第4章 线性系统的根轨迹法

1自动控制原理兰州理工大学技术工程学院

自动化教研室第四章线性系统的根轨迹法

4.1根轨迹法的基本概念4.2根轨迹绘制的基本法则4,3广义根轨迹4.4系统性能分析4.5控制系统复域设计4-1根轨迹的基本概念根轨迹法：在已知系统开环传递函数的极点、零点分布的基础上，研究某个或某些参数变化对系统闭环特征根分布的影响的一种图解方法。特点：

是一种图解方法；

利用开环极点和开环零点确定闭环极点。1.开环零点、极点及根轨迹增益开环传函控制系统方框图一般为：K为系统的开环增益k为系统开环根迹增益2.闭环根与开环传递函数的关系

闭环特征方程为：整理，得也即,n≥m所以：

闭环特征方程=开环传函分母+开环传函分子=0上式的解就是闭环根，闭环根也叫闭环极点。3.根轨迹绘制举例（解析法）例1系统结构图如图所示，分析

l随开环增益K变化的趋势。

解.

K:开环增益K*:根轨迹增益根轨迹与系统性能

根轨迹与系统性能稳定性

考察根轨迹是否进入右半s平面。稳态性能

开环传递函数在坐标原点有一个极点，系统为1型系统，根轨迹上的K值就是静态速度误差系数。如果给定系统的稳态误差要求，则由根轨迹图可以确定闭环极点位置的容许位置。

动态性能

由K值变化所对应的闭环极点分布来估计。根轨迹法的任务：由已知的开环零极点和根轨迹增益，用图解方法确定闭环极点。由闭环传递函数当求出相应的根，就可以在s平面上绘制出根轨迹。根轨迹方程根轨迹方程根轨迹方程可以进一步表示为相角条件（幅角条件）：（充分必要条件）模值条件（幅值条件）：

由开环零、极点指向轨迹点的向量的方位角。例2判定si是否为根轨迹上的点。模值条件解.相角条件4-2根轨迹绘制的基本法则常规根轨迹：可变参数为根轨迹增益相角条件：180o根轨迹规则1：根轨迹的起点和终点：根轨迹起始于开环极点，终止于开环零点。又从简要证明：在实际系统通常是，因此有条根轨迹终止于s平面的无穷远处，这意味着在无穷远处有

个无限远（无穷）零点。有两个无穷远处的终点有一个无穷远处的起点规则2：根轨迹的分支数、对称性和连续性根轨迹的分支数与开环极点数n相等（n>m）或与开环有限零点数m相等（n<m)根轨迹连续：根轨迹增益是连续变化导致特征根也连续变化。实轴对称：特征方程的系数为实数，特征根必为实数或共轭复数。规则3：实轴上的根轨迹若实轴的某一个区域是一部分根轨迹，则必有：其右边（开环实数零点数+开环实数极点数）为奇数。这个结论可以用相角条件证明。由相角条件jωσ

×

×

×

×

规则4：根轨迹渐近线当n>m时，则有（n-m)条根轨迹分支终止于无限零点。这些根轨迹分支趋向无穷远的渐近线由与实轴的夹角和交点来确定。与实轴夹角与实轴交点22例1设单位反馈系统的前向传递函数为（2）有4条根轨迹的分支，对称于实轴（1）（3）有n-m=4-1=3条根轨迹渐近线与实轴夹角与实轴交点规则5：根轨迹分离点和会合点两条或两条以上的根轨迹分支在s平面上相遇又立即分开的点称为分离点。分离点的坐标d由下列方程所决定：0j分离角为：0jj0系统闭环特征方程为

根轨迹若有分离点，表明闭环特征方程有重根，重根条件为

两式相除得简单证明：解（1）开环零点开环极点根轨迹分支数为3条，有两个无穷远的零点。例2绘制图示系统大致的根轨迹代入得（2）实轴上根轨迹（4）分离点（用试探法求解）（3）趋向无穷远处的渐近线的夹角与交点规则6：根轨迹的起始角（出射角）和终止角（入射角）起始角（出射角）：根轨迹离开复平面上开环极点处的切线与实轴的夹角。终止角（入射角）：根轨迹进入复平面上开环零点处的切线与实轴的夹角。例

