中考数学二轮复习资料共15个专题

PAGEPAGE161中考数学二轮复习资料题型一尺规作图例1（2016河北中考第10题）如图，已知钝角△ABC，依下列步骤尺规作图，并保留作图痕迹.步骤1：以C为圆心，CA为半径画弧○1eq\o\ac(○,1)；步骤2：以B为圆心，BA为半径画弧○2eq\o\ac(○,2)，将弧○1eq\o\ac(○,1)于点D；步骤3：连接AD，交BC延长线于点H.下列叙述正确的是（）第10题图A．BH垂直分分线段AD B．AC平分∠BADC．S△ABC=BCAH D．AB=AD【答案】A.【解析】试题分析：由作法可得BH为线段AD的垂直平分线，故答案选A考点：线段垂直平分线的性质.例2（3分）（河北）如图，已知△ABC（AC＜BC），用尺规在BC上确定一点P，使PA+PC=BC，则符合要求的作图痕迹是（）A、B、 C、 D、考点： 作图—复杂作图分析： 要使PA+PC=BC，必有PA=PB，所以选项中只有作AB的中垂线才能满足这个条件，故D正确．解答： 解：D选项中作的是AB的中垂线，∴PA=PB，∵PB+PC=BC，∴PA+PC=BC故选：D．点评： 本题主要考查了作图知识，解题的关键是根据作图得出PA=PB．针对训练：1．(2016漳州)下列尺规作图中，能判断AD是△ABC边上的高是()2．(2016德州)如图，在△ABC中，∠B＝55°，∠C＝30°，分别以点A和点C为圆心，大于eq\f(1,2)AC的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN，交BC于点D，连接AD，则∠BAD的度数为()A．65°B．60°C．55°D．45°3．(2016台州)如图，数轴上点A，B分别对应1，2，过点B作PQ⊥AB，以点B为圆心，AB长为半径画弧，交PQ于点C，以原点O为圆心，OC长为半径画弧，交数轴于点M，则点M对应的数是()A.eq\r(3)B.eq\r(5)C.eq\r(6)D.eq\r(7)4．(2016淮安)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交边AC，AB于点M，N，再分别以M，N为圆心，大于eq\f(1,2)MN长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交边BC于点D，若CD＝4，AB＝15，则△ABD的面积为()A．15B．30C．45D．605．(2016邯郸一模)如图，小聪在作线段AB的垂直平分线时，他是这样操作的：分别以A和B为圆心，大于eq\f(1,2)AB的长为半径画弧，两弧相交于C，D，则直线CD即为所求．根据他的作图方法可知四边形ADBC一定是()A．矩形B．菱形C．正方形D．等腰梯形6．(2016唐山路南区二模)阅读下面材料：在数学课上，老师提出如下问题：尺规作图：作一个角等于已知角．已知：∠AOB.求作：∠A′O′B′，使∠A′O′B′＝∠AOB.小明同学作法如下：(1)作射线O′A′；(2)以点O为圆心，以任意长为半径作弧，交OA于点C，交OB于点D；(3)以点O′为圆心，以OC长为半径作弧，交O′A′于点C′；(4)以点C′为圆心，以CD长为半径作弧，交(3)中所画弧于点D′；(5)经过点D′作射线O′B′，则∠A′O′B′就是所求的角．老师肯定小明的作法正确，则小明作图的依据是()A．两直线平行，同位角相等B．两平行线间的距离相等C．全等三角形的对应角相等D．两边和夹角对应相等的两个三角形全等7．(2016石家庄模拟)在△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝BC，AB＝10，用尺规作图的方法作线段AD和线段DE，保留作图痕迹如图所示，认真观察作图痕迹，则△BDE的周长是()A．8B．5eq\r(2)C.eq\f(15,2)eq\r(2)D．108．(2016深圳)如图，在▱ABCD中，AB＝3，BC＝5，以点B为圆心，任意长为半径作弧，分别交BA，BC于点P，Q，再分别以P，Q为圆心，以大于eq\f(1,2)PQ的长为半径作弧，两弧在∠ABC内交于点M，连接BM并延长交AD于点E，则DE的长为．(2016长春)如图，在△ABC中，AB>AC.按以下步骤作图：分别以点B和点C为圆心，大于BC一半的长为半径作圆弧，两弧相交于点M和点N；作直线MN交AB于点D；连接CD.若AB＝6，AC＝4，则△ACD的周长为．答案：1.B2.A3.B4.B5.B6.C7.D8.29.10题型二判断函数图像例1（河北中考第16题）如图9，梯形ABCD中，AB∥DC，DE⊥AB，CF⊥AB，且AE=EF=FB=5，DE=12，动点P从点A出发，沿折线AD－DC－CB以每秒1个单位长的速度运动到点B停止.设运动时间为t秒，y=S△EPF，则y与t的函数图象大致是答案：A解析：AD＝13，sinA＝，当P在AD上运动时，△PEF的高h＝t，y=S△EPF＝t，是一次函数关系，当点P在CD上运动时，高不变，底不变，三角形的面积不变，当点P在C上运动时，同样也是一次函数关系，故选A．例2（河北第14题）定义新运算：a⊕b=例如：4⊕5=，4⊕（﹣5）=．则函数y=2⊕x（x≠0）的图象大致是（） A． B． C D．考点： 反比例函数的图象专题： 新定义．分析： 根据题意可得y=2⊕x=，再根据反比例函数的性质可得函数图象所在象限和形状，进而得到答案．解答： 解：由题意得：y=2⊕x=，当x＞0时，反比例函数y=在第一象限，当x＜0时，反比例函数y=﹣在第二象限，又因为反比例函数图象是双曲线，因此D选项符合，故选：D．类型1.与实际问题结合1．(2016黄石)如图所示，向一个半径为R、容积为V的球形容器内注水，则能够反映容器内水的体积y与容器内水深x间的函数关系的图像可能是()2．在物理实验课上，小明用弹簧秤将铁块悬于盛有水的水槽中，然后匀速向上提起(不考虑水的阻力)，直至铁块完全露出水面一定高度．下面能反映弹簧秤的读数y(单位：N)与铁块被提起的高度x(单位：cm)之间的函数关系大致图像是()3．洗衣机在洗涤衣服时，每浆洗一遍都经历了注水、清洗、排水三个连续过程(工作前洗衣机内无水)．在这三个过程中，洗衣机内的水量y(升)与浆洗一遍的时间x(分)之间的函数关系的图像大致为()ABCD类型2与几何图形结合4．(2016荆门)如图，正方形ABCD的边长为2cm，动点P从点A出发，在正方形的边上沿A→B→C的方向运动到点C停止．设点P的运动路程为x(cm)，在下列图像中，能表示△ADP的面积y(cm2)关于x(cm)的函数关系的图像是()5．(2016金华)如图，在四边形ABCD中，∠B＝90°，AC＝4，AB∥CD，DH垂直平分AC，点H为垂足．设AB＝x，AD＝y，则y关于x的函数关系用图像大致可以表示为()6．(2016衢州)如图，在△ABC中，AC＝BC＝25，AB＝30，D是AB上的一点(不与A，B重合)，DE⊥BC，垂足是点E，设BD＝x，四边形ACED的周长为y，则下列图像能大致反映y与x之间的函数关系的是()ABCD7．