数理方程 - 01 - 数理方程绪论

数理方程丁琦办公室：大黑楼A1123Email：dingqi.dl@电话考书目谷超豪,李大潜.数学物理方程.高等教育出版社,2002.谷超豪(1926～2012.6.14)，2009年度国家最高科学技术奖，主要研究一类特殊的微分方程，即可积系统，建立孤子理论，如浅水波方程（KdV），

ut

–uxx

+6uux

=0。李大潜(1937～)，院士。高技术的本质是一种数学技术。严镇军.数学物理方法.中国科学技术大学出版社,2010.年四洪.数学物理方程.大连理工大学出版社,2012.2023/1/312数理方程历史数学物理方程：主要是物理学中，也包括力学、工程及其它自然科学中出现的偏微分方程。早在18世纪，微积分理论形成不久，人们就研究用偏微分方程来描述物理问题，并针对具体物理问题求解。

波动方程：1727年，J.Bernoulli提出了一个常微分方程来描述弦振动问题。1746年，D’Alembert引入时间变量，提出了一维波动方程。D.Bernoulli给出了级数形式解。Euler给出了Fourier级数解。2023/1/313世界最伟大的十个公式英国期刊《物理世界》评出了世上最伟大的十个公式Maxwell方程Euler公式：ei+1=0Newton第二定律：F=ma毕达哥拉斯定理：a2+b2=c2质能方程：E=mc2Schrödinger方程1+1=2deBrogile(德布罗意)方程：1929，Nobel。Fourier变换圆的周长公式：c=2r2023/1/314Maxwell方程高斯(Gauss)定律，电位移散度=电荷密度，

表示散度。高斯磁定律，磁场散度=0。法拉第(Faraday)感应定律，任何封闭电路中感应电动势的大小=穿过这一电路磁通量的变化率。Maxwell-Ampere定律，

表示旋度。2023/1/315Maxwell方程融合了四大定律：如果上帝不存在，怎么解释如此完美的公式。比较谦虚的评价：一般地，宇宙间任何电磁现象皆可由此方程解释。Maxwell靠纸笔演算，从这组公式预言了电磁波的存在。2023/1/316第一章数理方程绪论第一节偏微分方程的一些基本概念第二节数学物理方程的导出第三节定解条件和定解问题第四节定解问题的叠加原理第五节二阶线性偏微分方程的分类2023/1/317第一节偏微分方程的一些基本概念偏微分方程：含有某未知函数及其某些偏导数的等式。设a,b,c,f是关于自变量的光滑函数2023/1/318阶：所含偏导数的最高阶数。线性：关于未知函数及其导数是一次的；否则称为非线性的。拟线性：关于最高阶偏导数是一次的。常系数：未知函数及其导数的系数是常数；否则称为变系数。齐次：不含未知函数及其导数的项f称为自由项，f=0称为齐次的，否则称为非齐次的。1阶2阶2阶2阶2阶线性线性线性非线性拟线性变系数常系数变系数常系数常系数非齐次齐次非齐次齐次齐次Laplace方程KdV方程冲击波方程本课研究内容2阶线性常系数偏微分方程：其中

a,b,c为常数，f为已知函数，

aij

=aji。2023/1/319方程的解解：定义在某个区域上的函数，并且满足方程。三维Laplace方程：

的定义域为二维Laplace方程

当a,b满足什么条件时，

是解？代入方程得到

，即

，解得。得到Laplace方程无穷多解。2023/1/3110通解（一般解）一般来讲，一阶偏微分方程的解依赖一个任意函数，二阶方程依赖两个任意函数。通解或一般解：m阶偏微分方程的解如果包含有

