第二章 线性不变系统

复习§1-2二维傅里叶变换2-DFourierTransform

四、F.T.定理--F.T.的基本性质1.线性定理Linearity

设g(x,y)G(fx,fy),h(x,y)H(fx,fy),F.T.F.T.2.空间缩放Scaling(相似性定理）{ag(x,y)+b

h(x,y)}=aG(fx,fy)+b

H(fx,fy)F.T.是线性变换§1-2二维傅里叶变换FourierTransform

四、F.T.定理空间缩放注意空域坐标(x,y)的扩展,导致频域中坐标(fx,fy)的压缩及频谱幅度的变化.反之亦然.g(x)x01/2-1/21g(ax)a=2x01/4-1/41fG(f)01-11f02-21/2空域压缩F.T.F.T.频域扩展§1-2二维傅里叶变换FourierTransform

四、F.T.定理3.位移定理Shifting

{g(x-a,y-b)}=

G(fx,fy)exp[-j2p(fxa+fyb)]

设g(x,y)G(fx,fy),F.T.频率位移:原函数在空间域的相移,导致频谱的位移.{g(x,y)exp[j2p(fax+fby)]}=G(fx-

fa,fy-fb)空间位移:原函数在空域中的平移,相应的频谱函数振幅分布不变,但位相随频率线性改变.推论:由{1}=d(fx,fy){exp[j2p(fax+fby)]}=d(fx-

fa,fy-fb)复指函数的F.T.是移位的d函数§1-2二维傅里叶变换FourierTransform

四、F.T.定理4.帕色伐(Parseval)定理若g(x)代表加在单位电阻上的电流或电压,则∫|g(x)|2dx代表信号的总能量(或总功率)|G(f)|2代表能量(功率)的谱密度(单位频率间隔的能量或功率)

设g(x,y)G(fx,fy),F.T.Parseval定理说明,信号的能量由|G(f)|2曲线下面积给出.或者说等于各频率分量的能量之和—能量守恒§1-2二维傅里叶变换FourierTransform

四、F.T.定理--Parseval定理的证明交换积分顺序,先对x求积分:利用复指函数的F.T.利用d函数的筛选性质§1-2二维傅里叶变换FourierTransform

四、F.T.定理5.卷积定理空域中两个函数的卷积,其F.T.是各自F.T.的乘积.{g(x,y)*

h(x,y)}=

G(fx,fy).

H(fx,fy)

设g(x,y)G(fx,fy),h(x,y)H(fx,fy),F.T.F.T.{g(x,y).

h(x,y)}=

G(fx,fy)*

H(fx,fy)空域中两个函数的乘积,其F.T.是各自F.T.的卷积.将时、空域的卷积运算，化为频域的乘积运算，特别有用.亦可用于求复杂函数的F.T.和复杂函数的卷积§1-2二维傅里叶变换FourierTransform

卷积定理的证明交换积分顺序:应用位移定理应用F.T.定义§1-2二维傅里叶变换2-DFourierTransform

二、极坐标下的二维傅里叶变换和傅里叶-贝塞尔变换

特别适合于圆对称函数的F.T.

依F.T.定义:

极坐标变换§1-2二维傅里叶变换2-DFourierTransform

极坐标下的二维傅里叶变换令:则在极坐标中:则极坐标下的的二维傅里叶变换定义为：§1-2二维傅里叶变换2-DFourierTransform

傅里叶-贝塞尔变换圆对称函数的F.T.仍是圆对称函数,称为F-B(傅-贝)变换,记为G(r)={g(r)},g(r)=-1{G(r)}当f具有圆对称性，即仅是半径r的函数:f(x,y)=g(r,q)=g

(r).依F.T.定义:利用贝塞尔函数关系§1-2二维傅里叶变换

2-DFourierTransform

傅里叶-贝塞尔变换

例:利用F-B变换求圆域函数的F.T.定义: 是圆对称函数作变量替换,令r’=2prr,并利用:§1.7傅里叶变换FourierTransform

常用傅里叶变换对1.{1}=d(fx,fy); {d(fx,fy)}=1 1与d函数互为F.T.4.{Gaus(x)}=Gaus(f)高斯函数的F.T.仍为高斯函数3.{rect(x)}=sinc(f); {sinc(x)}=rect(f) rect与sinc

函数互为F.T.2.梳状函数的F.T.仍为梳状函数2§1.7傅里叶变换FourierTransform

常用傅里叶变换对5.{d(x-a)}=exp(-j2pfxa) {exp(j2pfax)}=d(fx-fa)7.{tri(x)}=sinc2(f)6.利用欧拉公式和5的结果8.第2章二维线性系统

Analysisof2-DimensionalLinearSystems

§2.1线性系统

1、线性系统的定义用算符表示系统线性系统定义:g(x,y)=ℒ{f(x,y)}

ℒ{

}输入f(x,y)输出g(x,y)ℒ{a1f1

(x,y)+a2f2

(x,y)}=ℒ{a1f1

(x,y)}+ℒ{a2f2

(x,y)}=a1ℒ{f1

(x,y)}+a2ℒ{f2

(x,y)}=a1

g1

(x,y)+a2g2

(x,y)令g1(x,y)=ℒ{f1(x,y)}，g2(x,y)=ℒ{f2(x,y)}若对任意复常数a1，a2有：则称该系统为线性系统。§2.1线性系统

线性系统具有叠加性质

线性系统对几个激励的线性组合的整体响应等于单个激励所产生的响应的线性组合。

ℒ{}

输入f1(x,y)输出g1(x,y)输入f2(x,y)输出g2(x,y)输入输出

ℒ{}

ℒ{}

§2.1线性系统

线性系统具有叠加性质

利用线性系统的叠加性质，可以把复杂的输入函数分解为简单的“基元”函数的线性组合，则输出就是这些“基元”函数响应的线性组合。光学系统可看成二维线性系统常用“基元”函数有d函数、复指数函数等等。系统对某个输入的响应不会因为其它输入的存在而改变系统的响应性质不会因为输入幅度的增大而改变线性系统对各个输入的响应是互相独立的。§2.1线性系统

