保险精算 第2章2 任意时刻年金值

第二章年金

第二章年金2.1期末付年金2.2期初付年金2.3任意时刻的年金2.4永续年金2.5连续年金2.1期末付年金我们考虑在0时刻开始的n期中每期期末支付1元的年金。

2.2期初付年金考虑在0时刻开始的n期中每期期初支付1元的年金。之间的关系式期末与期初付之间的联系

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n-1n111----11111----1期末付年金期初付年金n+1例：王平从银行贷款20，000元，他想在今后的10年内等额还清贷款，贷款年利率为15%。求：

1）每年末的还款额；

2）每年初的还款额。解:2.3任意时刻的年金值2.3.1首期付款前某时刻的年金现值2.3.2在最后一期付款后某时刻的年金积累值2.3.3付款期间某时刻的年金当前值

11111012345678910付款次数为5，首次付款发生在时刻2，末次付款发生在时刻6（1）时刻0时的年金现值方式一：通过时刻1或2的年金现值的折现方式二：年金现值之间的加减①2.3.1在首期付款前某时刻的年金现值2.3.1在首期付款前某时刻的年金现值将上式一般化，有也称为延期年金。2.3.2在最后一期付款后某时刻的年金积累值

11111012345678910（2）时刻10时的年金积累值方式一：通过时刻6或7的年金积累值一次性投资所得方式二：年金积累值之间的加减①①①①将上式一般化，有

11111012345678910（3）时刻4时的年金当前值方式一：积累或折现2.3.3付款期间某时刻的年金当前值

11111012345678910（3）时刻4时的年金当前值方式二：加减计算假设付款期限为n次，第m次(m<n)付款时所有付款的当前值V(m)可以表示成例：3，000元的债务从第5年初开始，每年初偿还相同的数额，共分15次还清，年利率为8%，求年还债额。

解：练习:某人每年年初在银行存款2000元,假如每季度计息一次的年名义利率为12%,计算5年后该储户的存款积累值.答案练习某购房贷款8万元,每月初还款一次,分10年还清,每次等额偿还,贷款年利率为10.98%,计算每次还款额.例1.21答案

练习：某人在30岁时计划每年初存入银行300元建立个人帐户，假设他在60岁退休，存款年利率假设恒定为3％。（1）求退休时个人帐户的积累值。（2）如果个人帐户积累值在退休后以固定年金的方式在20年内每年年初领取一次，求每年可以领取的数额。例2.5答案（1）退休时个人帐户积累值计算（2）退休后每年可领取退休金思考某期初付年金每次付款额为1元,共付20次，第年的实际利率为,计算V(2).第一次付款在时刻2的当前值第二次第三次第四次第五次第20次时间0123451920付款11111112.4永续年金对于一个固定的利率i，、、和都是n的增函数，即随着n的增长而增长。当n趋于∞时，即年金的支付永远持续下去。我们称这种永远持续下去而不中止的年金为永久年金或称永续年金。例如：公司股票中不能赎回的优先股，其固定红利的给付是永续年金的形式。基金会以基金利息来从事某种事业，则每期利息的支取会永远持续下去，如诺贝尔奖等。

期末付和期初付永续年金期末付永续年金的现值用表示：

经济意义：首期期初投资（利率为）,且不收回本金，则每期期末可获得的利息，且一直持续下去。期初付永续年金的现值用表示：

不存在永续年金的最终积累值。1）期末付年金现值2）期初付年金现值期初投资元，则每年可获得1元期初投资元，则每年可获得1元重要的关系式例2.6有一企业想在一学校设立一永久奖学金，假如每年发出5万元奖金，问在年实际利率为5%的情况下，该奖学金基金的本金至少为多少？例2.7某人留下一笔100000元的遗产。这笔财产头10年的利息付给受益人B，第2个10年的利息付给受益人C，此后的利息都付给慈善机构D。若此项财产的年实际利率为7%，试确定B，C，D在此笔财产中各占多少份额？例2.7答案2.5连续年金付款频率无限大（即连续付款）的年金称为连续年金。连续付款n个计息期，每个计息期的付款额之和为1的年金现值记为。积累值公式：以的形式表示根据例有两个连续还款模型