(2016白银)如图，△ABC是等腰直角三角形，∠A＝90°，BC＝4，点P是△ABC边上一动点，沿B→A→C的路径移动，过点P作PD⊥BC于点D，设BD＝x,△BDP的面积为y，则下列能大致反映y与x函数关系的图像是()ABCD类型3根据函数性质判断8．(2016宜昌)函数y＝eq\f(2,x＋1)的图像可能是()ABCD9．(2016凉山)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图像如图，则反比例函数y＝－eq\f(a,x)与一次函数y＝bx－c在同一坐标系内的图像大致是()10．(泸州)若关于x的一元二次方程x2－2x＋kb＋1＝0有两个不相等的实数根，则一次函数y＝kx＋b的大致图像可能是()ABCD11．(兰州)在同一直角坐标系中，一次函数y＝kx－k与反比例函数y＝eq\f(k,x)(k≠0)的图像大致是()ABCD答案:1.A2.C3.D4.A5.D6.B7.B8.C9.C10.B11.A题型三不同操作的正误判断例1（河北）如图是甲、乙两张不同的矩形纸片，将它们分别沿着虚线剪开后，各自要拼一个与原来面积相等的正方形，则（）A．甲、乙都可以B．甲、乙都不可以C．甲不可以、乙可以D．甲可以、乙不可以考点：图形的剪拼．分析：根据图形可得甲可以拼一个边长为的正方形，图乙可以拼一个边长为的正方形．解答：解：所作图形如图所示，甲乙都可以拼一个与原来面积相等的正方形．故选A．点评：本题考查了图形的简拼，解答本题的关键是根据题意作出图形．例2（河北）在研究相似问题时，甲、乙同学的观点如下：甲：将边长为3、4、5的三角形按图1的方式向外扩张，得到新三角形，它们的对应边间距为1，则新三角形与原三角形相似．乙：将邻边为3和5的矩形按图2的方式向外扩张，得到新的矩形，它们的对应边间距均为1，则新矩形与原矩形不相似．对于两人的观点，下列说法正确的是（） A．两人都对 B．两人都不对 C．甲对，乙不对 D．甲不对，乙对考点： 相似三角形的判定；相似多边形的性质分析： 甲：根据题意得：AB∥A′B′，AC∥A′C′，BC∥B′C′，即可证得∠A=∠A′，∠B=∠B′，可得△ABC∽△A′B′C′；乙：根据题意得：AB=CD=3，AD=BC=5，则A′B′=C′D′=3+2=5，A′D′=B′C′=5+2=7，则可得，即新矩形与原矩形不相似．解答： 解：甲：根据题意得：AB∥A′B′，AC∥A′C′，BC∥B′C′，∴∠A=∠A′，∠B=∠B′，∴△ABC∽△A′B′C′，∴甲说法正确；乙：∵根据题意得：AB=CD=3，AD=BC=5，则A′B′=C′D′=3+2=5，A′D′=B′C′=5+2=7，∴，，∴，∴新矩形与原矩形不相似．∴乙说法正确．故选A．点评： 此题考查了相似三角形以及相似多边形的判定．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．1．(2016河北模拟)对于问题：证明不等式a2＋b2≥2ab，甲、乙两名同学的作业如下：甲：根据一个数的平方是非负数可知(a－b)2≥0，∴a2－2ab＋b2≥0.∴a2＋b2≥2ab.乙：如图1，两个正方形的边长分别为a，b(b≤a)，如图2，先将边长为a的正方形沿虚线部分分别剪成Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三部分，若再将Ⅰ、Ⅱ和边长为b的正方形拼接成如图3所示的图形，可知此时图3的面积为2ab，其面积小于或等于原来两个正方形的面积和，故不等式a2＋b2≥2ab成立．则对于两人的作业，下列说法正确的是()A．甲、乙都对B．甲对，乙不对C．甲不对，乙对D．甲、乙都不对2．(2016石家庄长安区一模)已知：在△ABC中，AB＝AC，求作：△ABC的内心O.以下是甲、乙两同学的作法：甲：如图1.①作AB的垂直平分线DE；②作BC的垂直平分线FG；③DE，FG交于点O，则点O即为所求．乙：如图2.①作∠ABC的平分线BD；②作BC的垂直平分线EF；③BD，EF交于点O，则点O即为所求．对于两人的作法，正确的是()图1图2A．两人都对B．两人都不对C．甲对，乙不对D．甲不对，乙对3．用一条直线m将如图1的直角铁皮分成面积相等的两部分．图2、图3分别是甲、乙两同学给出的作法，对于两人的作法判断正确的是()A．甲正确，乙不正确B．甲不正确，乙正确C．甲、乙都正确D．甲、乙都不正确4．(2016宁波)如图是一个由5张纸片拼成的平行四边形，相邻纸片之间互不重叠也无缝隙，其中两张等腰直角三角形纸片的面积都为S1，另两张直角三角形纸片的面积都为S2，中间一张正方形纸片的面积为S3，则这个平行四边形的面积一定可以表示为()A．4S1B．4S2C．4S2＋S3D．3S1＋4S5．(2016保定高阳县一模)如图1是从边长为40cm、宽为30cm的矩形钢板的左上角截取一块长为20cm、宽为10cm甲师傅的作法如图2所示，乙师傅的作法如图3所示，单从接缝长短来看，满足要求的操作是()A．甲师傅B．乙师傅C．甲、乙师傅均可D．甲、乙师傅均不可6．(2016保定竞秀区模拟)如图，在给定的一张平行四边形纸片上作一个菱形．甲、乙两人的作法如下：甲：连接AC，作AC的垂直平分线MN分别交AD，AC，BC于M，O，N，连接AN，CM，则四边形ANCM是菱形．乙：分别作∠A，∠B的平分线AE，BF分别交BC，AD于E，F，连接EF，则四边形ABEF是菱形．根据两人的作法可判断()甲乙A．甲正确，乙错误B．乙正确，甲错误C．甲、乙均正确D．甲、乙均错误7．已知正方形ABCD，点E在边AB上，以CE为边作正方形CEFG，如图所示，连接DG.求证：△BCE≌△DCG.甲、乙两位同学的证明过程如下：甲：∵四边形ABCD、四边形CEFG都是正方形，∴CB＝CD，CE＝CG，∠BCD＝∠ECG＝90°.∴∠BCD－∠ECD＝∠ECG－∠ECD.∴∠BCE＝∠DCG.∴△BCE≌△DCG(SAS)．乙：∵四边形ABCD、四边形CEFG都是正方形，∴CB＝CD，CE＝CG，且∠B＝∠CDG＝90°.∴△BCE≌△DCG(HL)．则下列说法正确的是()A．只有甲同学的证明过程正确B．只有乙同学的证明过程正确C．两人的证明过程都正确D．两人的证明过程都不正确答案：1.A2.D3.C4.A5.C6.C7.A题型四图形的折叠与剪拼例1（2016中考）如图，△ABC中，∠A=78°，AB=4，AC=6.将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（）例1图【答案】C.【解析】试题分析：只要三个角相等，或者一角相等，两边成比例即可。选项C项不能判定两个三角形相似，故答案选C考点：相似三角形的判定.例2（河北）如图，将长为2、宽为1的矩形纸片分割成n个三角形后，拼成面积为2的正方形，则n≠（） A．2 B．3 C． 4 D． 5考点： 图形的剪拼分析： 利用矩形的性质以及正方形的性质，结合勾股定理得出分割方法即可．解答： 解：如图所示：将长为2、宽为1的矩形纸片分割成n个三角形后，拼成面积为2的正方形，则n可以为：3，4，5，故n≠2．故选：A．1．(2016保定高阳县一模)如图所示，将正方形纸片三次对折后，沿图中AB线剪掉一个等腰直角三角形，展开铺平得到的图形是()2．