线性代数考研讲义

线性代数主讲人：韩光辉2015考研数学《线性代数》基础班1

第1讲

行列式

一、行列式的概念1．

阶行列式的定义其中：2

二、行列式的性质

1．行列式与它的转置行列式相等．2．互换行列式的两行（列），行列式变号．3推论：如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式等于零．3．行列式的某一行（列）中所有元素都乘以同一数

，等于用数乘此行

列式．推论：（1）行列式中某一行（列）的所有元素的公因子可以提到

行列式记号的外面．4推论：（2）行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式等于零．4．如果行列式的某一行（列）的元素都是两数之和，则此行列式等于两

个行列式之和，两个行列式在该行（列）分别取第一个和第二个元素，

其余各行（列）都不变．注：每次只能拆开某一行（列）的元素．55．把行列式的某一行（列）的各元素乘以同一数，然后加到另一行

（列）对应的元素上去，行列式的值不变．6．行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘

积之和．6（其中）（其中）

推论：行列式某一行（列）的各元素与另一行（列）对应的元素的

代数余子式乘积之和等于零．（其中）（其中）

7．拉普拉斯定理：行列式等于某几行的所有子式与其对应的代数

余子式乘积的和．7三、克莱姆法则设含有个未知数的个线性方程的方程组

定理：如果线性方程组的系数行列式不等于零，即

8那么，方程组有唯一解：

其中：推论：（1）如果线性方程组无解或者有两个不同的解，则系数行列

式必为零.（2）如果齐次线性方程组

有非零解，则系数行列式必为零.9四、重要公式1.2.10（三角行列式）3.范德蒙行列式11

第2讲

矩阵及其运算

一、矩阵的概念1.矩阵：由个数排成

行列的

数表，称之为矩阵，记作：2.几类特殊矩阵：12（1）方阵：矩阵的行数和列数相等的矩阵.（2）零矩阵：矩阵

的所有元素都是0，记作：.（3）三角矩阵：主对角线下方的元素全为零的方阵为上三角矩

阵；主对角线上方的元素全为零的方阵为下三角矩阵．（4）对角矩阵：主对角线上元素为任意常数，而主对角线外的

元素都是零的矩阵，记作：13（5）数量矩阵：主对角线上元素均相等的对角矩阵，记作：（6）单位矩阵：主对角线上元素均为的数量矩阵，记作：

（7）相等矩阵：矩阵与的行数和列数相同，且对应元素相等，

记作：14二、矩阵的运算1.矩阵的加法：设矩阵

，

，则

.

2.矩阵的减法：设矩阵

，

，则

.3.数与矩阵相乘：设矩阵

，是一个常数，则

.4.矩阵与矩阵的乘法：设矩阵

，，则，其中：5.矩阵与矩阵乘法的运算律：（1）结合律：15（2）分配律：备注：，若，则称为可交换矩阵，特殊地：.（2）设，则不一定为零矩阵；（3）设且，则不一定相等；但当,且，则.（3）方阵的幂：三、矩阵的转置及其运算律16（1）一般情况下：1.定义：把矩阵

的行换成同序数的列得到一个新矩阵，称为矩阵

的转置，记作

.2.矩阵转置的运算律:

3.对称矩阵：若，则称为对称矩阵.4.反对称矩阵：若，则称为反对称矩阵．四、行列式的乘法定理171.定理：设

和是两个阶方阵，则乘积的行列式等于和

两个行列式的乘积，即.备注：一般情况下，2.方阵行列式的性质：若和相似，则五、逆矩阵及其运算律181.定义：对于

阶矩阵，如果存在阶矩阵，使得

，则称矩阵可逆，记作：.2.逆矩阵的运算律：（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）19六、转置伴随矩阵1．定义：由行列式

的各个元素的代数余子式所构成的矩阵

称为矩阵

的转置伴随矩阵．记作：2．伴随矩阵的运算律：（1）（2）（3）（4）（5）（6）20七、分块矩阵的运算法则1.2.3.备注：各元素矩阵的加减法和乘法需满足一般矩阵的运算条件.21其中，4.其中，5.6.227.八、矩阵的初等变换与初等矩阵1．初等变换：下面三种变换称为矩阵的初等变换（1）交换矩阵的两行（列），记作：（2）以数乘某一行（列）的所有元素，记作：（3）某一行（列）的所有元素的加到另一行（列）的对应元素上，记作：232．矩阵

