样例学习配置习题

基于样例学习理论的习题课教学研究引言习题课中的样例配置1243讨论与分析习题课的教学环节12341、引言

样例又称例子或范例，是一种能够例说或表征较为抽象概念、原理的相对具体的实体，能够展示同一类事物性质的样本，或值得模仿的榜样[1]。样例学习又称例中学,是学习者在对样例的研习中习得样例中蕴含的知识、技能的过程。[1]邵光华.样例学习的理论与实践[M].浙江大学出版社,2013.1、引言

有研究认为[2]，数学样例学习是学生在数学学习过程中认知技能获取的重要手段。和学生单纯的问题解决学习(即做中学)相比,从样例中进行的学习不仅可以花费较少的时间而习得相关的知识技能,而且还有较好的迁移效果,并有助于减轻学习者学习时的认知负荷。[2]马俊青.数学样例学习与学生数学知识形成关系的研究[J].数学教育学报,2009,(4):68-70.2、习题课中的样例配置在习题课中围绕一个中心，遵循由浅入深，由简到繁，由表及里的原则，从正向思维、逆向思维、发散思维的角度配置习题，使这些习题构成一个系列，形成样例，既能体现思维的多向性，也能架设由已知，经可知，达未知的桥梁，创造新的思路和解法，提高问题解决的艺术性。2.1

配置正向思维的样例

根据安德森的ACT-R理论，在样例学习的最初阶段，应该为学生呈现一些典型的样例，当他们掌握了相应的陈述性知识之后，再让学生进行大量的练习，从而帮助他们将陈述性知识转化为程序性知识，形成问题解决的技能。正向思维的样例，大都是概念、公式和法则的直接应用，有助于陈述性知识向程序性知识的转化，有助于问题解决技能的形成。2.1

配置正向思维的样例

【例1】在配置正向思维的样例时，要注意新旧知识的交叉渗透,让学生看到其“形”虽不同，然其“实”一样.在一元二次不等式的解法中，可配置如下样例：

①②③①单纯地解一元二次不等式②③一元二次不等式和绝对值不等式的交叉渗透

根据样例学习的相似性理论，样例学习是通过对多个相似的样例进行总结并归纳出原理而实现的。因此，在样例学习过程中，至少要呈现两个或多个样例[6]。学科的基本思考法，问题解决的一般思考法，要通过不同主题、不同情形的样例反复向学生渗透，提高学生的迁移能力和认识能力2.1

配置正向思维的样例

[6]ReedSKBolstadCR．Useofexamplesandproceduresinproblemsolving［J］．JournalofExperimentalPsychology:Learning，Memory，andCognition，1991，17:753-766．2.1

配置正向思维的样例

【例2】单调性、奇偶性是函数的重要性质，其正向思维的题型大致有：

②①③证明函数的单调性（或奇偶性）判断函数的单调性（或奇偶性）讨论函数的单调性（或奇偶性）教师在讲解具体的样例后，要总结规律，不能就题论题，要使学生有发展的余地。可以举一些有关单调性与奇偶性综合应用的例子，把单调性与奇偶性有机地“揉”在一起。问题解决的基本思路还是回到定义去！把眼光放远大一点，不再局限于一类题型，一个样例，而是要习取上述样例中的精神实质，就可以把上述样例看作样例空间中的一个点，通过类似样例的学习来归结经验。

2.1

配置正向思维的样例

【例3】在讲解二次函数在闭区间上的最值时，正向思维的题型有三类：

①定直线（对称轴）动区间型②动直线定区间型③动直线动区间型解决这三类问题的关键是考察对称轴与闭区间的相对位置关系——对称轴是穿过闭区间，还是在闭区间的左侧或右侧。讲清楚了第①类问题后，可请学生自行完成第②、③类问题。最后还要注意规律的总结。还可以发问，当区间不闭时，上述结论成立吗？2.1

配置正向思维的样例

2.1

配置正向思维的样例

样例学习本身是一种认知过程，需要运用头脑中已有的知识来理解、同化、归纳、概括样例内部所蕴含的图式或规则[7]，样例的变异性对学习者学习迁移的影响与迁移程度有关[8]。[7]邵光华.样例学习的理论与实践[M].浙江大学出版社,2013.[8]宁宁,喻平.多重变异性数学样例对迁移影响的初步研究[J].数学教育学报,2010,(6):50-52.2.1

配置正向思维的样例

数学教学通过事先设计的样例，将问题的初始状态、中间状态、目标状态，以及从一个状态转换成另一种状态均呈现给问题解决者，问题解决者从样例中归纳出隐含的抽象知识，从而获取认知技能。归结不同主题、不同情形样例中的精神实质，才能“厚书读薄”。总之，配置正面思维的样例，不能就题论题，堆砌习题，要围绕一个中心配置习题，要注重通法和基本套路，注重规律的总结；要注意样例内特征及样例间特征，在不同的情境中反复渗透，使学生的迁移能力和认识能力得到提升。2.2配置逆向思维的样例

配置了正向思维的题型，还要从逆向思维的角度加深对通法，对规律的理解。通常，逆向思维的难度大于正向思维的难度，然学生只有既能正向思维，又能逆向思维，才能达到了一定的熟练度2.2配置逆向思维的样例