(2016定州二模)如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝4，BC＝8，将纸片沿EF折叠，使点C与点A重合，则下列结论错误的是()A．AF＝AEB．△ABE≌△AGFC．EF＝2eq\r(5)D．AF＝EF3．(2016唐山开平区模拟)将一张宽为4cm的长方形纸片(足够长)折叠成如图所示图形，重叠部分是一个三角形，则这个三角形面积的最小值是()A.eq\f(8,3)eq\r(3)cm2B．8cm2C.eq\f(16,3)eq\r(3)cm2D．16cm24．(2016唐山滦南县模拟)将一个无盖正方体纸盒展开(如图1)，沿虚线剪开，用得到的5张纸片(其中4张是全等的直角三角形纸片)拼成一个正方形(如图2)，则所剪得的直角三角形较短的与较长的直角边的比是()A.eq\f(1,2)B.eq\f(1,3)C.eq\f(2,3)D.eq\f(4,5)5．(2016河北模拟)如图，在边长为2a的正方形中央剪去一个边长为(a＋2)的小正方形(a＞2)，将剩余部分剪开密铺成一个平行四边形，则该平行四边形的面积为()A．a2＋4B．2a2＋4aC．3a2－4a－4D．4a2－a－26．(2016河北模拟)如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝12，点E是BC的中点，连接AE，将△ABE沿AE折叠，点B落在点F处，连接FC，则sin∠ECF＝()A.eq\f(3,4)B.eq\f(4,5)C.eq\f(4,3)D.eq\f(3,5)7．(2016邢台模拟)如图所示，如果将矩形纸沿虚线①对折后，沿虚线②剪开，剪出一个直角三角形，展开后得到一个等腰三角形，则展开后三角形的周长是()A．2＋eq\r(10)B．2＋2eq\r(10)C．12D．188．(2016石家庄第四十二中学模拟)如图，将矩形ABCD对折，得折痕PQ，再沿MN翻折，使点C恰好落在折痕PQ上的点C′处，点D落在D′处，其中M是BC的中点，连接AC′，BC′，则图中共有等腰三角形的个数是()A．1B．2C．3D．49．(2016唐山玉田县模拟)如图，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝6，D，E分别在AB，AC上，将△ABC沿DE折叠，使点A落在点A′处，若A′为CE的中点，则折痕DE的长为．10．(2016石家庄模拟)如图，若将左边的正方形剪成两个直角三角形和两个四边形后，恰好能拼成右边的矩形．设a＝2，则正方形的边长为．答案：1.A2.D3.B4.A5.C6.B7.B8.C9.210.eq\r(5)＋3题型五图形阴影部分的相关计算例1（河北）如图，边长为a的正六边形内有两个三角形（数据如图），则=（） A．3 B． 4 C． 5 D． 6考点： 正多边形和圆分析： 先求得两个三角形的面积，再求出正六边形的面积，求比值即可．解答： 解：如图，∵三角形的斜边长为a，∴两条直角边长为a，a，∴S空白=aa=a2，∵AB=a，∴OC=a，∴S正六边形=6×aa=a2，∴S阴影=S正六边形﹣S空白=a2﹣a2=a2，∴==5，故选C．法二：因为是正六边形，可以分割成六个边长是a的等边三角形，空白部分可以拼成一个边长是a的等边三角形。所以=5点评： 本题考查了正多边形和圆，正六边形的边长等于半径，面积可以分成六个等边三角形的面积来计算．例2（中考14题）如图7，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，∠C=30°，CD=2.则S阴影=() A．πB．2πC．eq6\f(2,3)错误！未指定书签。eq\f(2,3)eq\r(\s\do1(),3)D．eq\f(2,3)π答案：D解析：∠AOD＝2∠C＝60°，可证：△EAC≌△EOD，因此阴影部分的面积就是扇形AOD的面积，半径OD＝2，S扇形AOD＝＝eq\f(2,3)π例3(年中考）如图5，两个正方形的面积分别为16，9，两阴影部分的面积分别为，，则等于（）A．7 B．6 C．5 D．4[答案]A[考点]正方形面积[解析]考虑到用C表示非阴影部分的面积，于是有：，两式相减就得，故选A.针对训练：1．(2016临沂)如图，AB是⊙O的切线，B为切点，AC经过点O，与⊙O分别相交于点D，C.若∠ACB＝30°，AB＝eq\r(3)，则阴影部分面积是()A.eq\f(\r(3),2)B.eq\f(π,6)C.eq\f(\r(3),2)－eq\f(π,6)D.eq\f(\r(3),3)－eq\f(π,6)2．(2016唐山乐亭县一模)如图，正六边形DEFGHI的顶点分别在等边△ABC各边上，则eq\f(S阴影,S等边△ABC)＝()A.eq\f(1,2)B.eq\f(1,3)C.eq\f(2,3)D.eq\f(3,2)3．(2016唐山开平区二模)如图，在△ABC中，AB＝AC，AB＝8，BC＝12，分别以AB，AC为直径作半圆，则图中阴影部分的面积是()A．64π－12eq\r(7)B．16π－6eq\r(7)C．16π－24eq\r(7)D．16π－12eq\r(7)4．(2016唐山路北区二模)如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，以AB为直径的圆交BC于点D，则圆中阴影部分的面积为()A．1B．2C．1＋eq\f(π,4)D．2－eq\f(π,4)5．(2016唐山迁安一模)边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转30°得到正方形AB′C′D′，两图叠成一个“蝶形风筝”(如图所示阴影部分)，则这个“风筝”的面积是()A．2－eq\f(\r(3),3)B.eq\f(2\r(3),3)C．2－eq\f(\r(3),4)D．26．(2016河北三模)如图，扇形AOB的半径为1，∠AOB＝90°，以AB为直径画半圆，则图中阴影部分的面积为()A.eq\f(π,4)B．π－eq\f(1,2)C.eq\f(π,4)＋eq\f(1,2)D.eq\f(1,2)7．(2016唐山路南区二模)如图，将矩形纸片ABCD沿其对角线AC折叠，使点B落到点B′的位置，AB′与CD交于点E，若AB＝8，AD＝3，则图中阴影部分的周长为()A．11B．16C．19D．228．(2016唐山路南区二模)如图，在扇形AOB中，∠AOB＝90°，半径OA＝6，将扇形AOB沿过点B的直线折叠，点O恰好落在弧AB上的点D处，折痕交OA于点C，则整个阴影部分的面积为()A．9π－9B．9π－6eq\r(3)C．9π－18D．9π－12eq\r(3)9．(2016河北模拟)如图，在△ABC中，BC＝2，AC＝2eq\r(3)，AB＝4，以点A为圆心，AC为半径画弧交AB于点E，以点B为圆心，BC为半径画弧交AB于点F，则图中阴影部分的面积是()A.eq\f(2,3)π＋eq\r(3)B.eq\f(5,3)π－eq\r(3)C.eq\f(5,3)π－2eq\r(3)D.eq\f(4,3)π＋eq\r(3)10．