与等价：把矩阵经过初等变换变成矩阵，

记作：

.3．初等矩阵：单位矩阵经过一次初等变换所得到的矩阵．24说明：（1）初等矩阵的逆阵：（3）对矩阵进行一次初等行（列）变换，相当于左（右）乘一个对应的初等矩阵.25例如：说明：对进行一次初等行变换相当于左乘一个初等矩阵.26说明：对进行一次初等列变换相当于右乘一个初等矩阵.274．利用初等变换求逆矩阵定理2.方阵

可逆的充分必要条件是存在有限个初等矩阵，使得.定理3.若方阵可逆，则可经过有限次初等行变换化为单位矩阵定理1.方阵可逆的充分必要条件是：，即：.定理3的另一种形式：28求逆阵的初等变换法：例：已知矩阵：，求其逆阵.解：2930因此，得到：31第3讲维向量一、维向量的概念与运算1.维向量：个数构成的有序数组，记作：2.向量的运算：设与（1）向量的加法：（2）向量的数乘：（3）向量的内积：323.向量的长度（模）：的充分必要条件是二、线性组合与线性表示1.线性组合：设向量组，对于任意实数，则把称为向量组的线性组合.2.线性表示：设向量组及向量，如果存在一组实数，使得，则称向量是的线性组合．333.向量组等价：设向量组与如果中的每一个向量都可以由中的向量线性表示，同时，中的每一个向量都可以由中的向量线性表示，则称两向量组是等价的，记作：三、线性相关与线性无关1.线性相关：对于维向量，如果存在一组不全为零的实数，使得，则称线性相关．注意：任意一个含有零向量的向量组都是线性相关的.342.线性无关：对于维向量，只有在时，才能使得，则称无关．线性3.有关线性相关性的几个重要定理：定理1.向量组线性相关的充分必要条件是其中某一个向向量可以由其余个向量线性表示．定理2.部分相关，则整体相关；整体无关，则部分无关.定理3.设向量组线性无关，而线性相关，则可以由线性表示，并且表示唯一．35定理4.如果向量组可以由向量组线性表示，且向量组线性无关，则.推论：（1）如果向量组可以由向量组线性表示，且，则向量组线性相关.

（2）两个等价的线性无关的向量组所含向量个数相等.个维向量的向量组一定线性相关．（3）含有定理5.个维向量构成的向量组线性相关的充分必要条件是36定理6.向量组线性相关的充分必要条件是．

四、向量组的秩1.极大线性无关组：如果向量组中的部分向量组满足以下条件：

（1）线性无关．

（2）向量组中任意个向量都线性相关．

则称是极大线性无关组.注意：向量组的极大线性无关组不唯一.372.向量组的秩：向量组的极大线性无关组中所含向量的个数，称为．向量组的秩，记作：3.向量组的秩的性质：（1）若向量组可以由向量组线性表示，则．

