插值法应用课堂讲解版

1结束第六章插值法插值法在数值分析这门课程中是最基础，且应用最广泛的知识．在工程应用中对于函数y=f(x)常常不能得到一个具体的解析表达式，它可能是通过实验、测量或者中间计算而得到的一组数据(xi,f(xi))i=0,1,2,…,n，或者虽然有函数y=f(x)的解析表达式，但其关系式相当复杂，不便于计算和使用．因此我们需要用一个比较简单的函数y=y(x)来近似代替数据,,或近似代替函数y=f(x),使称y=y(x)为函数y=f(x)在点x0,x1,…,xn处的插值函数．利用插值函数可以近似计算被插值函数f(x)的函数值和导数值以及进行数值积分和数值微分等近似计算．插值函数的形式可以是多项式、有理分式、三角函数和指数函数等．但在工程计算上使用最多的是多项式插值和分段多项式插值．2结束定义6.1设f(x)在[a,b]上有定义,相异的点xi,i=0,1,2,…,n,都在[a,b]上，不妨设又设f(xi)为f(x)在这些点上的准确值，若存在一个多项式y(x)，使则称y(x)为函数f(x)的插值多项式,称[a,b]为插值区间,条件(6.1)称为插值条件．其几何意义如图6－1所示．求插值多项式，即是使曲线y(x)与f(x)在平面上有n+1个交点．3结束为保证插值多项式y(x)的惟一性，限制y(x)为次数不超过n次的多项式，记Mn为次数不超过次的多项式集合．定理6.1设y(x)

Mn,则满足插值条件(6.1)的y(x)存在且惟一．证令由插值条件(6.1),有线性方程组方程组(6.2)有个待定参数，其系数行列式为Vandermonde行列式4结束由Cramer法则，方程组(6.2)存在一组惟一的解．可以利用求解方程组(6.2)来构造插值多项式，称之为待定参数法．但更多的是用以下的插值方法．§6.1Lagrange插值6.1.1

线性插值设有数据解方程组5结束得：此时的插值多项式为记称为Lagrange插值基函数，则6结束几何意义如图6－2所示例6.1已知,求的近似值．解插值条件为准确值=2.64575137结束6.1.2二次插值已知数据，求一个二次多项式使其满足由(6.3)的启示，令其中均为二次多项式，且满足现用待定参数法来确定8结束由于为二次函数，且，故可令由有所以同理可得9结束称为Lagrange插值基函数，二次插值多项式为其几何意义如图6－3所示．即用通过三个点的抛物线段来近似代替区间[x0,x2]上的曲线段.10结束例6.2已知，求的近似值．解插值条件为6.1.3n次插值类似方法可推导出一般的n次插值多项式，引进记号．则有11结束n次的Langrange插值基函数为n次插值多项式为称(6.7)为n次Lagrange插值多项式，常记为．12结束6.1.4插值余项定义6.2设y(x)是在[a,b]上满足插值条件的f(x)的插值多项式．称为插值多项式y(x)的余项．定理6.2设f(x)在[a,b]上具有直到n+1阶的导数，则有其中[a,b]且与x有关.查看证明13结束例6.3设，给出如下数据，求的近似值．解x0.40.50.70.8ln(x)-.0916291-0.693147-0.356675-0.223144同理可计算准确值余项14结束Lagrange插值多项式的一个明显的优点是形式对称，易于编制程序，只需用二重循环就可完成的计算．对大多数插值而言，余项将会随着节点个数增加(即插值多项式次数的提高)而减小．因此一般可以通过增加插值节点的个数，即提高插值多项式的次数来提高插值精度．但是在使用Lagrange插值多项式时，当增加插值节点时，原来算出的每一个插值基函数不能再用，都得重新计算，这就造成计算的浪费．因此在实用中需要构造能充分利用以前计算结果的插值方法．15结束１．差商的概念(差商又称为均差)定义6.3设函数f(x)在[a,b]上有定义，是[a,b]上互异节点，其函数值为．为函数f(x)在处的一阶差商．称称为函数f(x)在处的二阶差商．一般地称为函数f(x)在处的k阶差商．16结束2．差商的性质(1)函数f(x)的k阶差商可由节点处的函数值的线性组合来表示，且(2)差商具有对称性在f(x)的k阶差商中交换节点的位置，差商的值不变．若f(x)的k阶差商是x的m次多项式，则f(x)的k+1阶差商是x的m－1次多项式.特别,对n次多项式f(x)的k阶差商,当k=n时是常数，当k>n时恒为0．17结束其中与节点有关．特别，由导数的定义有(4)差商与导数之间的关系3.差商表计算18结束6.2.1

Newton插值多项式由差商的定义有依次将后一个等式带入前一个等式就有19结束在(6.8)式中的取x为插值节点，有即是满足插值条件的n次多项式，称之为Newton插值多项式，其余项由插值多项式的惟一性，这两个插值多项式的余项也应相同故有20结束Newton插值多项式的一个显著优点是当需要增加节点提高插值多项式次数时，可以充分利用前面已经计算出的结果．即k次Newton差商插值多项式是在k－1次Newton插值多项式的基础上增加了一项修正项作补偿或修正，从而提高了插值的精度．例6.4

