第1个方程中的表示，如果没有老鼠为食物，每月仅有40%的猫头鹰存活下来，第2个方程的表明，如果没有猫头鹰捕食老鼠，则老鼠的数量每月增长20%。若有足够多的老鼠，表示猫头鹰增长的数量，而负

解

方程（3）的差分方程形式为，其中当p=0.325时，矩阵的特征值为和，对应的特征向量是

初始向量x0可表示为，那么对k≥0，有项表示由于猫头鹰的捕食所引起的老鼠的死亡数量（事实上，一个猫头鹰每月平均吃掉1000p只老鼠）。当p=0.325时，预测该系统的发展趋势。当k→∞时，很快趋于零。假设c1>0，那么对所有足够大的k，有(4)随着k的增大，上式的近似程度会更好，故对足够大的k(5)近似式（5）表明最终的2个分量（猫头鹰和老鼠的数量）每月以大约1.05的倍数增长，即月增长率为5%。由（4），就近似等于（6,13）的倍数，因此，的2分量之比率也近似于6与13的比率,

该例说明了有关生态系统的两个基本事实，若A是n阶矩阵，它的特征值满足和，是对应的特征向量，若x0由(1)式给出且，那么对足够大的k，(6)和(7)式（6）和（7）的近似精度可根据需要通过取足够大的k来得到。由（7）式知，每时段最终以近似的倍数增长，因此，确定了系统的最终增长率。同样由（6）式知，对足够大的k，的2个分量之比近似等于p1

对应分量之比。也就是说，对应每6只猫头鹰，大约有13000只老鼠。二次型的应用

工程师、经济学家、科学家和数学家常常要寻找在一些特定集合内的x值，使得二次型xTAx取最大值或最小值。具有代表性的是，这类问题可化为x是在一组单位向量中的变量的优化问题。下面我们将看到，这类条件优化问题有一个有趣且精彩的解。我们还是从一个简单的例子开始我们的讨论。

例

在下一年度，某县政府计划用一笔资金修x百公里的公路，修整y百平方公里的公园，政府部门必须确定在两个项目上如何分配它的资金，如果可能的话，可以同时开始两个项目，而不是仅开始一个项目。假设x和y必须满足下面限制条件见图5-12。每个阴影可行集合的点(x,y)表示一个可能的年度工作计划，求在限制曲线上的点，使资金利用达到最大。

为了制定工作计划，县政府需要考虑居民的意见，为度量居民分配各类工作计划(x,y)的值或效用，经济学家常利用下面的函数称之为效用函数，曲线（c为常数）称之为无差异曲线，因为在该曲线上的任意点的效用值相等。现制定一个工作计划，使得效用函数达到最大。

解

约束条件的方程并没有描述一个单位向量集，可进行变量代换修正这个问题。把约束条件的方程变形：

令，则约束条件变成，效用函数变成令，则原问题变为，在限制条件下的最大值。

二次型的矩阵为

A的特征值为±10，对应特征值10的单位特征向量为。所以的最大值为10，且在处取得。

于是，最优的工作计划是修建百公里的公路，修整百平方公里的公园。最优工作计划是限制曲线和无差异曲线的切点，具有更大效用的点(x,y)位于和限制曲线不相交的无差异曲线上，见图5-13。

可逆矩阵的应用密码问题矩阵密码法是信息编码与解码的技巧，其中的一种是基于利用可逆矩阵的方法。先在26个英文字母与数字间建立起一一对应，例如可以是

若要发出信息“SENDMONEY”，使用上述代码，则此信息的编码是19，5，14，4，13，15，14，5，25，其中5表示字母E。不幸的是，这种编码很容易被别人破译。在一个较长的信息编码中，人们会根据那个出现频率最高的数值而猜出它代表的是哪个字母，比如上述编码中出现最多次的数值时5，人们自然会想到它代表的是字母E，因为统计规律告诉我们，字母E是英文单词中出现频率最高的。

我们可以利用矩阵乘法来对“明文”SENDMONEY进行加密，让其变成“密文”后再行传送，以增加非法用户破译的难度，而让合法用户轻松解密。如果一个矩阵A的元素均为整数，而且其行列式|A|=±1，那么由

即知，A-1的元素均为整数。我们可以利用这样的矩阵A来对明文加密，使加密之后的密文很难破译。现在取明文“SENDMONEY”对应的9个数值3列被排成以下矩阵矩阵乘积对应着将发出去的密文编码：

43，105，81，45，118，77，49，128，93合法用户用A-1去左乘上述矩阵即可解密得到明文。为了构造“密钥”矩阵A，我们可以从单位阵I开始，有限次地使用第三类初等行变换，而且只用某行的整数倍加到另一行，当然，第一类初等行变换也能使用。这样得到的矩阵A，其元素均为整数，而且由于|A|=±1可知，A-1的元素必然均为整数。矩阵对角化的应用行业就业人数预测

设某中小城市及郊区乡镇共有30万人从事农、工、商工作，假定这个总人数在若干年内保持不变，而社会调查表明：（1）在这30万就业人员中，目前约有15万人从事农业，9万人从事工业，6万人经商。（2）