(2016唐山路北区三模)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝1，将Rt△ABC绕A点逆时针旋转30°后得到Rt△ADE，点B经过的路径为弧BD，则图中阴影部分的面积是____________11．(2016唐山乐亭县一模)如图，半圆O的直径AE＝4，点B，C，D均在半圆上，若AB＝BC，CD＝DE，连接OB，OD，则图中阴影部分的面积为___．12．(2016保定高阳县一模)如图，在菱形OABC中，∠C＝120°，OA＝2，以点O为圆心，OB的长为半径画弧，交AO的延长线于点D，则图中阴影部分的面积为__________.13．(2016保定竞秀区模拟)如图，在△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝90°，以AB的中点D为圆心，作圆心角为90°的扇形DEF，点C恰好在\s\up8(︵(︵)eq\o(EF,\s\up8(︵))上，已知AB＝4，则图中阴影部分的面积为__________．14．(2016唐山古冶区三模)如图，在两个半圆中，长为4的弦AB与直径CD平行且与小半圆相切，则图中阴影部分的面积是___．15．(2016秦皇岛模拟)如图是某公园的一角，∠AOB＝90°，弧AB的半径OA长是6米，C是OA的中点，点D在弧AB上，CD∥OB，则图中林园区(阴影部分)的面积是______平方米答案：1.C2.C3.B4.A5.A6.D7.D8.D9.C10.eq\f(π,6)11.π12.5π－eq\r(3)13.π－214.2π15.(6π－eq\f(9\r(3),2))题型六多结论判断题例1（河北）如图，点A，B为定点，定直线l∥AB，P是l上一动点，点M，N分别为PA，PB的中点，对下列各值：①线段MN的长；②△PAB的周长；③△PMN的面积；④直线MN，AB之间的距离；⑤∠APB的大小．其中会随点P的移动而变化的是（）A．②③B．②⑤C．①③④D．④⑤考点：三角形中位线定理；平行线之间的距离．分析：根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得MN=AB，从而判断出①不变；再根据三角形的周长的定义判断出②是变化的；确定出点P到MN的距离不变，然后根据等底等高的三角形的面积相等确定出③不变；根据平行线间的距离相等判断出④不变；根据角的定义判断出⑤变化．解答：解：∵点A，B为定点，点M，N分别为PA，PB的中点，∴MN是△PAB的中位线，∴MN=AB，即线段MN的长度不变，故①错误；PA、PB的长度随点P的移动而变化，所以，△PAB的周长会随点P的移动而变化，故②正确；∵MN的长度不变，点P到MN的距离等于l与AB的距离的一半，∴△PMN的面积不变，故③错误；直线MN，AB之间的距离不随点P的移动而变化，故④错误；∠APB的大小点P的移动而变化，故⑤正确．综上所述，会随点P的移动而变化的是②⑤．故选B．点评：本题考查了三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，等底等高的三角形的面积相等，平行线间的距离的定义，熟记定理是解题的关键．例2（河北中考）反比例函数y＝eq\f(m,x)的图象如图3所示，以下结论：①常数m＜－1；②在每个象限内，y随x的增大而增大；③若A（－1，h），B（2，k）在图象上，则h＜k；④若P（x，y）在图象上，则P′（－x，－y）也在图象上.其中正确的是() A．①②B．②③ C．③④D．①④答案：C解析：因为函数图象在一、三象限，故有m＞0，①错误；在每个象限内，y随x的增大而减小，故②错；对于③，将A、B坐标代入，得：h＝－m，k＝，因为m＞0，所以，h＜k，正确；函数图象关于原点对称，故④正确，选C。针对训练：1．(2016河北)点A，B在数轴上的位置如图所示，其对应的数分别是a和b，对于以下结论：甲：b－a<0；乙：a＋b>0；丙：|a|<|b|；丁：eq\f(b,a)>0.其中正确的是()A．甲乙B．丙丁C．甲丙D．乙丁2．(2016烟台)二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像如图所示，下列结论：①4ac＜b2；②a＋c＞b；③2a＋b＞0.其中正确的有()A．①②B．①③C．②③D．①②③3．(2016长沙)已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(b>a>0)与x轴最多有一个交点，现有以下四个结论：①该抛物线的对称轴在y轴左侧；②关于x的方程ax2＋bx＋c＝0无实数根；③a－b＋c≥0；④eq\f(a＋b＋c,b－a)的最小值为3.其中正确结论的个数为()A．1B．2C．3D．4提示：正确的结论有①③④，其中④：当x＝－2时，4a－2b＋c≥0，∴a＋b＋c≥－3a＋3b.又∵b－a＞0，∴eq\f(a＋b＋c,b－a)≥3.4．(2016淄博)反比例函数y＝eq\f(a,x)(a＞0，a为常数)和y＝eq\f(2,x)在第一象限内的图像如图所示，点M在y＝eq\f(a,x)的图像上，MC⊥x轴于点C，交y＝eq\f(2,x)的图像于点A；MD⊥y轴于点D，交y＝eq\f(2,x)的图像于点B，当点M在y＝eq\f(a,x)的图像上运动时，以下结论：①S△ODB＝S△OCA；②四边形OAMB的面积不变；③当点A是MC的中点时，则点B是MD的中点．其中正确结论的个数是()A．0B．1C．2D．35．(2016临沂)如图，将等边△ABC绕点C顺时针旋转120°得到△EDC，连接AD，BD，则下列结论：①AC＝AD；②BD⊥AC；③四边形ACED是菱形．其中正确的个数是()A．0B．1C．2D．36．(2016孝感)如图是抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的部分图像，其顶点坐标为(1，n)，且与x轴的一个交点在点(3，0)和(4，0)之间．则下列结论：①a－b＋c＞0；②3a＋b＝0；③b2＝4a(c－n)；④一元二次方程ax2＋bx＋c＝n－1有两个不相等的实数根．其中正确结论的个数是()A．1B．2C．3D．4提示：正确的结论有①③④.7．(2016南充)如图，正五边形的边长为2，连接对角线AD，BE，CE，线段AD分别与BE和CE相交于点M，N，给出下列结论：①∠AME＝108°；②AN2＝AMAD；③MN＝3－eq\r(5)；④S△EBC＝2eq\r(5)－1.其中正确结论的个数是()A．1B．2C．3D．4提示：正确的结论有①②③.8．(2016保定调研)如图，将矩形ABCD沿EF折叠，使点B，D重合，已知AB＝3，AD＝4，则：①DE＝DF；②DF＝EF；③△DCF≌△DGE；④EF＝eq\f(15,4).上面结论正确的有()A．1个B．2个C．3个D．4个提示：正确的结论有①③④.9．(2016德州)在矩形ABCD中，AD＝2AB＝4，E是AD的中点，一块足够大的三角板的直角顶点与点E重合，将三角板绕点E旋转，三角板的两直角边分别交AB，BC(或它们的延长线)于点M，N，设∠AEM＝α(0°＜α＜90°)，给出下列四个结论：①AM＝CN；②∠AME＝∠BNE；③BN－AM＝2；④S△EMN＝eq\f(2,cos2α).