数学建模车灯问题课件

主讲：黄先玖赛前培训数学建模竞赛车灯线光源的优化设计

MCM2002年A题问题：汽车头部的车灯形状为一旋转抛物面，其对称轴水平地指向正前方，并已知其开口半径为36毫米，深度为21.6毫米。经过车灯的焦点F，在与对称轴相垂直的水平方向上，对称地放置一定长度的均匀分布的线光源。要求在某一设计规范标准下确定线光源的长度。该设计规范可简单描述如下：在焦点F正前方25米处的A点放置一测试屏，屏与FA垂直，用以测试车灯的反射光。在屏上过A点引出一条与地面相平行的直线，在该直线A点的同侧取B点和C点，使AC=2AB=2.6米。要求C点的光强度不小于某一额定值（可取为1个单位），B点的光强度不小于该额定值的两倍（只须考虑一次反射）。

我们需要解决的是：（1）满足该设计规范的条件下，计算线光源长度，使线光源的功率最小。（2）得到的线光源长度，在有标尺的坐标系中画出测试屏上反射光的亮区。（3）讨论该设计规范的合理性。1、线光源——宽度与其长度相比小得多的发光体。2、光通量——光源在单位时间内辐射出的光能，用国际规定的眼（对光适应的眼）的灵敏度来估定。3、发光效率——光源每消耗1瓦特功率可辐射出的光通量，又叫光效。4、照度——单位面积所接受的光通量，单位为勒克斯。词汇:

首先解决本问题的一个难点：由于问题讨论的主要对象是线光源，而线光源处理起来不太容易，因此想到用微元法将线光源划分为若干小段（微元），每一段可视为一个点光源。这样就将线光源的问题转化为了点光源的叠加问题。分析:分析:由于该线光源照射到测试屏上，有两种途径：直射和反射。因此我们在考虑某点的光强时，必须同时考虑两种情况。现在我们还需解决的几个关键问题是如何度量光强，光强的额定值为多少，如何建立起功率与光强的关系。假设1、

光在反射时及整个传播过程中，能量均无损耗。2、

只计此线光源的长度，其体积忽略不计。3、

此线光源均匀分布，各点同性。且任意一点向整个空间各个方向均匀辐射能量。

假设4、

光强额定值为1勒克斯5、

不考虑光的干涉、衍射等现象。6、

光强在某点叠加时，可直接取其代数和。7、

只考虑一次反射。变量定义（符号）

焦准距（m）线光源的功率（W）

光通量（lm——流明

）发光效率（lm/W）照度（lx(lm/m2)——勒克斯（lx=1lm/m2））照度额定值（lx(lm/m2)）发光功率线密度（W/m）线光源长度（m）模型的建立首先建立如图坐标系：证明:从上图，我们可以看出此旋转抛物面是由曲线(1)绕轴旋转得到的。于是推出此旋转抛物面的方程为设(x0,y0,z0)为此抛物面上任意一点，求得过此点的切面方程为结论:在旋转抛物面上，每个反射点的法线都与对称轴相交。进而得法线方程为

