数值计算方法 第二章_第1页
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第二章插值法本章主要内容11、插值问题2、拉格朗日插值3、牛顿插值4、埃尔米特插值5、三次样条插值第一节插值问题问题的提出21函数表达式过于复杂不便于计算,而又需要计算许多点处的函数值2仅有几个采样点处的函数值,而又需要知道非采样点处的函数值□上述问题的一种解决思路：建立复杂函数或者未知函数的一个便于计算的近似表达式.□解决方法－插值法插值的数学提法3实际问题中常常需求函数的函数值、导数值、零点、值或积分值。但往往不知道其确切表达式，或表达式很复杂，只是知道它在某些点处的函数值与导数值。本章介绍两种方法（插值法与最小二乘法）求其近似式在众多函数中,多项式最简单、最易计算，已知函数个互不相同的点处的函数值，为求的近似式，自然应当选次多项式使满足条件插值的几何意义4需要研究的几个问题满足条件的插值多项式是否存在，是否唯一如何构造满足条件的插值多项式用插值多项式

代替

误差如何估计5存在唯一性6设插值多项式为带入条件系数行列式为范德蒙行列式只有唯一解对于次数不大于n的多项式n次插值多项式就是其本身误差估计7误差估计8由公式可见，如果在上有界，即存在常数使，则必有拉格朗日多项式插值9一、线性插值当n=1时，已知设代入已知条件，得方程组记＋=例1.由常用的正弦函数特殊值，利用线性插值求10解：取则所以※真值为：0.5878二、抛物插值11当n=2时，已知设带入3个节点，得到

＋＋拉格朗日插值121、插值基函数定义如果为区间的一组节点，称次多项式：==为插值基函数13插值基函数性质拉格朗日插值多项式令14即可得其中15例1:解:16且

在例1中,如果只给出两个节点169和225,也可以作插值多项式,即1次Lagrange插值多项式,有两个插值基函数,这种插值方法称为Lagrange线性插值,也可以在n+1个节点中取相邻的两个节点作线性插值17

牛顿插值Lagrange插值多项式的缺点：插值基函数计算复杂高次插值的精度不一定高差商(均差定义称18依此类推显然规定为在处的零阶差商由微商的定义可知差商是微商的离散形式19差商具有如下性质：(2)差商具有对称性,即任意调换节点的次序,

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