上述结论中正确的个数是()A．1B．2C．3D．4提示：正确的结论有②③④.10．(2016枣庄)已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图像如图所示，给出以下四个结论：①abc＝0；②a＋b＋c>0；③a>b；④4ac－b2<0.其中正确的结论有()A．1个B．2个C．3个D．4个提示：正确的结论有①③④.11．(2016河北模拟)按如图所示的方法折纸，下面结论正确的个数是()①∠2＝90°；②∠1＝∠AEC；③△ABE∽△ECF；④∠BAE＝∠3.A．1B．2C．3D．412．(2016定州二模)甲骑摩托车从A地去B地，乙开汽车从B地去A地(汽车速度大于摩托车速度)，同时出发，匀速行驶，各自到达终点后停止，设甲、乙两人间距离为s(单位：千米)，甲行驶的时间为t(单位：小时)，s与t之间的函数关系如图所示，下列结论：①出发1小时时，甲、乙在途中相遇；②出发1.5小时时，乙比甲多行驶了60千米③出发3小时时，甲、乙同时到达终点；④甲的速度是乙速度的一半．其中正确结论的个数是()A．4B．3C．2D．13．(2016乐山)高斯函数[x]，也称为取整函数，即[x]表示不超过x的最大整数．例如：[2.3]＝2，[－1.5]＝－2.则下列结论：①[－2.1]＋[1]＝－2；②[x]＋[－x]＝0；③若[x＋1]＝3，则x的取值范围是2≤x<3；④当－1≤x<1时，[x＋1]＋[－x＋1]的值为0或1或2.其中正确的结论有________写出所有正确结论的序号)．答案：1.C2.B3.C4.D5.D6.C7.C8.C9.C10.C11.C12.B13.题型七规律探究例1（2016河北中考）如图，已知∠AOB=7°，一条光线从点A出发后射向OB边.若光线与OB边垂直，则光线沿原路返回到点A，此时∠A=90°-7°=83°.第19题图当∠A<83°时，光线射到OB边上的点A1后，经OB反射到线段AO上的点A2，易知∠1=∠2.若A1A2⊥AO，光线又会沿A2→A1→A原路返回到点A，此时∠A=_____°.若光线从点A发出后，经若干次反射能沿原路返回到点A，则锐角∠A的最小值=_______°.【答案】76°，6°.【解析】试题分析：先求∠2=83°，∠AA1A2=180°-83°×2=14°，，进而求∠A=76°；根据题意可得原路返回，那么最后的线垂直于BO，中间的角，从里往外，是7°的2倍，4倍，8倍，2∠1=180°-14°×n，在利用外角性质，∠A=∠1-7°=83°-7°×n，当n=11时，∠A=6°。考点：三角形外角的性质；规律探究题.例2．（3分）（河北）如图，∠BOC=9°，点A在OB上，且OA=1，按下列要求画图：以A为圆心，1为半径向右画弧交OC于点A1，得第1条线段AA1；再以A1为圆心，1为半径向右画弧交OB于点A2，得第2条线段A1A2再以A2为圆心，1为半径向右画弧交OC于点A3，得第3条线段A2A3；这样画下去，直到得第n条线段，之后就不能再画出符合要求的线段了，则n=9．考点：等腰三角形的性质．分析：根据等腰三角形的性质和三角形外角的性质依次可得∠A1AB的度数，∠A2A1C的度数，∠A3A2B的度数，∠A4A解答：解：由题意可知：AO=A1A，A1A=A2A1则∠AOA1=∠OA1A，∠A1OA2=∠A1A2∵∠BOC=9°，∴∠A1AB=18°，∠A2A1C=27°，∠A3A2B=36°的度数，∠A4A∴9°n＜90°，解得n＜10．故答案为：9．点评：考查了等腰三角形的性质：等腰三角形的两个底角相等；三角形外角的性质：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．例3（河北）如图，点O，A在数轴上表示的数分别是0，0.1．将线段OA分成100等份，其分点由左向右依次为M1，M2，…，M99；再将线段OM1，分成100等份，其分点由左向右依次为N1，N2，…，N99；继续将线段ON1分成100等份，其分点由左向右依次为P1，P2．…，P99．则点P37所表示的数用科学记数法表示为3.7×10﹣6．考点： 规律型：图形的变化类；科学记数法—表示较小的数．分析： 由题意可得M1表示的数为0.1×=10﹣3，N1表示的数为0×10﹣3=10﹣5，P1表示的数为10﹣5×=10﹣7，进一步表示出点P37即可．解答： 解：M1表示的数为0.1×=10﹣3，N1表示的数为0×10﹣3=10﹣5，P1表示的数为10﹣5×=10﹣7，P37=37×10﹣7=3.7×10﹣6．故答案为：3.7×10﹣6．点评： 此题考查图形的变化规律，结合图形，找出数字之间的运算方法，找出规律，解决问题．类型1数式规律针对训练：1．(2016凉山)观察图中正方形四个顶点所标的数字规律，可知数2016应标在()…A．第504个正方形的左下角B．第504个正方形的右下角C．第505个正方形的左上角D．第505个正方形的右下角2．(2016枣庄)一列数a1，a2，a3，…满足条件：a1＝eq\f(1,2)，an＝eq\f(1,1－an－1)(n≥2，且n为整数)，则a2016＝_________．3．(汕尾)若eq\f(1,（2n－1）（2n＋1）)＝eq\f(a,2n－1)＋eq\f(b,2n＋1)，对任意自然数n都成立，则a＝_，b＝__；计算：m＝eq\f(1,1×3)＋eq\f(1,3×5)＋eq\f(1,5×7)＋…＋eq\f(1,19×21)＝________．4．我国南宋数学家杨辉用三角形解释二项和的乘方规律，称之为“杨辉三角”．这个三角形给出了(a＋b)n(n＝1，2，3，4…)的展开式的系数规律(按a的次数由大到小的顺序)：请依据上述规律，写出(x－eq\f(2,x))2016展开式中含x2014项的系数是_____．11(a＋b)2＝a＋b121(a＋b)2＝a2＋2ab＋b21331(a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b314641(a＋b)4＝a4＋4a3b＋6a2b2＋4ab3＋b45．(2016滨州)观察下列式子：1×3＋1＝22；7×9＋1＝82；25×27＋1＝262；79×81＋1＝802；…可猜想第2016个式子为_______________________________．类型2图形的规律针对训练：6．(2016荆州)如图，用黑白两种颜色的菱形纸片，按黑色纸片数逐渐增加1的规律拼成下列图案，若第n个图案中有2017个白色纸片，则n的值为()A．671B．672C．673D．6747．(2016宁波)下列图案是由长度相同的火柴棒按一定规律拼搭而成，图案①需8根火柴棒，图案②需15根火柴棒，…，按此规律，图案⑦需___根火柴棒．8．(2016内江)将一些半径相同的小圆按如图所示的规律摆放，请仔细观察，第n个图形有____________个小圆．(用含n的代数式表示)第1个图第二个图第三个图第四个图9.