2、脉冲响应和叠加积分系统对处于原点的脉冲函数的响应：h(x,y)=ℒ{d(x,y)}系统对输入平面上坐标为(x,h)处的脉冲函数的响应：h(x,y;

x,h)=ℒ{d(x-x,y-h)}在线性系统中引入脉冲响应的意义:1.任意复杂的输入函数可以分解为脉冲函数的线性组合;2.若已知线性系统的脉冲响应函数,则系统的输出为脉冲响应函数的线性组合.系统对输入脉冲函数的输出称为脉冲响应§2.1线性系统

任意复杂的输入函数可以分解为脉冲函数的线性组合根据d函数的卷积性质或d函数的筛选性质:此式的物理意义:脉冲分解函数f(x,y)可以看成输入(x,y)平面上不同位置处的许多d函数的线性组合.每个位于(x,h)的d函数的权重因子是f(x,h).§2.1线性系统

线性系统的输出为脉冲响应函数的线性组合对于线性系统:g(x,y)=ℒ{f(x,y)}只要知道各个脉冲响应函数,系统的输出即为脉冲响应函数的线性组合.

问题是如何求对任意点的脉冲d(x-x,y-h)的响应h(x,y;

x,h)ℒ叠加积分对一般系统而言,脉冲响应函数的形式可能是点点不同的.只有对一类特殊的系统—线性不变系统,

h(x,y;

x,h)=h(x-x,y-h)成立,分析可以得到简化.则h(x;1)

h(x-1)=1例如,设ℒ{d(x)}=h(x)=1而ℒ{d(x-1)}=h(x;1)=exp(-j2px)§2.1线性系统

脉冲响应函数h(x,y;

x,h)的求法:线性不变系统

LinearShift-InvariantSystem

一、定义设系统在t=0时刻对脉冲的响应为h(t),即:

ℒ

{d(t)}=h(t)若输入脉冲延迟时间t,其响应只有相应的时间延迟t,而函数形式不变,即

ℒ{d(t-t

)}=h(t-t

)则此线性系统称为时不变系统.系统脉冲响应的性质不随所考察的时间而变,是稳定的系统.时间轴平移了,响应也随之平移同样的时间,即具有平移不变性.只要系统的元件不老化，此线性系统即为平移不变系统.tt0d(t-t)t0d(t)例：时不变(一维)系统:RC电路th(t)0th(t-t)t0线性不变系统

LinearShift-InvariantSystem实际物理系统大多可近似为平移不变系统.§2.2二维线性不变系统

2-DLinearShift-InvariantSystems一个二维脉冲函数在输入面上位移时,线性系统的响应函数形式始终与在原点处输入的二维脉冲函数的响应函数形式相同，仅造成响应函数相应的位移，即：

ℒ{d(x-x,y-h)}=h(x-x,y-h)线性不变系统的脉冲响应:线性不变系统的输入-输出变换关系不随空间位置变化.这样的系统称为二维线性不变系统。h(x,y;

x,h)=h(x-x,y-h)观察点坐标输入脉冲坐标二个坐标的相对间距推广到二维空间函数§2.2二维线性不变系统:例空不变(二维)系统:等晕成像系统d(x-x

,y-h)(x,h)h(x-x,

y-h)xyxy光学成像系统在等晕区内是空间不变的.晕斑d(x,y)h(x,y)§2.2二维线性不变系统

输入输出关系:空域输出是输入与脉冲响应函数的卷积积分.这也是线性空不变系统的判据.ℒℒ输入输出§2.2二维线性不变系统

二、线性不变系统的传递函数两边作F.T.:G(fx,fy)=F(fx,fy)•H(fx,fy)传递函数输出频谱输入频谱传递函数是脉冲响应函数的.F.T.=ℱ{h(x,y)}§2.2二维线性不变系统

传递函数－频率响应对于给定的系统和输入,F(fx,fy)和H(fx,fy)较容易求出,因此容易由输出的频谱推算出系统的输出,可避免冗繁的卷积积分求输出的运算.例:P22,1.3(3)已知线性不变系统的脉冲响应为

h(x,y)=7sinc(7x)d(y)试用频域方法对下面每一个输入fi(x,y),求其输出gi(x,y)（必要时，可做合理近似） (3)f3(x,y)=[1+cos(8px)]rect(x/75)G(fx,fy)=F(fx,fy)•H(fx,fy)二维线性不变系统例:P632.6(2)间隔为3的脉冲阵列,基频为1/3在有限空间区域不为零,|x|<25三角波,底宽为2输入:0-25-3325............xg(x)1二维线性不变系统例:P632.6(2)输入频谱:输入:间隔为1/3的脉冲阵列包络,半宽为1窄带谱,半宽1/50f0-1/31/3G(f)2/3-2/350/31-12-2二维线性不变系统例:P632.6(2)传递函数H(f)1f01-12-2二维线性不变系统G’(f)=G(f).H(f)f0-1/31/3G(f)2/3-2/350/31-12-20二维线性不变系统例:P632.6(2)输出频谱:G’(f)f0-1/31/32/3