已知sinx在的数表:求sin10o,sin40o的近似值x030456090sinx00.500000.707110.86603121结束xsinx一阶差商二阶差商三阶差商四阶差商0304560900.000000.500000.707110.866031.000000.016670.013810.010600.00447-0.0000635-0.0001070-0.0001362-0.000000726-0.0000004850.00000000267精确值:,类似地可计算解：先计算差商表计算各次Newton插值多项式的值22结束§6.4Hermite插值在应用中，不少的实际插值问题不仅要求y(x)在节点处与f(x)具有相同的函数值，而且要求y(x)在全部或部分节点处与f(x)具有相同的一阶甚至高阶导数值，这类插值统称为Hermite插值．Hermite插值条件的组合很多，研究得较多的是带一阶导数条件的插值．本书就称一阶导数条件的插值为Hermite插值．6.4.1带一阶导数的Hermite插值1.带完全一阶导数的Hermite插值用类似Largrandge插值的推导方法，综合使用基函数和待定系数法，可推出各种Hermite插值公式，下面只列出常用的几种：如在全部节点都知道函数值和一阶导数值，则称知为带完全一阶导数的Hermite插值。有公式：23结束其中为Lagrange插值基函数．余项为24结束2.两点三次Hermite插值如在节点知道函数值和一阶导数值，则对应的插值称为两点三次Hermite插值．有公式：及误差估计式25结束３.三点三次Hermite插值如在节点知道函数值并且在x1知道一阶导数值，则对应的插值称为三点三次Hermite插值．有公式：及误差估计式26结束例6.8给出的如下数据,用三次Hermite插值(6.21)和(6.23)求的近似值,精确到6位小数,并估计其误差.(精确值x30o45o60osinx0.5000000.7071070.866025cosx0.8660250.7071070.500000解：１．两点三次插值27结束可见两点或三点的三次Hermite插值效果已相当不错．２．三点三次插值28结束§6.5分段插值6.5.1

Runge振荡现象由Lagrange插值多项式的余项公式其中可看出，当Ｍ随n的增大变化不大时，|E(x)|将会随n的增大而减小．这时可以通过增加插值节点的个数，即提高插值多项式的次数来提高精度．但这并不总是可行的，如下例所示．29结束插值多项式y=L10(x)在x=0附近与有较好的近似，但在x靠近-５和５时误差很大，发生了振荡，称之为Runge振荡现象.而且随着n的增大,振荡越厉害.所以对该例而言增加插值节点并没有提高精度,反而使误差更大．例6.9设有函数在[-5,5]取等距的插值节点进行Lagrange插值，插值效果如图6－4所示解决此问题一个较好的方案是采用分段，低次的插值．常用的分段插值有：30结束6.5.2分段线性插值定义6.6设已知点上的函数值，若有一折线y(x)函数满足1.在[a,b]上连续,2.3.在每个子区间上是线性函数,则称y(x)是f(x)的分段线性插值函数．由插值多项式的惟一性，在每个小区间上可表示为31结束定理6.5设f(x)在[a,b]上存在；y(x)是f(x)的分段线性插值函数，令则有6.5.3分段三次Hermite插值在节点处，分段线性插值多项式不具有光滑性．为了使插值多项式具有光滑性，常采用分段三次Hermite插值．则称Ｈ(x)为分段三次Hermite插值多项式．定义6.7设有节点,插值函数Ｈ(x)满足1.Ｈ(x)在[a,b]上具有连续的一阶导数,3.Ｈ(x)在每个小区间上是三次多项式,32结束仍由插值多项式的惟一性，当时，分段三次Hermite插值多项式为定理6.6设f(4)(x)在[a,b]上连续，Ｈ(x)是f

(x)的分段三次Hermite插值多项式，则令33结束§6.6样条插值前面介绍的分段线性插值和分段三次Hermite插值多项式具有一定实用性.但分段线性插值多项式在节点处不具有光滑性，虽然分段三次Hermite插值多项式有一阶光滑性，但插值条件要求给出节点处的一阶导数值，这在应用中产生了一定的困难．现希望仅给出节点处函数值的插值条件和边界条件就能构造出具有二阶连续导数的插值函数．这就是本节将介绍的样条插值函数．样条(Spline)一词来源于工程中的样条曲线，它是弹性充分好的木条或金属条．工程师为了从一些离散的数据点得到光滑的曲线，就用样条将这些点连结起来，让样条自然弯曲所产生的曲线，作为所需数据处的近似光滑曲线．34结束为方便起见，今后用Ｃk[a,b]表示区间[a,b]上具有k阶连续导数的函数集合．对f(x)Ｃk[a,b],称f(x)在[a,b]上k阶光滑．定义6.8设是[a,b]的一个划分若函数S(x)满足:3.S(x)在每个子区间[xi,xi+1],i=1,2,…,n-1上都是次数不超过3次的多项式，且至少在一个子区间上为3次多项式．则称S(x)为关于划分的一个三次样条函数．实用中三次样条插值使用最为普遍．35结束除了(6.27)的n+1个函数值条件外，为了构造惟一的三次样条插值函数，还需补充两个插值条件．常在区间的端点处各补充一个条件，称之为边界条件．常用的边界条件有以下三种1.第一边界条件2.第二边界条件；特别当时，称之为自然边界条件,当f(x