求起始角33.5o63.5o135o90o例已知，试求出射角。解：§4.2绘制根轨迹的基本法则法则7

与虚轴交点：解法I：1）系统临界稳定点2）s=jw是根的点解法II：稳定范围：0<K<3§4.2绘制根轨迹的基本法则法则8

根之和：证明：

n-m≥2时，闭环根之和保持一个常值。由代数定理：n-m≥2时,一部分根左移,另一部分根必右移,且移动总量为零。结论：若n-m2闭环极点之和=开环极点之和=常数表明：在某些根轨迹分支（闭环极点）向左移动，而另一些根轨迹分支（闭环极点）必须向右移动，才能维持闭环极点之和为常数。画出开环零、极点分布图

2.根轨迹有四条分支。3.根轨迹对称实轴。例某负反馈控制系统的开环传递函数为解:-1分离点，试绘制根轨迹图。484-4=0得=121

=121-j11.24.实轴上没有根轨迹分布。j11.2

=1215.渐近线和实轴的交点。6.分离点和会合点。7.根轨迹与虚轴的交点。开环稳定≠闭环稳定负反馈未必一定能改善系统性能说明：4-3广义根轨迹广义根轨迹是指根轨迹参数除了开环增益之外的所有根轨迹。参数根轨迹以非开环增益为可变参数绘制的根轨迹引入等效开环传递函数的概念等效开环传递函数例1：设单位反馈系统的开环传递函数为其开环增益可自行选定。试分析时间常数对系统性能的影响。解：闭环特征方程要绘制参数根轨迹，首先要求出等效开环传递函数的极点附加开环零点的作用1.附加适当的开环零点可以改善系统的稳定性。设开环传递函数为

为附加的开环实数零点，其值可在s左半平面内任意选择，当

时，表明不存在有限零点。令为不同的数值，对应的根轨迹见P.164图4-22所示：（a）无开环零点；（b）；（c）（d）2.附加开环零点的目的，除了改善系统稳定性之外，还可以改善系统的动态性能。结论：只有当附加零点相对原有系统开环极点的位置选配适当，才有可能使系统的稳定性和动态性能同时得到明显的改善。零度根轨迹一些复杂系统中，包含了正反馈内回路，有时为了分析内回路的特性，则有必要绘制相应的根轨迹，其相角条件为具有这类相角条件的相轨迹称为：零度根轨迹规则4：渐近线与实轴夹角与实轴交点规则3：实轴上的根轨迹若实轴的某一个区域是一部分根轨迹，则必有：其右边（开环实数零点数+开环实数极点数）为偶数。规则6：根轨迹的起始角（出射角）和终止角（入射角）起始角（出射角）：终止角（入射角）：P.166表4-3列出了零度根轨迹绘制法则例3设具有正反馈回路系统的内回路传递函数分别为试绘制该回路的根轨迹图。（1）系统的开环零极点分布为有三条根轨迹分支，实轴上的根轨迹（-，-3]，[-2，）。（2）根轨迹的渐近线（n-m)=2条，渐近线夹角（3）确定出射角（4）确定分离点（5）确定临界开环增益，显然根轨迹过坐标原点，坐标原点对应的开环增益为非最小相位系统的根轨迹在非最小相位系统开环传递函数的分子分母多项式中，最高次项系数为正：（1）开环传递函数为：时，（>0），按负反馈系统根轨迹的法则绘制根轨迹。（2）开环传递函数为：时，（>0），按正反馈系统根轨迹的法则绘制根轨迹4-4系统性能的影响一、增加零点对根轨迹的影响二、闭环零、极点对系统瞬态性能的影响极点的分布决定了瞬态响应的类型。

零、极点的分布决定了瞬态响应曲线的形状及指标。要求系统快速性好

要求平稳性好，则共轭复数极点应位于等ζ线与复实轴夹角45°线附近。3.主导极点与偶极子主导极点

偶极子：一对靠得很近的闭环零、极点4.不能忽略的闭环零点对瞬态响应的影响。可使系统响应速度加快，超调量增大，5.不能忽略的闭环极点对瞬态响应的影响。可使系统响应速度减慢，超调量减小，调节时间加长