(2016内江)一组正方形按如图所示的方式放置，其中顶点B1在y轴上，顶点C1，E1，E2，C2，E3，E4，C3…在x轴上，已知正方形A1B1C1D1的边长为1，∠B1C1O＝60°，B1C1∥B2C2∥B3C3…，则正方形A2016B2016C2016A．(eq\f(1,2))2015B．(eq\f(1,2))2016C．(eq\f(\r(3),3))2016D．(eq\f(\r(3),3))201510．(徐州)如图，正方形ABCD的边长为1，以对角线AC为边作第二个正方形ACEF，再以对角线AE为边作第三个正方形AEGH，如此下去，第n个正方形的边长______．类型3点的坐标规律11．(2016梅州)如图，在平面直角坐标系中，将△ABO绕点A顺时针旋转到△AB1C1的位置，点B，O分别落在点B1，C1处，点B1在x轴上，再将△AB1C1绕点B1顺时针旋转到△A1B1C2的位置，点C2在x轴上，将△A1B1C2绕点C2顺时针旋转到△A2B2C2的位置，点A2在x轴上，…，依次进行下去．若点A(eq\f(3,2)，0)，B(0，2)，则点B2016的坐标为________12．(2016菏泽)如图，一段抛物线：y＝－x(x－2)(0≤x≤2)记为C1，它与x轴交于两点O，A1；将C1绕A1旋转180°得到C2，交x轴于A2；将C2绕A2旋转180°得到C3，交x轴于A3；…，如此进行下去，直至得到C6，若点P(11，m)在第6段抛物线C6上，则m=_____．13．如图所示，在平面直角坐标系中，半径均为1个单位长度的半圆O1，O2，O3，…组成一条平滑的曲线，点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒eq\f(π,2)个单位长度，则第2017秒时，点P的坐标是___________．答案：1.D2.-13.-4.-20165.(-2)+1=(-1)26.B7.508.(++4)9.D10.11.(6048,2)12.-113.(2017,)三、动态几何典例精讲例1在中，，是中点，把一三角尺的直角顶点放在点处，以为旋转中心，旋转三角尺，三角尺的两直角边与的两直角边分别交于点．（1）求证：；（2）连接，探究：在旋转三角尺的过程中，的周长是否存在最小值，若存在，求出最小值，若不存在．请说明理由．（1）证明：连接，中，，是的中点，，．，（2）解：的周长存在最小值．理由是：．令，，则=．当时，有最小值=8，从而．故的周长存在最小值，其最小值是．例2如图，在平面直角坐标系中，已知的两条直角边、分别在轴和轴上，并且、的长分别是方程的两根（），动点从点开始在线段上以每秒1个单位长度的速度向点运动；同时，动点从点开始在线段上以每秒2个单位长度的速度向点运动，设点运动的时间为秒．（1）求两点的坐标．（2）求当为何值时，与相似，并直接写出此时点的坐标．（3）当时，在坐标平面内，是否存在点，使以为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）解得，，(2)由题意得，，可分两种情况讨论：①当时，如图1解得所以可得②当时，如图2解得所以可得（3）存在，，针对性训练1.如图，甲、乙两人分别从、两点同时出发，点为坐标原点，甲沿方向、乙沿方向均以4km/h的速度行走，后，甲到达点，乙到达点．（1）请说明甲、乙两人到达点前，与不可能平行．（2）当为何值时，？（3）甲、乙两人之间的距离为的长，设，求与之间的函数关系式，并求甲、乙两人之间距离的最小值．2.将一个直角三角形纸片ABO，放置在平面直角坐标中，点，点，点，过边OA上的动点M（点M不与点O，A重合）作于，沿着MN折叠该纸片，得顶点A的对应点.设，折叠后的△与四边形OMNB重叠部分的面积为S。（1）如图①，当点与顶点B重合时，求点M的坐标；（2）如图②，当点落在第二象限时，与OB相交于点C，试用含的式子表示S；（3）当时，求点M的坐标（直接写出结果即可）3.问题：如图(1)，点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，∠EAF＝45°，试判断BE、EF、FD之间的数量关系．[发现证明]小聪把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，从而发现EF＝BE＋FD，请你利用图(1)证明上述结论．[类比引申]如图(2)四边形ABCD中，∠BAD≠90°，AB＝AD，∠B＋∠D＝180°，点E、F分别在边BC、CD上，则当∠EAF与∠BAD满足________关系时，仍有EF＝BE＋FD．[探究应用]如图(3)，在某公园的同一水平面上，四条道路围成四边形ABCD．已知AB＝AD＝80米，∠B＝60°，∠ADC＝120°，∠BAD＝150°，道路BC、CD上分别有景点E、F，且AE⊥AD，DF＝米，现要在E、F之间修一条笔直道路，求这条道路EF的长(结果取整数，参考数据：＝1.41，)．参考答案1.解：（1）因为坐标为，所以因为，．当时，解之得，即在甲、乙两人到达点前，只有当时，，所以与不可能平行；（2）因为甲到达点时间为，乙到达点的时间为，所以甲先到达点，所以或时，、、三点不能连接成三角形，①当时，如果，则有，解之得.所以不可能相似于；②当时，，显然不可能相似于；③当时，，解得．所以当时，；（3）①当时，如图1，过点作轴，垂足为，在中，因为，所以，，所以，所以．②当时，如图2，作轴，垂足为，在中，，所以．③当时，同理可得，综上所述，．因为，所以当时，有最小值为12，所以甲、乙两人距离的最小值为km． 12分2.（1）在Rt△ABO中，点，点，点.∴.由得.根据题意，由折叠可知△BMN≌△AMN，有.在Rt△MOB中，由勾股定理，得，解得.∴点M的坐标为.（2）在Rt△ABO中，，∴.由得，∴在Rt△AMN中，得，，∴.由折叠可知△A/MN≌△AMN，有.∴.在Rt△COM中，得.∴.又于是，即.（3）（由（1）得点A/与点B重合时，易求S=由于，所以点A/应在AB上，此时S=,点M为（1）小题中AM的中点，此时的坐标为（，0））3.(1)EF＝BE＋FD；(2)∠EAF＝∠BAD；(3)109【解析】(1)将△ABE绕点A顺时针方向旋转90°至△ADG，使AB与AD重合，∴△ABE≌△ADG，∴∠BAE＝∠DAG，∠B＝∠ADG，AE＝AC，BE＝DG，在正方形ABCD中，∠B＝∠ADF＝90°，∴∠ADG＋∠ADF＝180°，即点G、D、F在一条直线上，在△EAF和△GAF中，∴△EAF≌△GAF，∴EF＝GF，又GF＝DG＋DF＝BE＋DF，∴EF＝BE＋FD．(2)∠EAF＝∠BAD，理由如下：将△ABE绕点A逆时针方向旋转∠DAB至△ADG，使AB与AD重合，∴△ABE≌△ADG，∴∠BAE＝∠DAG，∠B＝∠ADG，AE＝AC，BE＝DG，在四边形ABCD中，∠B＋∠ADF＝180°，∴∠ADG＋∠ADF＝180°，即点G、D、F在一条直线上，在△EAF和△GAF中，∴△EAF≌△GAF，∴EF＝GF，又GF＝DG＋DF＝BE＋DF，∴EF＝BE＋FD．(3)连接AF，延长BA、CD交于点O，Rt△AOD中，∠ODA＝60°，∠OAD＝30°，AD＝80，∴AO＝，OD＝40，∵OF＝OD＋DF＝40＋40(－1)＝，∴AO＝OF，∴∠OAF＝45°，∴∠DAF＝45°－30°＝15°，∴∠EAF＝90°－15°＝75°，∴∠EAF＝∠BAD．