联立对称轴方程得到交点坐标为（0，y0+c，0）将开口半径及深度等数据代入（1）式，得出焦距c/2=15mm=0.015（m）然后代入，推得该线光源的范围为[－0.03,0.03]m。然后代入,y=0.015,推得该线光源的范围为[－0.03,0.03]m。建立模型（1）计算线光源长度首先说明一点：以下我们将对B点进行分析，对于C点，所用方法及运算过程完全类似。①光源功率与照度的关系如果光源的发光强度为，光源与被照面的距离是r，光线方向与被照面法线的夹角为。那么，这个面上的照度就是可见，在点光源垂直照射的情况下，被照面上的照度跟光源的发光强度成正比，跟表面法线与光线方向之间夹角的余弦成正比，与光源到被照面问的距离的平方成反比。通过查资料，可知光通量与发光强度之间有如下关系式：联立得光源功率为即可推出对于功率线密度为瓦／米，发光效率为流明／瓦的线光源，在距它r米的物体表面，照度为(2)②微元法将线光源转化为点光源对于线光源来说，我们利用微元法的思想，将其分为若干小段（△l），每一段可视为一个点光源，各自独立向四周辐射光能。而在测试屏上的任意一受光点的照度等于各点光源在此处的照度代数和。这样我们就把对线光源的讨论转化成了对点光源的讨论。③求直射光的强度线光源上任一点光源D直射到测试屏上B点处有且只有一条光线。因为D发出的光是以球面波的形式向空间传播的，设该点到B点的半径为r，则在B点处的波面面积为据（2）式，可得任意一点光源直射到B点时该点的照度为：可以看出此量与距离有关，也就是说，不同的点光源在B点所对应的照度值不同。但注意到所有的差别太小，因此在实际计算中，我们对作近似处理，令它为一个常数：=25.034(米)于是得出此线光源的直射光在B点辐射出的总照度为而此时线光源所消耗的功率p=kL④求反射光的强度为了便于分析，我们将图一抽象出来，并旋转一定角度后得右图。D—线光源上任一点N—对应于D点的反射点G—法线与中轴线的交点对于线光源上的任意一点D（设坐标为（t，0.015，0）），假设从它发出的光线经旋转抛物面上的点N反射后，可以射到B点上。下面利用向量来推导旋转抛物面上满足此条件的所有反射点N的坐标。设反射点N的坐标为（x，y，z），由上文的证明可知，在旋转抛物面上，每个反射点的法线都与对称轴相交，且交点G的坐标为（0，y+c，0）。又已知点B的坐标为（-1.3，25.015，0），点D的坐标为（t，0.015，0）。经过分析，知道N点必须满足以下三个条件：1）NG是∠BND的角平分线，即：∠BNG=∠DNGcos∠BNG=cos∠DNG（3）2）点G、B、N、D四点共面，所以：3）点N在抛物面上，所以应该满足抛物线方程：

联立方程（3）、（4）、（5），即可求解出与线光源上一点D对应的所有的反射点N。（4）（5）但实际上我们并不关心N点的具体坐标值，而看重的是线光源上每一点能发出多少光线经抛物面反射后照到B或C点。由于光源发出的光能否反射受灯反射面几何尺寸大小的限制，并且B、C点的位置相对灯而言是处在斜前方，所以，N点的位置并不具有对称性。对于线光源上不同的点，与其对应的N点数目也不同。但在线光源上位置十分相邻的两点，可认为它们对应的N点数目相同。即它们发出的光中有相同数目的光线经抛物面反射后恰好照射到B点（或C点）。我们采用在小区域采集离散点的方法，使用Mathematic软件，通过改变微小△l,得到线光源上当前D点对应的反射点（即N点）的数目。以此作为此微小区域[l,l+△l]内各点所对应的N点数目。

t的取值到B的反射光的条数到C的反射光的条数t的取值到B的反射光的条数到C的反射光的条数0.000222-0.0002000.000422-0.0004000.000622-0.0006000.000862-0.0008000.001052-0.0010000.001252-0.0012000.001452-0.0014000.001654-0.0016000.001856-0.0018000.002046-0.002000t的取值到B的反射光的条数到C的反射光的条数t的取值到B的反射光的条数到C的反射光的条数0.002246-0.0022000.002445-0.0024000.002645-0.0026000.002846-0.0028000.003046-0.0030000.003245-0.0032000.003445-0.0034000.003646-0.0036000.003845-0.0038000.004045-0.0040000.004245-0.0042000.004445-0.0044000.004645-0.0046000.004844-0.0048000.005044-0.005000表中t为点光源的x坐标。至此，我们已分别求得了于是我们可以得到至此，我们已分别求得了于是我们可以得到如果把整个线光源划成个相等的微小区间，则由上述分析，第个微小区间的点发出的光线经抛物面反射，如果能恰好射到B点（或者C点），那么在B点的照度为⑤求得长度的优化解

通过条件，建立线光源长度的优化模型：代入照度额定值(1勒克斯)、高压毛细汞灯和卤素灯的参数，得到以下结果：材料发光效率（流明/瓦）功率线密度（瓦/毫米）B点照度（勒克斯）C点照度（勒克斯）线光源的长度（毫米）高压毛细汞灯50302.01211.36774．2卤素灯30202.12671.51227．9（2）反射光亮区的绘制线光源反射光的亮区可以近似的看作线光源上一系列离散的点光源的反射光亮区的叠加。我们通过如下方式产生线光源反射光的亮区：首先我们称光能照射到的区域为亮区。我们以常用的高压毛细汞灯为例（即=4.2mm），来绘制出测试屏上反射光的亮区。亮区图的绘制步骤：1）