【例4】此处列举几个正、逆向思维的题型：

正向思维题型逆向思维题型解一元二次不等式，即是已知参数（系数）的值，求解集已知解集，如何确定参数（系数）的值？已知相应方程根的取值范围，如何确定参数（系数）的取值范围已知参数的值，确定函数的单调性已知函数的单调性，试确定函数中有关参数的值已知有关参数的值，求函数在闭区间上的最值已知函数在闭区间上的最值，求有关参数的值2.2配置逆向思维的样例

解题不过是矛盾的相互转化，把逆向思维的题型看作、组织成正向思维的题型，迁移借用有关的解题方法。学生在正向思维活动中获得的数学活动经验得以迁移到逆向思维活动中，不仅会正向思考问题，也会反向思考问题，思维能力得到提升，思维品质得到优化；教师备课水平、组织教学的能力也得到了提升。这就不是在同一层次上重复了，而是一种螺旋上升。2.3配置发散思维的样例

哲学家哥德曾风趣地说：“经验丰富的人读书用两只眼睛，一只眼睛看到纸面上的话，另一只眼睛看到纸面背后的话。”这就告诉我们数学概念、公式不拓展、不提升，认识就只能囿于纸面上，局限于一个特定的情境，不能力透纸背。要达到“闻一知十”，就要学会有效的迁移类比，还需要发散性样例的学习，把表面上看似来源不同而实则同源同构的问题的实质吃透，提高在知识丰富领域的问题解决能力。2.3配置发散思维的样例

【例5】下面以变量代换法思想在不等式中的应用为例进行拓展，来体会发散思维样例（拓展进一步拓展螺旋上升2.3配置发散思维的样例

一元二次方程拓展一元二次不等式拓展一元二次函数拓展层次推进2.3配置发散思维的样例

章建跃老师指出，教学内容上数学思想和方法的反映，决定了我们教学的高度和水平。配置这样的发散性样例，学生的抽象、概括能力得到了提升，对问题的认识也不再浮于表面，而是抓住了问题的本质。解决此类问题的通法是用换元法等手段把问题退到最基本、最简单的模型。正如华罗庚先生说：“要善于退，退到已经解决了的问题为止。”2.3配置发散思维的样例

【例6】保留代数系统的基本通性—运算律，以通性求通解是一种优越的代数思维例如：求解不等式保留对数的运算律不变，可拓展成：是定义在正实数集上的增函数，且①求②若的值；，解不等式2、习题课中的样例配置学数学最好是做数学。数学习题成千上万，从思维的角度可把习题大致分成上述三种题型。在习题课教学中，三种题型有机调配，有利于从整体上把握解题规律，迅速找到解的切入口，提高解题能力。然而，上述论述毕竟是经验之谈，需要从理论上探讨习题课的教学之道。3、讨论与分析（1）教学理论应能解释课堂教学中发生的现象，对教学实践有指导力。笔者刚听过一位青年教师为省优质课竞讲而准备的“建立不等式模型解决实际问题”的观摩课。此节课遵照“易建模，易解模”→“易建模，难解模”→“难解模，易解模”的思路展开。但笔者认为这节课没有抓住要点。首先，一节课应围绕一个中心展开，本节课的中心主题应该是“建模”，而不是“解模”，其次，模型的复杂度应逐渐攀升，而本节课第一、二两个例题坡度小，而第三个例题坡度太大，很多学生一脸茫然。由此可见，课堂教学中的许多现象和问题，并不是理念更新后就能解决的，特别是在知识内容丰富的领域，更应注意对内容的深层次解读。3、讨论与分析（2）深入研究样例有助于教师把握数学学科的基本结构，为学生提供有生长力的知识。我国的“双基”、“四基”教学理论都强调教给学生基本概念、基本规律、学科的基本结构，要求教师能从题海中遴选蕴含着本质因素、根本因素、基础因素的样例，使学生透过样例,掌握数学知识和数学科学方法。样例学习中始终包含着一种内在的逻辑、一种内部的概念结构，学生习得是一种能动、有生发性的知识，这在发散型样例的配置中看得很清楚。3、讨论与分析（3）深入研究样例有助于教师切实考察学情，培养学生的独立学习能力。样例设计的基础性原则要求样例承载的内容是打基础的东西，适应学生的智力发展水平，接近他们已有的数学活动经验和生活经验。教师在设计样例时，不宜过难或过易，要对学生的数学发展水平、数学现实基础、现实数学基础能准确地评估。引导学生在“最近发展区”内对样例的本质进行寻找和提问，并能独立解决之3、讨论与分析（4）深入研究样例有助于教师深刻领悟“例中学”的真谛，引导学生选择合适的学习方式。“例中学”的要义在于让学生获得本质的、结构的、原则性的、典型的、规律性的认识和关系，而不是获得这些知识。“例中学”要求教师将重点内容进行加深和强化，突出数学的核心思想和方法，而不在细枝末节上“兜圈子”，使之能在学生头脑中生根。4、习题课的教学环节根据上述案例分析与理论分析知，样例的选择、组织、提炼、评价决定了习题课中要考虑的四个主要环节：（1）由问题出发，精心选择样例（2）通过变式，使学生能举一反三（3）引导学生提炼概括，总结一般规律（4）引导学生进行价值思索4、习题课