数值分析6.3 复化求积公式、龙贝格求积公式

6.3

复化求积公式

从求积公式的余项的讨论中我们看到，被积函数所用的插值多项式次数越高，对函数光滑性的要求也越高.另一方面，插值节点的增多(n的增大)，在使用牛顿-柯特斯公式时将导致求积系数出现负数(当n≥8时,牛顿-柯特斯求积系数会出现负数)，即牛顿-柯特斯公式是不稳定的，不可能通过提高阶的方法来提高求积精度.

为了提高精度，通常在实际应用中往往采用将积分区间划分成若干个小区间，在各小区间上采用低次的求积公式(梯形公式或抛物形公式)，然后再利用积分的可加性，把各区间上的积分加起来，便得到新的求积公式，这就是复化求积公式的基本思想.我们仅讨论各小区间均采用同一低次的求积公式的复化求积公式.

将积分区间[a,b]n等分,步长

xk=a+kh(k=0,1,…,n),则由定积分性质知,分点为每个子区间上的积分用低阶求积公式,然后把所有区间的计算结果求和,就得到整个区间上积分I的近似值。复化求积的基本想法:6.3.1

复化梯形公式每个子区间[xk,xk+1]上的积分用梯形公式,得将积分区间[a,b]划分为n等分,则

若

f(x)C2[a,b],

其求积余项Rn(f)为(p239)称为复化梯形公式.记当n→∞时，上式右端括号内的两个和式均收敛到函数的积分，所以复化梯形公式收敛.此外，Tn的求积系数均为正，由定理2知复化梯形公式是稳定的.

可以看出误差是h2阶，且由误差公式得到，当f(x)C2[a,b]

时，则有即复化梯形公式是收敛的.事实上只要f(x)C[a,b],

则可得到收敛，因为只要把Tn改写为6.3.2

复化辛普森公式

将积分区间[a,b]

划分为2n等分,即将每一个区间[xk,xk+1]经过二等分增加了一个分点在每个子区间[xk,xk+1]上的积分用辛普森公式,得称为复化辛普森公式.记若

f(x)C4[a,b],其求积余项为6.3.2

复化辛普森公式每个子区间[x2k,x2k+2]上的积分用辛普森公式,得

将积分区间[a,b]

划分为2n等分,则称为复化辛普森公式.记若

f(x)C4[a,b],其求积余项为

例1对于函数f(x)=sinx/x，给出n=8的函数表，试用复化梯形公式和复化辛普森公式计算积分

解将积分区间[0,1]划分为8等分，用复化梯形公式求得而将积分区间[0,1]划分为2×4等分，用复化辛普森公式求得

比较上面两个计算结果T8与S4，它们都需要提供9个点上的函数值，然而精度却差别很大，同积分准确值I=0.9460831比较，应用复化梯形公式计算的结果T8=0.9456909只有2位有效数字，而应用复化辛普森公式计算的结果S4=0.9460832却有6位有效数字.

注：为了利用余项公式估计误差，要求f(x)=sinx/x的高阶导数，由于所以有于是复化梯形公式误差为复化辛普森公式误差为

例2

利用复化梯形公式计算使其误差限为10-4，应将区间[0,1]几等分?

解利用例1的结果取n=17可满足要求.由复化梯形公式的余项得

例3利用复化辛普森公式计算使其误差限为10-4，应将区间[0,1]几等分?由复化辛普森公式的余项得因此只需将区间[0,1]二等分，即取m=1(n=2).

解利用例1的结果

注1:用复化梯形公式计算此题，满足相同的精度需要将区间[0,1]划分17等分，可见复化辛普森公式的精度比复化梯形公式精度高.

