插值法(lagrange插值,牛顿插值)

2023/1/311计算方法第二章插值法2023/1/312第二章插值法2.1引言2.2拉格朗日插值2.3差商与牛顿插值公式2.4差分与等距节点插值2.5埃尔米特插值2.6分段低次插值2.7三次样条插值2023/1/313本章要点用简单的函数(如多项式函数)作为一个复杂函数的近似,最简单实用的方法就是插值.本章主要介绍有关插值法的一些基本概念，及多项式插值的基础理论和几个常用的插值方法：拉格朗日插值、分段线性插值、牛顿插值、埃尔米特插值和三次样条插值.2023/1/3142.1引言能否存在一个性能优良、便于计算的函数一、插值问题2023/1/315这就是插值问题，上式为插值条件其插值函数的图象如下图2023/1/316二、代数插值多项式的存在唯一性整体误差的大小反映了插值函数的好坏为了使插值函数更方便在计算机上运算,一般插值函数都使用代数多项式和有理函数本章讨论的就是代数插值多项式且满足--------(2)--------(3)72023/1/31--------(4)上述方程组的系数行列式为n+1阶Vandermond行列式82023/1/31定理1.由Cramer法则,线性方程组(4)有唯一解--------(2)--------(3)则满足插值条件的插值多项式存在且唯一.虽然线性方程组(4)推出的插值多项式存在且唯一但通过解线性方程组(4)求插值多项式却不是好方法92023/1/312023/1/3110三、插值法的类型且满足其中为实数，就称P(x)为插值多项式，相应的插值法称为多项式插值；若P(x)为分段的多项式，就称为分段插值；若P(x)为三角多项式，就称为三角插值。本章只讨论多项式插值与分段插值2023/1/31112.2拉格朗日插值此插值问题可表述为如下：问题求作次数多项式，使满足条件这就是所谓的拉格朗日（Lagrange）插值。

拉格朗日（Lagrange）插值公式(以下统称为Lagrange插值公式)的基本思想是，把pn(x)的构造问题转化为n+1个插值基函数li(x)(i=0,1,…,n)的构造。2023/1/31122023/1/3113问题已知函数y=f(x)在点x0,x1上的值为y0,y1，求作一次式，使满足条件其几何意义，就是通过两点的一条直线。

2.2.1线性插值与抛物插值一、线性插值—点斜式2023/1/3114L12023/1/3115由直线两点式可知，通过A，B的直线方程为称为线性插值(n=1的情况)，分为内插与外推。适用情况：很小时2023/1/3116也可表示为如下对称形式：其中，显然，2023/1/3117线性插值举例例1:

已知，，求代入点斜式插值多项式得y=10.71428精确值为10.723805，故这个结果有3位有效数字。2023/1/3118

问题求作二次式，使满足条件二次插值的几何解释是用通过三个点

的抛物线来近似考察曲线，故称为拋物插值。类似于线性插值，构造基函数，要求满足下式：二、抛物插值2023/1/31192023/1/3120x0=100,x1=121,x2=144f(x0)=10,f(x1)=11,f(x2)=12(121–100)(121–144)L2(115)=(100–121)(100–144)(115–121)(115–144)*

10+(115–100)(115–144)*11+(144–100)(144–121)(115–100)(115–121)*12=10.7228抛物插值举例2(x0–x1)(x0–x2)(x–x1)(x–x2)f(x0)+(x1–x0)(x1–x2)(x–x0)(x–x2)f(x1)+(x2–x0)(x2–x1)(x–x0)(x–x1)f(x2)L2(x)=和用线性插值相比，有效数字增加一位2023/1/3121为了构造，我们先定义n次插值基函数。2.2.2拉格朗日n次插值多项式定义：若n次多项式在n+1个节点上满足条件2023/1/3122n+1次多项式对n=1及n=2时的情况前面已经讨论，用类似的推导方法，可得到n次插值基函数为：2023/1/3123且从而2023/1/3124总结称为y=f(x)的拉格朗日插值多项式称为n次拉格朗日插值基函数2023/1/3125例3：求过点(2，0)(4，3)(6，5)(8，4)(10，1)的拉格朗日插值多项式。2023/1/31262023/1/31272023/1/31282023/1/31292.2.3插值余项与误差估计一、插值余项满足不会完全成立因此，插值多项式存在着截断误差,那么我们怎样估计这个截断误差呢？2023/1/31302023/1/3131令设其中证明：假设在区间[a,b]上f(x)的插值多项式为2023/1/3132若引入辅助函数2023/1/3133根据Rolle定理,再由Rolle定理,依此类推由于2023/1/3134所以因此2023/1/3135则注意:（1）余项表达式只有在f(x)的高阶导数存在时才能应用。（2）在内的具体位置通常不可能给出，所以，设例1:已测得某地大气压强随高度变化的一组数据高度(m)0100300100015002000.压强(kgf/m2)0.96890.93220.89690.85150.79840.7485

