高中数学空间几何体的表面积和体积人教版必修2

第七章立体几何第二节空间几何体的表面积和体积抓基础明考向提能力教你一招我来演练

[备考方向要明了]考

什

么会计算球、柱、锥台的表面积和体积(不要求记忆公式)

怎

么

考1.空间几何体的表面积、体积是高考的热点，多与三视

图相结合命题．2.主要考查由三视图还原几何体并求表面积或体积，同

时考查空间想象能力及运算能力．题型多为选择、填

空题.柱、锥、台和球的侧面积和体积面积体积圆柱S侧＝V＝

＝圆锥S侧＝V＝

＝＝圆台S侧＝V＝(S上＋S下＋)h＝2πrlShπr2hπrlπ(r1＋r2)l面积体积直棱柱S侧＝V＝正棱锥S侧＝

V＝

正棱台S侧＝V＝球S球面＝V＝ChSh4πR2答案：

C解析：设正方体的棱长为a，则a3＝8，∴a＝2.而此正方体的内切球直径为2，∴S表＝4πr2＝4π.1．(教材习题改编)一个正方体的体积是8，则这个正方体的内切球的表面积是 (

)A．8π

B．6πC．4π D．π答案：

A答案：

C4．(教材习题改编)在△ABC中，AB＝2，BC＝3，∠ABC＝120°，若使△ABC绕直线BC旋转一周所形成的几何体的体积为________．答案：

3π5．如图所示，某几何体的正视图、侧视图均为等腰三角形，俯视图是正方形，则该几何体的外接球的体积是________．1．求体积时应注意的几点(1)求一些不规则几何体的体积常用割补的方法转化成已

知体积公式的几何体进行解决．(2)与三视图有关的体积问题注意几何体还原的准确性及

数据的准确性．2．求组合体的表面积时注意几何体的衔接部分的处理．[答案]

C[巧练模拟]——————(课堂突破保分题，分分必保！)答案：

A2．(2012·烟台模拟)如图所示是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是________．解析：此几何体的上部为球，球的直径为2，下部为一圆柱，圆柱的高为3，底面圆的直径为2，所以S表＝4π＋π＋π＋2π×3＝12π.答案：

12π[冲关锦囊]1．在求多面体的侧面积时，应对每一侧面分别求解后再相加，对于组合体的表面积应注意重合部分的处理．2．以三视图为载体考查几何体的表面积，关键是能够对给出的三视图进行恰当的分析，从三视图中发现几何体中各元素间的位置关系及数量关系．3．圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面，计算侧面积时需要将这个曲面展为平面图形计算，而表面积是侧面积与底面圆的面积之和.[答案]

B若本例的三视图变为如图所示，求该几何体的体积．解：该几何体下部是一个正方体，棱长为4，上部为圆柱，底面半径为1，高为4，则V＝4×4×4＋π·12×4＝64＋4π.答案：

D[冲关锦囊]1．计算柱、锥、台体的体积，关键是根据条件找出相应的底面面积和高，应注意充分利用多面体的截面和旋转体的轴截面，将空间问题转化为平面问题求解．2．注意求体积的一些特殊方法：分割法、补体法、转化法等，它们是解决一些不规则几何体体积计算常用的方法，应熟练掌握．3．等积变换法：利用三棱锥的任一个面可作为三棱锥的底面．①求体积时，可选择容易计算的方式来计算；②利用“等积法”可求“点到面的距离”.[精析考题][例3]

(2011·陕西高考)如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，∠BAC＝90°，AD是BC上的高，沿AD把△ABD折起，使∠BDC＝90°.(1)证明：平面ADB⊥平面BDC；(2)若BD＝1，求三棱锥D－ABC的表面积．[自主解答]

(1)∵折起前AD是BC边上的高，∴当△ABD折起后，AD⊥DC，AD⊥DB.又DB∩DC＝D，∴AD⊥平面BDC.又AD⊂平面ABD，∴平面ABD⊥平面BDC.[巧练模拟]—————(课堂突破保分题，分分必保！)答案：C6．(2012·湖州模拟)如图所示，已知一个多面体的平面展开图由一个边长为1的正方形和4个边长为1的正三角形组成，则该多面体的体积是________．[冲关锦囊]解决折叠问题时要注意1．对于翻折前后，线线、线面的位置关系，所成角及距离加以比较，观察并判断变化情况．2．一般地，分别位于两个半平面内的元素其相对位置关系和数量关系发生变化，位于同一个半平面的元素，其相对位置和数量关系不变．3．对于某些翻折不易看清的元素，可结合原图形去分析、计算，即将空间问题转化为平面问题．数学思想函数与方程思想在空间几何体中的应用[考题范例](2011·四川高考)如图，半径为R的球O中有一内接圆柱．当圆柱的侧面积最大时，球的表面积与该圆柱的侧面积之差是__________．[巧妙运用]法一:设圆柱的轴与球的半径的夹角为α，则圆柱高为2Rcosα，圆柱底面半径为Rsin

α，∴S圆柱侧＝2π·Rsinα·2Rcosα＝2πR2sin2α.当sin2α＝1时，S圆柱侧最大为2πR2，此时，S球表－S圆柱侧＝4πR2－2πR2＝2πR2.答案：2πR2[题