在线光源上等间距的选取一系列的点作为点光源;2）

在旋转抛物面上产生均匀排列的网格作为反光点；3）

对于每一点光源，计算它到所有反光点的入射光的方向向量及其法线方向向量；4）

通过入射光方向向量及其法线方向向量计算反射光方向向量；5）

通过反射光方向向量及反射点的坐标求出反射光的解析式，进而求出反射光在测试屏上的投影坐标，并在此处描点。其中，由入射光方向向量及其法线方向向量计算反射光方向向量具体过程如下：①将入射光方向向量X’及其法线方向向量Y均转化为单位向量（如图四所示）；②取入射光方向向量X’的反方向向量X；③由几何关系可知：

图四任一点光源的向量反射光路图所以Z即为反射光的方向向量。亮区图的绘制结果为：图五测试屏上反射光的亮区图（3）设计规范合理性的讨论要解释此设计规范的合理性，就需要解释清楚只选择A、B、C点（即25米、1.3米、2.6米这些距离上的点）并要求这些受光点处的光强不小于某一额定值的原因这需要从几个方面来阐述。从实际着眼，司机在夜晚行车，难免有一定的安全隐患，如前方突然出现一横穿公路的行人，或者前方有影响正常、安全行驶的障碍物等等。要避免交通事故的发生，就需要在一定远的距离外，司机能看到这些突发事件并及时作出反应，采取措施（如立即刹车等）。而司机在遇到突发事件后总有一定的反应时间，因此刹车总距离(也称停车视距)为司机反应时间距离，刹车系统协调时间距离和刹车距离三者合一。为了确保安全，就必须保证进入停车视距的突发事件被充分照亮（即该处所接受的光强不小于某一额定值）。下面我们将分两种情况来计算停车视距。所以其停车视距为16.7+8=24.7（m）但由于刹车系统协调时间距离和刹车距离随路面附着系数不同而不同，所以此种情况下的停车视距一般在24～30米之间波动。因此可以看出保证25米处光强足够大能在一定程度上确保安全性。情况一正前方发生突发事件，司机或者立即刹车，或者调整方向，绕道而行。司机反应时间距离为（m）对这两种救急措施，我们认为其停车视距的计算可归为一类，即计算上面定义的刹车总距离。资料显示人的反应时间一般为1s，普通公路上车速一般为60km/h，刹车系统协调时间距离和刹车距离一般为8m。下面来计算停车视距。基于情况一，我们进一步深入。通过查资料，我们了解到一般公路的车道宽度为2.5～4米，我们以3米为例，这时若有行人处于相邻车道的中线，且与车垂直距离为25米，正欲横穿本车道，我们来计算一下：假定行人行走速度为1.5m/s，其余参数同上。则易算出行人在快要到达本车道中线时，车也刚刚驶到，自然会出现事故。因此必须照亮相邻车道的部分情况来使司机提前采取应急措施。针对不同的车道宽度，可算出此值为2.5～4米。这说明仅照亮正前方25米还不够，必须同时保证左右偏大约2.6米的地方也被照亮。情况二相邻车道发生突发事件，司机立即刹车。

同时从经济的角度讲，不选取更长的距离作为规范，是因为在已经保证安全性的前提下，避免造成浪费。以上的讨论从实际、安全、经济多角度出发，说明了该设计规范是合理的。6.1优缺点评价1、运用的数学工具简单，模型清楚易懂，可读性好，实用性强。2、运用近似计算的思想，将运算过程大大简化，且对结果影响不大，增强了该模型的可运行性和可移植性。3、引进向量，使模型统一性好，巧妙地避开了运用初等几何知识分析时需进行的大量复杂的讨论4、引入发光效率，照度等物理概念来准确描述功率与光强的关系，受光强度等量，而且通过查资料得到一般测试光强的额定值等重要参数，实际背景较强。5、但在距离求和的运算中，考虑到毫米与米在数量级上差4个单位，因此我们忽略了毫米的微小影响，这样可能会导致计算精度的下降及结果在小范围内的偏差，但总的说来，这个偏差是能够接受的。六、模型的评价与推广1、此模型不仅可运用于车灯线光源长度的设计，还可改变其开口半径、深度等参数的值，将其推广到实际生活中其它照明系统的光源长度的优化设计。2、在实际生活中，