数字信号处理-2

§3线性时不变系统的描述n阶前向差分方程n阶后向差分方程式中，x

(n),y(n)分别为激励与响应。前向差分方程多用于状态变量分析法。后向差分方程多用于因果系统与数字滤波器的分析。或

系数ak(k=1、2…、N)，bm(m=1,…,M)均为常数。

差分方程的阶数指方程中y(n-k)的最高阶与最低阶之差。

线性指方程中仅有y(n-k)的一次幂项，不含它们的相乘项。1§3线性时不变系统的描述差分方程的重要特点是：系统当前的输出（即在n时刻的输出）y(n)，不仅与激励有关，而且与系统过去的输出y(n-1),y(n-2),y(n-N)有关，即系统具有记忆功能。2差分方程的求解递推法经典解法时域解法Z域分析法详见《信号与系统》的相关章节典型例题例1递推法试求一阶差分方程y(n)=ay(n-1)+x(n)的单位脉冲响应。设初始条件为y(n)=0(n<0)。解：令x(n)=δ(n),则y(n)=h(n),上式可变为:h(n)=ah(n-1)+δ(n)h(0)=1h(1)=ah(0)+0=ah(2)=ah(1)+0=a2…

h(n)=ah(n-1)+0=an∴h(n)=anu(n)

为因果系统

3例2经典解法描述某线性时不变离散系统的差分方程为：试求：当初始状态为y(-1)=0,y(-2)=½时，求全响应。解：(1)求齐次解，特征根为：(2)求特解：设特解为：将yp(n)代入原差分方程，得：解得：4例2经典解法(3)用初始值求常数：全响应为：将初始条件代入上式，得：解得：故，全响应为：自由响应强迫响应5§4连续时间信号的数字处理对连续（模拟）信号实施数字处理的典型框图说明

1、数字信号处理系统相比模拟信号处理系统的优点2、连续（模拟）信号数字处理的必要性3、各主要环节的说明6抽样定理与A/D转换器模拟信号数字处理第一步就是将在时间上连续的模拟信号离散化，使之成为在时间上离散的信号。

抽样是将连续时间信号离散化的过程，它仅抽取信号波形某些时刻的样值。抽样分为均匀抽样和非均匀抽样，当抽样是可取均匀等间隔点时为均匀抽样，否则为非均匀抽样。实际抽样多为均匀抽样。理想抽样及其频谱均匀抽样可看作一个脉冲调制过程，其数学表示：

为调制信号即输入的模拟信号。为载波信号，是一串周期为T，脉宽为τ的矩形脉冲串。调制后输出的信号就是抽样信号。7抽样定理与A/D转换器当τ趋于零的极限情况时，脉冲序列p(t)变成了冲击函数串，称为理想抽样。理想抽样过程示意图理想抽样实际抽样不可能为理想抽样。但当τ≪T时，即可看成理想抽样8抽样定理与A/D转换器用表示冲击函数串可见，是在离散时刻的取值的集合。抽样信号的频谱9抽样定理与A/D转换器由频域卷积定理得：将和带入式中，得:可见,一个连续时间信号经过理想抽样后,其频谱为周期性频谱，且以抽样频率Ωs=2π/T为间隔周期无限延拓。10抽样定理与A/D转换器理想抽样信号的频谱周期延拓图示例11抽样定理与A/D转换器1、设的频谱为被限制在某一最高频率Ωh范围内，其频谱如上页图a所示，则称其为带限信号。对带限信号的抽样，当满足Ωh≤

Ωs/2时,原来频谱和各次延拓分量的频谱不重叠,如上页图b所示。如果选用一个截止频率为Ωs/2的理想低通滤波器对抽样信号进行滤波，就可以不失真地还原出原来的连续信号。2、但如果信号的最高频率Ωh≥

Ωs/2,则各周期延拓分量产生频谱的交集,将无法真的还原出原来的连续信号，即产生了“混叠失真”，如上页图c所示。抽样定理理想抽样信号的频谱周期延拓图示例说明要想连续带限信号抽样后能够不失真地还原出原信号，则抽样频率必须大于或等于两倍原信号频谱的最高频率(Ωh≤

Ωs/2)，这就是奈奎斯特抽样定理。折叠频率或奈奎斯特频率基带谱12抽样定理与A/D转换器A/D转换器的基本原理任何A/D转换器必须包括以下三个基本功能：抽样、抽样保持、量化与编码量化：将无限精度的抽样信号的幅度离散化，使之变成能用有限字长表示的数字信号。编码：将经量化的数字信号最终表示成为数字系统所能接受并对其实施处理与传输的形式。抽样保持：由于对抽样信号抽样点的值进行量化和编码都需要时间，为了保证在量化和编码期间其值不发生改变，在此之前需对抽样点值加以保持。13抽样信号的恢复与D/A转换器抽样信号恢复的频域解释若将抽样信号或通过一理想低通滤波器，就可恢复原信号或，过程见下图。此即表明原信号得以恢复14抽样信号恢复的时域解释抽样信号的恢复与D/A转换器1、低通滤波器的冲激响应2、抽样信号经过理想低通滤波器后的输出15抽样信号的恢复与D/A转换器内插函数抽样内插公式抽样内插公式表明：由信号的抽样值通过内插获得原信号。即：滤波器的输出=原信号抽样点的值与内插函数乘积和。16抽样信号的恢复与D/A转换器3、内插函数的特性内插函数波形在抽样点mT上，其值为1;其余抽样点上，其值为0。这保证了各抽样点上信号值不变。17抽样信号的恢复与D/A转换器4、由抽样内插公式所决定的信号内插恢复过程（1）在抽样点上，信号值不变，即：（2）抽样点之间的信号则由幅度为抽样值的各内插函数的波形延伸叠加而成。如下图所示：T2T3T04T18D/A转换器的基本原理抽样信号的恢复与D/A转换器D/A转换器的原理框图为：译码：将数字信号

转换成抽样信号零阶保持器：将每个抽样信号的样值保持一个抽样间隔宽度，直到下一个抽样时刻，相当于在一个抽样间隔内进行常数内插，变成模拟信号。抽样信号经零阶保持器的常数内插过程如下：19抽样信号的恢复与D/A转换器抽样信号经零阶保持器的常数内插过程如下：20抽样信号的恢复与D/A转换器零阶保持器的单位冲击响应及其频率响应分别为:21抽样信号的恢复与D/A转换器由H1(jΩ)的波形可见，零阶保持器是一个低通滤波器，能起到将抽样信号转换成模拟信号的作用。22带通信号的抽样带通信号频谱范围被限制在某一最低频率和某一最高频率范围内的信号，即：。其有效频带或带宽为。通常这类信号由带限信号（低通信号）对某个高频的载波调制得来，故其最高频率往往很高。若仍采用带限信号的抽样定理对其抽样，将使抽样数据很大。带通信号的抽样选择抽样频率1、带通信号的最高频率为带宽的整数倍时即：此时的抽样频率显然比由带限信号的抽样定理所规定的Nyquist抽样频率小得多。23带通信号的抽样则抽样信号频谱为上式保证了各个延位后的相加不会发生混叠。下图给出了用Ωs=2Ωh/M（M=4

）进行抽样后的频谱图。24带通信号的抽样

从图可见，将通过一个频率特性为的理想带通滤波器时,可恢复原来的频谱

HP(jΩ)=TΩ1

≤Ω

≤

Ωh0其他25带通信号的抽样2、带通信号的最高频率不为带宽的整数倍时即：如果不是的整数倍，可将人