注2:同样也可用|S4m-S2m|<ε来控制计算的精度.这就是下面要介绍的龙贝格求积公式.6.4

龙贝格求积公式6.4.1梯形公式的递推化复化求积方法可提高求积精度，实际计算时若精度不够可将步长逐次分半.设将区间[a,b]分为n等分，共有n+1个分点，如果将求积区间再分一次，则分点增至2n+1个，我们将二分前后两个积分值联系起来加以考虑.注意到每个子区间[xk,xk+1]经过二分只增加了一个分点

设hn=(b-a)/n,xk=a+khn(k=0,1,,n),在[xk,xk+1]上用梯形公式得在[xk,xk+1]上用复化梯形公式得所以从0到n-1对k累加求和得这就是递推的复化梯形公式.注：从这一公式可以看出，将区间对分后，原复化梯形公式的值Tn作为一个整体保留.只需计算出新分点的函数值，便可得出对分后的积分值，不需重复计算原节点的函数值，从而减少了计算量.6.4.2

龙贝格算法

梯形法计算简单但收敛慢，如何提高收敛速度以节省计算量是本节要讨论的中心问题.根据复化梯形公式的余项式表达式可知设f(x)在[a,b]上变化不太大f̎(η1)≈f̎(η2),则得

由此可见，如果二分前后的两个积分值Tn与T2n相当接近，就可以保证计算结果T2n的误差很小.这样直接用计算结果来估计误差的方法通常称作误差的事后估计法.

由可知积分近似值T2n的误差大致等于，因此如果用这个误差值作为T2n的一种补偿，可以期望，所得到的可能有更好的结果.

可以直接验证就是复化辛普森积分公式.Sn的精度为O(h4).

这就是说，用复化梯形方法二分前后的两个积分值Tn与T2n，按上式做线性组合，结果得到了复化辛普森积分公式.则

同理由辛普森方法，用二分前后的两个积分值Sn与S2n，由误差公式即有

可以直接验证这就是复化柯特斯积分公式.Cn的精度为O(h6).则

同理由柯特斯方法，用二分前后的两个积分值Cn与C2n，由误差公式即有这就是复化龙贝格积分公式.Rn的精度为O(h8).

一般我们将这种龙贝格算法做成表格

我们在变步长的过程中运用了三个公式，就能将粗糙的梯形值Tn

逐步加工成精度较高的辛普森值Sn、柯特斯值Cn和龙贝格值Rn.例1

利用龙贝格方法计算这一结果与I=π相比较已有较好的精度.解计算结果列如下表:6.4.3

理查森外推加速方法

上面讨论说明由梯形公式出发，将区间[a,b]逐次二分可提高求积公式的精度，上述加速过程还可继续下去，其理论依据是梯形公式的余项展开，设若记Tn=T(h)，当区间[a,b]划分为2n等分时，则有并且有可以证明梯形公式余项可展开成级数形式，即

定理

设f(x)C∞[a,b]，则有式中I为积分值，系数k与h无关.误差量级为O(h2).

注：

此定理可利用f(x)的泰勒展开推导得到.

定理表明T(h)≈I是O(h2)阶，若用h/2代替h,有用4乘此式，减去上式再除3记为T1(h)，则得改记为这里系数βk与h无关，这样构造的T1(h)与积分值I近似的阶为O(h4).根据令则又可进一步从余项展开式中消去h4项,从而有

如此推下去，每加速一次，误差的量级便提高2阶，速度较快，一般地，若记T0(h)=T(h)，则有误差量级为O(h6)．误差量级为O(h4)．如此继续下去，可得用Ｔm(h)作为I的近似值,误差量级为O(h2(m+1)).经过m(m=1,2,)次加速后，余项便取下列形式用：

这种处理方法通常称为理查森(Richardson)外推加速方法.即又称为逐次分半外推加速求积法，简称外推加速法.也称为龙贝格求积算法.

以Ｔ0(k)表示二分k次后求得的梯形值,以Ｔm(k)表示序列{Ｔ0(k)}的m次加速值，

龙贝格求积算法的计算过程如下：

(1)取k=0,h=b-a，求令1→k(k表示区间[a,b]的二分次数).

(2)求值，按梯形递推公式计算Ｔ0(k).

(3)求计算值，按加速公式逐个求出Ｔ数表的第k行其余各元素Ｔj(k-j)(j=1,2,,k).

(4)若|Ｔk(0)-Ｔk-1(0)|