由[类比引申]的结论可得EF＝BE＋DF＝40(＋1)≈109．二、概率（一）考点扫描概率在近五年河北省中考中每年设置1～2道题，选择题、填空题、解答题均有考查，本章常考的知识点有：①事件的分类；②简单事件概率的计算；③频率与概率。考点一、事件的分类【例1】下列事件属于必然事件的是()A．在1个标准大气压下，水加热到100℃B．明天我市最高气温为56C．中秋节晚上能看到月亮D．下雨后有彩虹【举一反三】下列事件中，为必然事件的是()A．购买一张彩票，中奖B．打开电视，正在播放广告C．抛掷一枚硬币，正面向上D．一个袋中只装有5个黑球，从中摸出一个球是黑球答案：【例1】A【举一反三】D考点二、用树状图法或列表法求概率【例2】在一个不透明的口袋中装有4张形状、大小相同的纸牌，它们分别标有数字1,2,3,4.随机地摸出一张纸牌，记下数字，然后放回，洗匀后再随机摸出一张纸牌并记下数字．(1)计算两次摸出的纸牌上的数字之和为6的概率；(2)甲、乙两个人玩游戏，如果两次摸出纸牌上的数字之和为奇数，则甲胜；如果两次摸出纸牌上的数字之和为偶数，则乙胜．这个游戏公平吗？请说明理由．【举一反三】一个不透明的布袋里装有2个白球，1个黑球和若干个红球，它们除颜色外其余都相同，从中任意摸出1个球，是白球的概率为．（1）布袋里红球有多少个？（2）先从布袋中摸出1个球后不放回，再摸出1个球，请用列表法或画树状图等方法求出两次摸到的球都是白球的概率．答案：【例2】解：用树状图法：或列表法：由上表可以看出，摸出一张纸牌然后放回，再随机摸出纸牌，可能结果有16种，它们出现的可能性相等．(1)两次摸出纸牌上的数字之和为6(记为事件A)有3种可能结果，P(A)＝eq\f(3,16).(2)这个游戏公平，理由如下：两次摸出纸牌上数字之和为奇数(记为事件B)有8种可能结果，P(B)＝eq\f(8,16)＝eq\f(1,2).两次摸出纸牌上数字之和为偶数(记为事件C)有8种可能结果，P(C)＝eq\f(8,16)＝eq\f(1,2).两次摸出纸牌上数字之和为奇数和为偶数的概率相同，所以这个游戏公平．【举一反三】解：（1）设红球的个数为x，由题意可得：，解得：x=1，经检验x=1是方程的根，即红球的个数为1个；（2）画树状图如下：∴P（摸得两白）==．方法总结：1．用列举法求概率，无论是简单事件还是复杂事件，都先列举所有可能出现的结果，再代入P(A)＝eq\f(m,n)计算．2．在用列举法解题时，一定要注意各种情况出现的可能性务必相同，不要出现重复、遗漏等现象．3．判断游戏的公平性，在相同的条件下，应考虑随机事件发生的可能性是否相同，可能性大的获胜机会就大．考点三、频率与概率【例3】小明在学习了统计与概率的知识后，做了投掷骰子的试验，小明共做了100次试验，试验的结果如下：朝上的点数123456出现的次数171315232012(1)试求“4点朝上”和“5点朝上”的频率；(2)由于“4点朝上”的频率最大，能不能说一次试验中“4点朝上”的概率最大？为什么？【举一反三】某质检员从一大批种子中抽取若干批，在同一条件下进行发芽试验，有关数据如下：种子粒数50100200500100030005000发芽种子粒数459218445891427324556发芽频率(1)计算各批种子发芽频率，填入上表．(2)根据频率的稳定性估计种子的发芽概率．答案：【例3】解：(1)“4点朝上”出现的频率是eq\f(23,100)＝0.23.“5点朝上”出现的频率是eq\f(20,100)＝0.20.(2)不能这样说，因为“4点朝上”的频率最大并不能说明“4点朝上”这一事件发生的概率最大，只有当试验的次数足够多时，该事件发生的频率才稳定在事件发生的概率附近．【举一反三】解：(1)通过计算，发芽频率从左到右依次为：0.9,0.92,0.92,0.916,0.914,0.911,0.911.(2)由(1)知，发芽频率逐渐稳定在0.911，因此可以估计种子的发芽概率为0.911.方法总结：在大量重复试验中，随着统计数据的增大，频率稳定在某个常数左右，将该常数作为概率的估计值，两者的区别在于：频率是通过多次试验得到的数据，而概率是理论上事件发生的可能性，二者并不完全相同．考点四、概率的应用【例4】在一副扑克牌中取牌面花色分别为黑桃、红心、方块各一张，洗匀后正面朝下放在桌面上．(1)从这三张牌中随机抽取一张牌，抽到牌面花色为红心的概率是多少？(2)小王和小李玩摸牌游戏，游戏规则如下：先由小王随机抽出一张牌，记下牌面花色后放回，洗匀后，再由小李随机抽出一张牌，记下牌面花色．当两张牌面的花色相同时，小王赢；当两张牌面的花色不相同时，小李赢．请你利用树状图或列表法分析该游戏规则对双方是否公平？并说明理由．【举一反三】(1)四张质地、大小、背面完全相同的卡片上，正面分别画有圆、矩形、等边三角形、等腰梯形四个图案．现把它们的正面向下随机摆放在桌面上，从中任意抽出一张，则抽出的卡片正面图案是中心对称图形的概率为()A．eq\f(1,4)B．eq\f(1,2)C．eq\f(3,4)D．1(2)5月19日为中国旅游日，衢州推出“读万卷书，行万里路，游衢州景”的主题系列旅游惠民活动，市民王先生准备在优惠日当天上午从孔氏南宗庙、烂柯河、龙游石窟中随机选择一个地点；下午从江郎山、三衢石林、开化根博园中随机选择一个地点游玩．则王先生恰好上午选中孔氏南宗庙，下午选中江郎山这两个地点的概率是()A．eq\f(1,9)B．eq\f(1,3)C．eq\f(2,3)D．eq\f(2,9)答案：【例4】解：(1)P(抽到牌面花色为红心)＝eq\f(1,3).(2)游戏规则不公平．理由如下：由树状图或表格知：所有可能出现的结果共有9种．P(抽到牌面花色相同)＝eq\f(3,9)＝eq\f(1,3)，P(抽到牌面花色不相同)＝eq\f(6,9)＝eq\f(2,3).∵eq\f(1,3)＜eq\f(2,3)，∴此游戏不公平，小李赢的可能性大．【举一反三】1.B2.A方法总结：游戏公平与否，关键是根据规则算出各自的概率，概率均等则游戏公平，否则就不公平．设计游戏规则时，应先根据题意求出随机事件的各种可能出现的情况的概率，再根据其中概率相等时的情况设计公平的游戏规则，也可根据概率不相等时的情况设计公平的游戏规则．(二)精选习题一、选择题1．让图中两个转盘分别自由转动一次，当转盘停止转动时，两个指针分别落在某两个数所表示的区域，则这两个数的和是2的倍数或是3的倍数的概率等于（）A.B.C.D.2．把一枚均匀的骰子连续抛掷两次，则两次朝上面的点数之积为3的倍数的概率是（）A．B．C．D．3．在一个不透明的口袋中装有6个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4，5，6,从中随机摸出一个小球，其标号大于2的概率为()A.B.C.D.4．一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1，2，3，4，5，6．掷两次骰子，设其朝上的面上的两个数字之和除以4的余数分别是0，1，2，3的概率为P0，P1，P2，P3，则P0，P1，P2，P3中最大的是（）A．