试用二次插值法求1200米处的压强值.解：设x为高度，y为大气压强的值，选取(1000,0.8515),(1500,0.7984),(2000,0.7485)三点构造二次插值多项式(x-x1)(x-x2)(x-x0)(x-x2)(x-x0)(x-x1)

p2(x)=--

--------------

y0+---------------

y1+---------------

y2(x0-x1)(x0-x2)(x1-x0)(x1-x2)(x2-x0)(x2-x1)362023/1/31所以y(1200)p2(1200)=0.82980(kgf/m2)372023/1/312023/1/3138例2:解:2023/1/3139不同次数的Lagrange插值多项式的比较图Runge现象402023/1/312023/1/3141P441、2本章作业拉格朗日插值多项式的缺点：（1）插值基函数计算复杂（2）函数的高阶导数不易求（3）高次插值的精度不一定高1、给定正弦函数表如下，试用拉格朗日二次插值，求sin0.57891的近似值并估计误差。0.50.60.70.479340.564640.644222、已知函数表x1.131.151.171.20y=f(x)1.1911.3951.5931.790应用拉格朗日插值公式计算f(1.16)422023/1/31开始输入（xi,yi)及xi=0,1,2,...,nP=0,k=0T=1T=t(x-xi)/(xk-xi)i=0,1,2,...,k-1,k+1,...,nP=p+yktK=nK=k+1输出p结束FT编程思想432023/1/312023/1/3144

2.3差商与牛顿插值公式我们知道,拉格朗日插值多项式的插值基函数为形式上太复杂,计算量很大,并且重复计算也很多，且由于插值基函数L(x)依赖于全部基点，若算出所有L(x)后如需要增加插值节点，则必须重新计算,为了克服这个缺点，我们引进牛顿插值多项式。2023/1/3145由线性代数的知识可知,任何一个n次多项式都可以表示成共n+1个多项式的线性组合那么，是否可以将这n+1个多项式作为插值基函数呢？显然，多项式组线性无关，因此，可以作为插值基函数462023/1/312023/1/31472023/1/3148有为写出系数

的一般表达式，现引入差商概念再继续下去待定系数的形式将更复杂2023/1/3149定义:称

2.3.1差商及其性质一、差商的定义2023/1/3150二、差商具有如下性质（请同学们自证）：2023/1/3151性质2：差商与节点的排列顺序无关，即任意调换节点的次序,差商的值不变(差商的对称性)2023/1/3152用余项的相等证明规定函数值为零阶差商差商表三、差商的计算方法(表格法):532023/1/312023/1/31542.3.2牛顿插值公式把后一项依次带入前一项，可得（2.3.7）我们称

为牛顿(Newton)差商插值多项式。称

为牛顿差商插值多项式的截断误差。2023/1/3155因此，每增加一个结点，Newton插值多项式只增加一项，克服了Lagrange插值的缺点。562023/1/312023/1/3157根据满足给定插值条件的插值多项式存在的唯一性，可得因此Newton插值估计误差的重要公式即为n+1次多项式2023/1/3158例1：2023/1/3159解：2023/1/3160例2:给定数据表f(x)=lnx数据表

xi2.202.402.602.803.00f(xi)0.788460.875470.955511.029621.098611.构造差商表2.用二次Newton差商插值多项式，近似计算f(2.65)的值3.写出四次Newton差商插值多项式N4(x)

解:差商表612023/1/31N2(x)=0.87547+0.40010(x-2.40)-0.073875(x-2.40)(x-2.60)f(2.65)N2(2.65)N4(x)=0.78846+0.43505(x-2.20）-0.087375(x-2.20)(x-2.40)+0.0225(x-2.20)(x-2.40)(x-2.60)-0.00755(x-2.20)(x-2.40)(x-2.60)(x-2.80)622023/1/312023/1/3163拉格朗日插值与牛顿插值的比较(1)和均为n次多项式，且均满足插值条件：由插值多项式的唯一性，，因而，两个公式的余项是相等的，即2023/1/3164P443、4本章作业(2)Newton插值法的优点是计算较简单,尤其是增加节点时,计算只要增加一项,这点是Lagrange插值无法比的(3)Newton插值余项公式对f(x)是由离散点给出或f(x)导数不存在时均适用(4)但是Newton插值仍然没有改变Lagrange插值的插值曲线在节点处有尖点，不光滑，插值多项式在节点处不可导等缺点3、已知在离散点有，试用牛顿插值法计算的近似值，并由误差公式给出误差界，同时与实际误差作比较。作出差商表，写出牛顿插值公式，计算的近似值。4、给出函数表x-1123y=f(x)3.55.47.25.52023/1/3166一、差分定义：2.4.1差分及其性质2.4差分与等距节点插值2023/1/3167依此类推可以证明如2023/1/3168差分表2023/1/3169二、在等距节点的前提下,差商与差分有如下关系2023/1/3170依此类推由