（2）若向量组与等价，则，反之不成立；但若可以由向量组线性表示，且，则向量与等价．向量组组（3）向量组可以由线性表示的充分必要条件

是：．38（4）向量组与等价的充分必要条件是：

五、矩阵的秩阶子式：

1.在矩阵中任取行列，由交叉处的元素按原来次序构成的阶行列式．2.矩阵的秩：矩阵中不等于零的子式的最高阶数，记作：．

说明：（1）（2）若，则所有高于阶的子式都为．

的充分必要条件是：．393.定理：初等变换不改变矩阵的秩．4.定理：矩阵的秩等于它行向量组的秩（行秩），也等于它列向量组的秩（列秩）．5.矩阵秩的性质：（1）．

（2）．（3）若，则

．（4）．（5）若，则．（6）设是阶矩阵，则：

．40六、施密特正交化1.正交：若，则称向量与正交．

2.施密特标准正交化（正交规范化）：设线性无关，令则向量组是与等价的正交向量组.41再令：，

，则向量组是与等价的正交单位向量组.七、向量空间：（数学一）1.定义：设为维向量的集合，如果集合非空，且集合对于向量的加法及乘数两种运算封闭，那么称集合为向量空间．2.基：设为向量空间，如果向量，且满足：（1）线性无关；（2）中任一向量都可由线性表示.则称向量组为向量空间的一个基.423.维数：基中所含向量的个数称为向量的维数，记作：.4.坐标：为向量空间的一个基，则设中任一向量可唯一的表示为：，称为向量关于基的坐标.5.过渡矩阵：为向量空间的两个基，设与且有：，则矩阵被称为从基到基的过渡矩阵.备注：过度矩阵一定可逆．436.基变换：为向量关于基的坐标，设为向量关于基的坐标，则称或为基变换.44第4讲线性方程组一、线性方程组的概念：含有个未知数个方程的线性方程组为

定义：或其中，或：其中，45二、线性方程组解的性质：1.基础解系：设是方程组解（向量），且满足（1）线性无关；（2）的任何一个解均可以由线性表示；则称是方程组的基础解系.2.解的性质：性质1.若，

是方程组的两个解，则其线性组合（为任意常数）仍是的解.性质2.若，是方程组的两个解，则是方程组的解.46性质3.若是方程组的解，而是方程组的解，则是方程组的解.性质4.若是方程组的基础解系，是方程组的特解，则是方程组通解；是方程组的通解.三、齐次线性方程组解的判断定理：定理1.元齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是.定理2.元齐次线性方程组只有非零解的充分必要条件是.47定理3.设，则元齐次线性方程组的解集的秩（也称为解空间的维数）.四、非齐次线性方程组解的判断定理：定理1.元非齐次线性方程组有解的充分必要条件是系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩，即

.在有解的前提下又分为：（1）有唯一解的充分必要条件是；（2）有无穷多解的充分必要条件是；48定理2.元非齐次线性方程组无解的充分必要条件是系数矩阵的秩小于增广矩阵的秩，即.49第5讲

矩阵的特征值与特征向量一、特征值与特征向量：定义1.设为和阶矩阵，如果存在数维非零列向量，使得，则把数称为矩阵的特征值，非零列向量称为矩阵对应的特征向量．定义2.行列式称为矩阵的特征多项式，方程，称为矩阵的特征方程.二、特征值与特征向量的性质：50性质1.设阶矩阵的特征值为，则，.性质2.设为矩阵对应的特征向量，则也是矩阵对应的特征向量.性质3.是矩阵的特征值（为正整数）.性质4.当矩阵可逆时，是的特征值.性质5.是矩阵的特征值.备注：矩阵与有相同的特征值，但特征向量不一定相同.51性质6.的属于不同特征值的特征向量之间是线性无关的.矩阵三、相似矩阵与矩阵的相似对角化：1.定义：设与是阶矩阵，若存在可逆矩阵，使得，则称是的相似矩阵，或称与相似；同时，可逆矩阵被称为把变成的相似变换矩阵.2.相似于对角阵的判断定理：定理：阶矩阵与对角矩阵相似（矩阵可对角化）的充分必要条件是有个线性无关的的特征向量．推论：如果阶矩阵的个特征值互不相等，则与对角矩阵相似．523.相似矩阵的性质：性质1.相似矩阵有相同的特征多项式，从而也有相同的特征值.说明：若，且向量为矩阵对应的特征向量，则是矩阵关于同一特征值的特征向量.性质2.与若矩阵相似，则与也相似.性质3.设多项式，且矩阵与相似，则矩阵与矩阵也相似.四、正交矩阵和实对称矩阵的相似对角化：531.正交矩阵：定义：如果实阶矩阵满足：，那么称为正交矩阵.性质：（1）正交矩阵保持内积不变；（2）若矩阵称为正交矩阵，则，且（逆阵也是正交矩阵）；（3）两个同阶正交矩阵的乘积也是正交矩阵；（4）矩阵为正交矩阵的充分必要条件是也为正交矩阵；（5）矩阵为正交矩阵的充分必要条件是它的行（列）向量组是标准正交向量组．542.实对