P0B．P1C．P2D．P5．有一箱子装有3张分别标示4、5、6的号码牌，已知小南以每次取一张且取后不放回的方式，先后取出2张牌，组成一个两位数，取出第1张牌的号码为十位数，第2张牌的号码为个位数，则组成的二位数为5的倍数的概率为（）A． B． C． D．6．一个不透明的盒子中装有2个红球和1个白球，它们除颜色外都相同．若从中任意摸出一个球，则下列叙述正确的是（）A．摸到红球是必然事件B．摸到白球是不可能事件C．摸到红球比摸到白球的可能性相等D．摸到红球比摸到白球的可能性大7．某中学举行数学竞赛，经预赛，七、八年级各有一名同学进入决赛，九年级有两名同学进入决赛，那么九年级同学获得前两名的概率是()A．eq\f(1,2)B．eq\f(1,3)C．eq\f(1,4)D．eq\f(1,6)8．如图，电路图上有四个开关A、B、C、D和一个小灯泡，闭合开关D或同时闭合开关A、B、C都可使小灯泡发光，则任意闭合其中两个开关，小灯泡发光的概率是（）A． B． C． D．9．下列说法中正确的是（）A．掷两枚质地均匀的硬币，“两枚硬币都是正面朝上”这一事件发生的概率为B．“对角线相等且相互垂直平分的四边形是正方形”这一事件是必然事件C．“同位角相等”这一事件是不可能事件D．“钝角三角形三条高所在直线的交点在三角形外部”这一事件是随机事件二、填空题1．在一个口袋中有三个完全相同的小球，把它们分别标上数字﹣1，0，2，随机地摸出一个小球记录数字然后放回，再随机地摸出一个小球记录数字．则两次的数字和是正数的概率为．2．A、B、C三张外观一样的门卡可分别对应a、b、c三把电子锁，若任意取出其中一张门卡，恰好打开a锁的概率是；若随机取出三张门卡，恰好一次性对应打开这三把电子锁的概率是．3．已知一包糖果共有5种颜色（糖果只有颜色差别），如图是这包糖果分布百分比的统计图，在这包糖果中任意取一粒，则取出糖果的颜色为绿色或棕色的概率是．第3题第6题4．从3，0，﹣1，﹣2，﹣3这五个数中，随机抽取一个数，作为函数y=（5﹣m2）x和关于x的方程（m+1）x2+mx+1=0中m的值，恰好使所得函数的图象经过第一、三象限，且方程有实数根的概率为．5．小燕抛一枚硬币10次，有7次正面朝上，当她抛第11次时，正面向上的概率为．6．如图所示，一个圆形转盘被等分为八个扇形区域，上面分别标有数字1,2,3,4，转盘指针的位置固定，转动转盘后任其自由停止．转动转盘一次，当转盘停止转动时，记指针指向标有“3”所在区域的概率为P(3)，指针指向标有“4”所在区域的概率为P(3)P(4)．(填“＞”、“＜”或“＝”)三、解答题1．一个布袋中装有只有颜色不同的个球，分别是2个白球，4个黑球，6个红球和b个黄球，从中任意摸出一个球，把摸出白球，黑球，红球的概率绘制成统计图（未绘制完整），请补全该统计图并求出的值。（）2．有一组互不全等的三角形，它们的边长均为整数，每个三角形有两条边的长分别为5和7．（1）请写出其中一个三角形的第三边的长；（2）设组中最多有n个三角形，求n的值；（3）当这组三角形个数最多时，从中任取一个，求该三角形周长为偶数的概率．3．在A，B，C，D四张卡片上分别用一句话描述了一个图形，依次为：A：内角和等于外角和的一半的正多边形；B：一个内角为108°的正多边形；C：对角线互相平分且相等的四边形；D：每个外角都是36°的多边形．（1）依次说出这四张卡片上描述的图形名称；（2）从这四张卡片中任取两张，描述的图形都既是轴对称图形又是中心对称图形的概率是多少（利用树状图或列表来求解）4．有A、B两个不透明的布袋，A袋中有三个相同的小球，分别标有数字－2、0和1，B袋中有两个相同的小球，分别标有数字0和－2.小林从A袋中随机取出一个小球，记录标有的数字为x，再从B袋中随机取出一个小球，记录标有的数字为y，这样确定了点Q的坐标(x，y)．(1)用画树状图或列表的形式，求点Q在y轴上的概率；(2)在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径是2，求过点Q能作⊙O切线的概率．5．甲、乙两人每次都从五个数–2，–1，0，1，2中任取一个，分别记作x、y.在平面直角坐标系中有一圆心在原点、半径为2的圆.⑴能得到多少个不同的数组(x，y)?⑵若把⑴中得到的数组作为点的坐标(x，y),则点落在圆内的概率是多少?6．任意抛掷一枚均匀的骰子（各个面上的点数为1﹣6），将第一次，第二次抛掷的点数分别记为m，n（1）求m=n的概率P1．（2）求m+n为奇数的概率P2．（3）在平面直角坐标系中，求以（1，1）（2，0）（m，n）为顶点能构成直角三角形的概率P3．7．设函数，其中a可取的值是－1，0，1；b可取的值是－1，1，2：（1）当a、b分别取何值时所得函数有最小值？请直接写出满足条件的这些函数和相应的最小值；（2）如果a在－1，0，1三个数中随机抽取一个，b在－1，1，2中随机抽取一个，共可得到多少个不同的函数解析式？在这些函数解析式中任取一个，求取到当x＞0时y随x增大而减小的函数的概率.8．从数﹣2，﹣1，1，3中任取两个，其和的绝对值为k（k是自然数）的槪率记作Pk（如：P3是任取两个数，其和的绝对值为3的概率）（1）求k的所有取值；（2）求P1，P4．9．在一个不透明的布袋里装有4个标号为1、2、3、4的小球，它们的材质、形状、大小完全相同，小凯从布袋里随机取出一个小球，记下数字为x，小敏从剩下的3个小球中随机取出一个小球，记下数字为y，这样确定了点P的坐标（x，y）．（1）请你运用画树状图或列表的方法，写出点P所有可能的坐标；（2）求点P（x，y）在函数y=﹣x+5图象上的概率．答案：一、选择题1．C2．D3．C4．D5．C6．D7．D8．A9．B二、填空题1．．2．；．3．．4．．5．．6．＞三、解答题1．解：球的总数：4÷0.2=20（个），2+4+6+b=20，解得：b=8，摸出白球的概率：2÷20=0.1，摸出红球的概率：6÷20=0.3，===0.4．2．解：（1）设三角形的第三边为x，∵每个三角形有两条边的长分别为5和7，∴7﹣5＜x＜5+7，∴2＜x＜12，∴其中一个三角形的第三边的长可以为10．（2）∵2＜x＜12，它们的边长均为整数，∴x=3，4，5，6，7，8，9，10，11，∴组中最多有9个三角形，∴n=9；（3）∵当x=4，6，8，10时，该三角形周长为偶数，∴该三角形周长为偶数的概率是．3．解：（1）A：内角和等于外角和的一半的正多边形是等边三角形；B：一个内角为108°的正多边形是正五边形；C：对角线互相平分且相等的四边形是矩形；D：每个外角都是36°的多边形是正十边形；（2）根据题意画出树状图如下：一共有12种情况，抽出的两张卡片的图形是既是轴对称图形又是中心对称图形的共有2种情况，所以既是轴对称图形又是中心对称图形的概率是=．4．解：（1）画树状图得：则点Q所有可能的坐标有：（﹣2，0），（0，0），（1，0），（﹣2，﹣2），（0，﹣2），（1，﹣2）；∵点Q在y轴上的有：（0，﹣2），（0，0），∴点Q在y轴上的概率为：；（2）∵⊙O的半径是2，∴在⊙O外的有（﹣2，﹣2），（﹣2，1）在⊙O上的有（0，﹣2），（﹣2，0），∴过点Q