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第六章非线性方程数值解法基础知识非线性方程的二分法和插值法不是问题的精确解§1基础知识一、非线性方程、非线性方程组非线性方程组包括：

高次方程(组),即代数方程(组),方程的解为求解的特点：无求解公式，无直接解法，难求得精确解。举例:超越方程(组)超越方程二、非线性方程(组)求解的特点没有一定的解法。产生的背景:许多科学理论与工程技术都可化为非线性方程(组)间接法即迭代法。由某问题得方程求解的方法：迭代法求解的要求：

收敛计算效率(快慢)

数值稳定性(考虑计算机的舍入误差)初始值好迭代公式合适(好的)间接法(迭代法):从一个初始近似值出发,重复某种计算过程来不断改进近似解，有限次改进后,计算出一个满足误差要求的近似解，这种求解方法称为迭代法。§2非线性方程的二分法和插值法一、二分法1条件2主要依据由连续函数介值定理,则至少存在某个即[a,b]内至少有方程(2.1)的一个根,称[a,b]为f(x)

的一个含根区间。3主要思想（基本思想）把含根区间不断缩短，使含根区间之间含有一个满足误差要求的近似解。考虑非线性方程f(x)=0

(2.1)

并且有(3)生成含根区间：4具体过程（方法）满足下式:生成含根区间,满足：(3)生成含根区间：,满足（2.2）式，即生成含根区间一般的,满足（2.2）式，即含根区间近似解序列其极限为即序列收敛于的一个根即且说明:只要就有此时可计算或估计二分法执行的次数k.事实上,由两边取对数得可取对于给定的误差界1.对函数要求低(只要连续,在两个端点异号)。优点:2.二分法是收敛的。例如不能求出所有根,(即有可能漏根)。例如如右图该点可求出,注1:改进的方法，试位法（比例求根法）。但漏掉了四个点2.不能用于求偶重根、复根；不能推广到多元方程组求解；缺点:

的等比级数的收敛速度相同。1.收敛速度不快,仅与公比为

即是线性收敛的。注2:另外还有区间搜索法。(3)取L(x)=0的根作为f(x)=0的新近似根,即次近似即（迭代公式）(2)用f(x)关于的线性插值函数来近似函数f(x)。从适当的由(2.6)生成迭代序列的方法称为正割法。二、正割法（或线性插值、割线法、双点弦截法）近似值。是二个接近于1定义（迭代公式的推导）2几何意义用曲线来近似原曲线，结论：近似曲线与x轴的交点更接近于真解

的割线

过点

从图上可以看出

比

并用割线与x轴的交点

注：可以在

的同侧,也可以在

的两侧，不管怎样，

都比

更接近于真解

当时位于包含的最小区间内。另外有插值多项式余项证明：定理1(局部收敛定理)则存在只要由正割法产生的序列收敛于而且有若f(x)在真解邻近二次连续可导,且3收敛条件连续可导，因此，对(2.8)式取极限,即得(2.7)式。＃即当,由取得,从而位于包含的最小区间内。任取连续,存在(上界）微分中值定理又f(x)在邻近二次(2)正割法通常具有收敛阶为。证明：若正割法收敛,则k充分大时，,且由(2.8)有代入则有

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