m个任意函数。注意：这

m个函数不能合并，如

f+g其实就相当于一个任意函数。2023/1/3111例求

的通解设

，则化为

视

x为参数，则为关于

v的一阶常微分方程，由求解公式可得再对

x积分可得其中

为两个任意一次可微函数。2023/1/3112第二节数学物理方程的导出一、波动方程理想化假设与做图：我们只需考虑直角坐标系。左端点为原点，OL为

x轴方向，|OL|=l，用

u(t,x)表示t时刻点

x垂直于横轴的位移。线密度为

(x)，直径为零。在张力

T(t,x)作用下处于平衡位置与

x轴重合。弦是柔软的，无刚性，即张力沿切线方向。在平面内做微小振动，由微小假定，弦长度不变，在平面内沿纵轴运动，位移为

u(t,x)，且

ux很小。2023/1/3113BACK受力分析任取一段弦

M1M2(x,x+x)。外力：设外力

g(t,x)的作用方向垂直于x轴，每点上作用力为

g，那么所有点的作用力就是求和，因而得到

M1M2上的外力为

2023/1/3114xOM2M1xx+xug(t,)dd受力分析惯性力：惯性会使物体有保持原有运动状态的倾向，若是以该物体为参照物，看起来就仿佛有一股方向相反的力作用在该物体上，故称之为惯性力：F=-ma。每点的质量为

，每点的加速度为

，所有点求和得到积分，即惯性力为

垂直于x轴。2023/1/3115xOM2M1xx+xudm=()da=utt(t,)-T(t,x)受力分析张力：由假设3可知，张力沿切线方向，分别为

T(t,x)与

T(t,x+x)，与x轴的夹角分别为

、’。因为水平方向无位移，因而其在水平方向合力为零，即

由微小运动假设可知

，因而

T(t,x)=T(t,x+x)，即张力与

x无关，设为

T(t)。再由假设4，任取一弦段

M1M2(x,x+x)，由弧长公式可知

，弦长不变，因而由胡可定律，

张力不随时间变化，故

T为常数。张力在垂直方向的合力为2023/1/3116T(t,x+x)xOM2M1xx+xu受力分析Newton第二定律：垂直合力为零，从而得到再由

x的任意性可知上式可以写为这就是弦的微小横振动方程，也称一维波动方程。f=0称为自由振动方程，也称齐次波动方程，f0相当于强迫振动，称为受迫振动方程，也称非齐次波动方程。2023/1/3117高维波动方程同理可以得到二维和三维的波动方程电磁波在空间传播的时候，电场和磁场就满足三维波动方程。2023/1/3118二、热传导方程热量由高温向低温处流动，建立热传导方程描述这一过程。设G为空间物体，u(t,x,y,z)表示物体内一点M(x,y,z)在时刻t时的温度。

dS为M处的面积微元，n是其单位外法方向。2023/1/3119建立热传导方程描述这一过程。dS

nFourier热传导定律：dt时间内，沿法方向

n流过一个dS面积的热量与温度沿dS法方向的方向导数成正比，即其中表示方向导数。k>0表示热传导系数，取负号说明dQ与

un异号，若

un>0，则温度升高，而热量从高温向低温流动。上式可以改写为其中

称为热流密度向量。2023/1/3120BACK考虑物体内部一个微元V=dxdydz。

M(x,y,z)，M’(x+x,y+y,z+z)假设物体均匀、各向同性，

即密度

、热传导系数

k、

物体的比热

c都是常数。由Fourier定律，考虑沿

x轴

正向通过

V后侧进入

V的热量为沿

x轴正向通过

V前侧流出

V的热量为那么

V沿

x轴方向的净入热量为2023/1/3121VzyxM(x,y,z)yxzM’同理，得到沿y轴方向的净入热量为沿z轴方向的净入热量为从而进入V的总热量为2023/1/3122物体内有一热源，其分布为

f(t,x,y,z)。则单位时间内，体积

V中热源所放出的热量为f(t,x,y,z)V，那么在

t时间内获得的热量为获得热量

Q1+Q2后，物体温差为

u(t+t,x,y,z)-u(t,x,y,z)，产生这个温差所需要的热量为2023/1/3123于是得到热平衡方程

Q1+Q2=Q3，两边同除

V,t，得到令

x,y,z,t趋于零得到令

，则方程可改写为这就是三维热传导方程。2023/1/3124BACK热传导方程有热源分布的情况如果物体内没有热源分布，即

f=0，则有如果考虑稳定的温度场，即

u不依赖于

t，得到三维

Laplace方程如果考虑有源的稳定温度场，就得到三维

Poisson方程如果考虑各向同性的均匀细杆的热传导问题，取细杆的方向为

x轴，细杆表面与周围介质绝热，即

uy=uz=0，从而得到一维热传导方程如果考虑一块薄板的热传导，板的侧面绝热，就得到二维热传导方程扩散现象与热传导定律相类似，因而扩散方程形式上与热传导方程一样。2023/1/3125三、静电场的场位方程空间电荷分布密度为

