线性代数总结复习

线性代数总复习考试题型：

填空题（10题左右，共计30’）

单选题（5题左右，共计15’）

计算题（4题左右，每小题8’~9’）

综合题（讨论题）（两题每小题9’左右，共计18’）

证明题

(5’~6’)考试时间：120分钟考试说明：知识脉络行列式矩阵线性方程组矩阵的特征值核心研究工具应用行列式定义行列式的性质行列式的计算代数余子式克莱姆法则第一章行列式1.行列式的定义行列式是一个数，是来自不同行不同列元素乘积的代数和，其符号由列标（行标或者列标和行标共同的）逆序数的奇偶性所决定的。排列的逆序数（计算）关于逆序数的相关定理：

(1)n个自然数（n>1）共有n!个n级排列，其中奇偶排列各占一半，n!/2(2)任意一个排列经过一次对换之后，其奇偶性发生改变。1.利用定义计算行列式：2.确定排列的奇偶性：典型题型：2、3、2.行列式的性质灵活应用行列式的性质典型题型：1、2、3、三阶行列式计算方法（沙路法）三角化（化上三角或者下三角行列式）按行或者按列展开（代数余子式）行列式计算技巧（加边法，三对角，每行或每列元素和相同等等）行列式现成公式（范德蒙行列式）3.行列式计算典型题型：2、3、4.行列式按行（列）展开（降阶法）典型题型：1、2、5.克莱姆法则典型题型：1、矩阵的概念矩阵的运算逆矩阵矩阵的初等变换矩阵的秩第二章矩阵1.矩阵的概念加法（同型矩阵）数乘（与行列式相区别）乘法（不满足交换律和消去律）2.矩阵的运算典型题型：1、2、4、5、3.逆矩阵（1）矩阵A可逆（2）矩阵A可逆（3）矩阵A可逆矩阵的所有特征值非零矩阵可逆的充要条件：典型题型：1、2、4、4、5、6、7、4.矩阵的初等变换1.求矩阵的逆2.求线性方程组的解初等变换的应用：3.求矩阵的秩典型题型：1、5.矩阵的秩6.向量组的秩典型题型：1、2、3、线性方程组的解的判定向量组的线性组合（一个向量和一个向量组的关系）向量组的线性相关性向量组的秩第三章线性方程组1.线性方程组齐次线性方程组AX=0

(m*n矩阵)非齐次线性方程组AX=b(A是m*n矩阵)r(A)<n有非零解r(A)=n只有零解r(A,b)=r(A)有解r(A,b)r(A)无解r(A)=r(A,b)=n有唯一解可以用逆矩阵或者初等变换方法求解r(A)=r(A,b)<n有无穷解找到自由未知量，求解典型题型：2、3、一个向量和一个向量组的关系，即判断2.向量的线性组合向量组和向量组的关系关键表达式：3.向量组的线性相关性若只有当k1=k2=…=ks=0时上式才成立，则称向量组是线性无关的。若有不全为零的系数使得上式成立，则称向量组是线性相关的。Step1.将向量组中的向量按照一列一个向量，或者一行一个向量放置，构成一个矩阵，不妨记为A。Step2.计算矩阵A的秩。Step3.若r(A)=向量组中向量个数，则向量组线性无关，若r(A)<向量组中向量个数,则向量组线性相关。注：当向量的维数=向量个数时，可以用行列式判断。向量组线性相关性的判定相关定理：多的向量组被少的向量组线性表出，则多的向量组线性相关。典型题型：1、2、3、向量的内积（定义，规范正交向量组）矩阵的特征值和特征向量（概念，性质，计算）相似矩阵（概念，性质）第四章矩阵的特征值1.内积的定义及性质（利用内积计算向量夹角）2.向量长度的定义及性质3.单位向量4.规范正交向量组5.非零向量组规范正交向量组6.正交矩阵，正交变换1.向量的内积典型题型1、2、求解矩阵的特征值和特征向量Step1.求矩阵A的特征方程特征方程的根即为矩阵A的特征值，n阶矩阵的特征值有n个（但不一定完全不同，有重特征值的情况）Step2.将特征值分别代入齐此线性方程组求非零解即为矩阵A对应于特征值的特征向量。3.矩阵的特征值特征值的性质：性质3性质2性质4注意：注意：矩阵的特征向量总是相对于矩阵的特征值而言的，一个特征值具有的特征向量并不唯一，但一个特征向量不能属于不同的特征值。典型题型：1、2、3、4、3.相似矩阵性质1.

相似矩阵特征多项式和特征值相同。性质2.

相似矩阵的秩一定相等。性质3.相似矩阵的行列式相等。性质4.相似矩阵的迹相等。性质5.相似矩阵的逆矩阵也相似。性质6.若A与B相似,x为A对应于