(x,y,z)，是介电常数，E表示电场强度，在国际单位制下，静电场的完整方程组是其中

表示散度，

表示旋度。无旋场存在位势函数

使得代入第一个方程得到或者同样得到了三维Poisson方程如果空间没有电荷分布，就是三维

Laplace(调和)方程2023/1/3126BACK第三节定解条件和定解问题偏微分方程有无穷多解，表示了不同的物理状态，我们把描写一个物理过程的方程称为泛定方程。而为了把一个过程完全确定下来，还要知道这个过程发生的具体条件，这样的条件称为定解条件。泛定方程带上适当的定解条件，就构成数学物理中的定解问题。定解问题的存在性、唯一性、稳定性统称为定解问题的适定性。2023/1/3127一、初始条件和初始问题初始条件：指过程发生的初始（t=0时）状态。弦振动：弦很长，我们只考虑段时间内离边界较远处的运动情况边界的影响可忽略不计，故不妨设弦的长度无限。要了解弦振动，需要一维波动方程（泛定方程）、t=0时各点的位移与速度，从而得到如下定解问题：由初始条件给出的定解问题，也称

Cauchy问题。2023/1/3128空间中三维波动方程的Cauchy问题为：空间的三维热传导方程的Cauchy问题为2023/1/3129二、边界条件和初值问题边界条件：研究的物理过程只涉及空间中一部分区域

V，那么这就涉及到物体在

V的边界

S上的约束状态。以静电场为例，V内无电荷，则电位

u满足调和方程。第一类边界条件，Dirichlet边界条件u在

S上分布已知，则得到如下定解问题第二类边界条件，Neumann边界条件u在

S外法方向的方向导数已知第三类边界条件，Robin条

件将上述两者相结合，,不全为零=0时即为Dirichlet边界条件=0时即为Neumann边界条件2023/1/3130接地长方形导体，三个边长分别为

a,b,c，上有一电位为

的金属盖，盖的四边与导体绝缘，写出导体内电位分布的定解问题。在导体内部，由于无电荷分布，

从而电位

u满足调和方程边界由六个面组成，

只有上面有电位分布由于绝缘与接地，其它面的电位都为零，下面左右两面前后两面2023/1/3131xyzabcu=(x,y)将导体改为沿z轴无限长，左、右和下面接地，上面的电位为

u0，且上面与相邻的左右两面绝缘。用

z=c

来截这个导体所得的截面，由对称性可知每个截面的

u是一样的，

即电位

u不依赖与

z，从而得到二维问题2023/1/3132zxycabu=u0三、混合问题热传导方程的边界条件：

V为空间某一部分，S为其边界Dirichlet边界条件：已知

S上的物体温度Neumann边界条件，已知

S上向外流出的热量的热流密度

q，有热传导(Fourier)定律可知n是

S的外法向，q=0时，物体表面

S是绝热的。2023/1/3133BACKRobin边界条件物体放在介质（如空气）中，物体的边界的温度

u(t,X)和其所接触的

介质的温度

(t,X)不同，因而有热交换。Newton定律：从物体流向外部介质的

热流密度q，跟物体与介质在表面处的

温度差成正比，即其中

h=h(X)>0称为热交换系数。将其带入到Neumann条件得到如果边界条件的右端项为零，则称齐次边界条件，否则称为非齐次边界条件。2023/1/3134温度

u边界V介质BACK一维热传导问题一根长

l的均匀细杆，侧面与周围介质绝热区域

，边界

左端点的外法向向左，故与

x轴正向相反，右端点的外法向向右，故与

x轴正向一致。2023/1/3135un=-uxOlun=ux一维热传导问题内部有密度为

f(t,x)的热源，初始温度为

(x)，右端绝热，左端与介质有热交换，则杆内温度分布

u(t,x)的定解问题既有初始条件又有边界条件的定解问题称为混合问题2023/1/3136n=-uxun=-ux热源：f(t,x)介质左端点有热交换右端点绝热一维波动方程弦长

l，区域

V=0xl，边界

S={0,l}为两个端点Dirichlet边界条件：i)左右两个端点固定，即

第一类齐次边界条件。ii)两端按照已知规律运动，即

第一类非齐次边界条件。2023/1/3137Neumann边界条件：左右两个端点分别受到垂直

x轴的力

和

的作用。左端点在左侧没有弦，因而没有

向左的张力，而右侧弦仍然在拉

抻左端点，因而此处的张力向右。在垂直方向的分量为

，垂直方向合力为零，则

，即得

同理，对于右端点得到

称为第二类非齐次边界条件。若右端为零，则称为第二类齐次边界条件，此时表明两端不受垂直外力，两端可在垂直

x轴方向自由运动，这种边界称为自由端。2023/1/3138TRobin边界条件：把弦固定在有弹簧的自由顶点，左端点处有张力

T、外力

以及弹力

FHooke定律（弹力

F=-kx）可知，由垂直合力为零可知

，整理得

，

其中

同理右端点处有

称为第三类非齐次边界条件。2023/1/3139四、定解问题的适定性我们提出了定解问题，但都是在很多理想化假设得到的，这些问题是否合适，能否符合实际情况，在数学上称为适定性，包括以下三点：存在性，在定解条件下是否有解，条件过多可能产生矛盾导致无解；唯一性，如果有解，解是否唯一，条件过少则解很多，不能描述特定的物理过程；稳定性，当定解条件发生微小变化时，解的变化是否也很小，即解对定解条件的连续依赖性。2023/1/3140由唯一性可知，我可以采取任何方法来求解，得到的总是原问题的解。如分离变量法、Green函数法等。解的形式可能不同，但必然相同的，而由于形式的复杂性，通过直接计算来验证往往是很困难的。

稳定性的重要性。实际中数据的提取都是近似的，如果定解问题是稳定的，就可以保证，若数据误差小，那么解的误差也小，从而可以近似的反映自然现象。2023/1/3141总结泛定方程初始条件无边界条件DirichletNeumannRobin2023/1/3142BACK第四节定解问题的叠加原理我们考虑一般二阶线性偏微分方程

其中

a,b,c为常数，f为已知函数，且

aij=aji。为书写简单，引入线性微分算子，则上述方程可以简写为

2023/1/3143叠加原理1：设

u1和

u2都是齐次方程

Lu=0的解，则对任意的常数

c1和

c2，c1u1+c2u2都是

Lu=0的解。证明：由微分的线性可知

叠加原理2：设

u1,…,un,…都是齐次方程

Lu=0的解，即

Lui=0，且级数

u=ciui在求解区域

上是一致收敛的，并对自变量

xi皆可逐项微分两次，则

u也是该齐次方程的解，即

Lu=0，其中

ci是任意常数。证明：由一致收敛与逐项求导可知Lu=L(ciui)=ciL(ui)=0。叠加原理3：设

u1是齐次方程

Lu=0的解，u2是非齐次方程

Lu=f的解，则

u=u1+u2是非齐次方程

Lu=f的解。证明：由微分算子线性可知，Lu=L(u1+u2)=Lu1+Lu2=0+f=f。根据叠加原理我们可以将复杂的问题分解为一些简单的定解问题进行求解。注意，对于非线性的微分方程没叠加原理。2023/1/3144边界条件的叠加原理Robin边界条件，引入算子

，设函数

u1和

u2满足齐次边界条件

，则

c1u1+c2u2也满足此边界条件，

c1,c2为任意常数。证明：B是线性微分算子从而得证。2023/1/3145第五节二阶线性偏微分方程的分类主要研究两个自变量的二阶线性偏微分方程：

其中

a,b,c,d,e,f,g都是关于

xy在

上的实函数。引入变换

，要求其

Jacobi行列式值非零，

由隐函数定理可知上述变换是有逆的。2023/1/3146BACK连锁规则变换

，2023/1/3147代入到原方程，整理系数可得

其中系数为我们只关心系数A和C，注意他们形式是一样的。2023/1/3148若

,

是两个线性无关的特解（Jacobi行列式非零）则

A=C=0，将原方程化简设该方程的解为

z(x,y)，考虑曲线z(x,y)=const

故z(x,y)=const为如下常微分方程的积分曲线该方程称为原偏微分方程的特征方程，其积分曲线称为原偏微分方程的特征线。2023/1/3149BACK特征方程求解特征方程可以分解为两个一阶方程判别式：