高等数学第三章导数的应用

中值定理应用研究函数性质及曲线性态利用导数解决实际问题罗尔中值定理拉格朗日中值定理柯西中值定理泰勒公式(第三节)推广第三章导数的应用定理1设函数f(x)满足条件：由上述的讨论，我们可以得到如下定理——罗尔（Rolle）定理。设y=f(x)是一条连续光滑的曲线，并且在点A、B处的纵坐标相等，即f(a)=f(b)，如图，那么我们容易看出，在弧AB上至小有一点C(ξ,f(ξ))，曲线在C点有水平切线。（1）在闭区间[a,b]上连续；（2）在开区间(a,b)内可导；（3）f(a)=f(b).则在(a,b)内至少存在一点ξ

，使得证因f(x)在闭区间[a,b]上连续所以在[a,b]上一定取到最大值M和最小值m。

(1)若M=m则f(x)在[a,b]上是常数；

f(x)=M，x∈[a,b]yo

xACBaξb3.1.1罗尔定理由于f(x)在ξ处取最大值，所以不论△x为正或为负，总有当△x>0时,

(2)若M≠m

，则M,m中至小有一个不等于f(a)，不妨设f(a)≠M。因此，函数f(x)在内(a,b)某一点ξ处取到最大值M

。我们来证。同理，当△x<0时,从而，因此，任取ξ∈(a,b)都有因此必然有

3.1.2拉格朗日中值定理设函数f(x)在区间[a,b]上的图形是一条连续光滑的曲线弧，显然是连接点A(a,f(a))和点B(b,f(b))的弦的斜率，如图

所示，容易看出，在(a,b)内至少存在一点ξ使弧上的点C(ξ,f(ξ))的切线与弦平行。ABAB图yo

xACBaξb由上述的讨论，我们可以得到如下定理——拉格朗日（Lagrange）中值定理。定理2设函数f(x)满足条件：（1）在闭区间[a,b]上连续；（2）在开区间(a,b)内可导；则在(a,b)内至少存在一点ξ

，使得分析：若f(a)=f(b)即为罗尔定理，不妨设f(a)≠f(b)，证明的思路是借助一个辅助函数把拉格朗日定理转化为已知的罗尔定理。容易看出，弦的方程为证作辅助函数即而曲线弧与弦的纵坐标之差为AB它是x的函数，将其记为，显然函数满足罗尔定理的条件。显然在上[a,b]连续，在(a,b)可导，且于是由罗尔定理，至少存在一点ξ∈(a,b)，使得MadebyHuilaiLi中值定理的演示T与l平行这样的x可能有好多在区间上应用拉各朗日中值定理时，结论可以写成由拉格朗日定理可以得出两个重要的推论。证在(a,b)内任意取两点x1，x2，不妨设x1<x2，显然f(x)在[a,b]上连续，在(x1，x2)内可导，由拉格朗日中定理可知，至少存在一点ξ∈(x1，x2)，使得推论2若函数f(x)，g(x)在(a,b)内可导，且推论1若函数f(x)在(a,b)内任意点的导数，则f(x)在(a,b)内是一个常数。由条件知，从而f(x2)－f(x1)=0。即f(x2)=f(x1)。由x1，x2是(a,b)内的任意两点，于是我们就证明了f(x)在(a,b)内恒为一个常数。则在(a,b)内，f(x)与g(x)最多相差一个常数，即其中c为常数。事实上，因为，由推论1可知应用拉格朗日定理，我们不可以证明一些等式和不等式。例1.证明等式证:设由推论可知

(常数)令x=0,得又故所证等式在定义域上成立.自证:经验:欲证时只需证在

I

上机动目录上页下页返回结束例2.证明不等式证:设中值定理条件,即因为故因此应有机动目录上页下页返回结束

3.1.3柯西中值定理定理3设函数f(x)和g(x)满足条件：作为拉格朗日定理的推广，我们证明如下柯西定理：则在(a,b)内至少存在一点ξ，使得证先用反证法证明g(b)－g(a)≠0，若不然，即有g(b)=g(a).则由罗尔定理知，至少存在一点x0∈(a,b)，使得，此与条件(3)矛盾，故有g(b)－g(a)≠0。（1）在闭区间[a,b]上连续；（2）在开区间(a,b)内可导；注容易看出，拉格朗日中值定理是柯西定理当g(x)=x时的一个特殊情况。柯西定理的一个直接应用是证明下面的洛必达法则。即显然F(x)满足罗尔定理的三个条件，因此，在(a,b)内至少存在一点ξ，使得，即为证明等式成立，我们作辅助函数费马(1601–665)法国数学家,他是一位律师,数学只是他的业余爱好.他兴趣广泛,博览群书并善于思考,在数学上有许多重大贡献.他特别爱好数论,他提出的费马大定理:至今尚未得到普遍的证明.他还是微积分学的先驱,费马引理是后人从他研究最大值与最小值的方法中提炼出来的.拉格朗日(1736–1813)法国数学家.他在方程论,解析函数论,及数论方面都作出了重要的贡献,近百余年来,数学中的许多成就都直接或间接地溯源于他的工作,他是对分析数学产生全面影响的数学家之一.柯西(1789–1857)法国数学家,他对数学的贡献主要集中在微积分学,《柯西全集》共有27卷.其中最重要的的是为巴黎综合学校编写的《分析教程》,《无穷小分析概论》,《微积分在几何上的应用》等,有思想有创建,响广泛而深远.对数学的影他是经典分析的奠人之一,他为微积分所奠定的基础推动了分析的发展.复变函数和微分方程方面.一生发表论文800余篇,著书7本,三、其他未定式二、型未定式一、型未定式第二节机动目录上页下页返回结束洛必达法则第三章定理：设（1）（2）在点的某邻域内（点本身可以

除外），及存在且

（3）存在或为无穷大，则有一两个无穷小量之比的极限（型）

3.1.4罗必达法则例1.求解:原式注意:不是未定式不能用洛必达法则!机动目录上页下页返回结束例2.求解:原式机动目录上页下页返回结束例3.求解:原式例4.求解:(1)n

为正整数的情形.原式机动目录上页下页返回结束说明:例如,而用洛必达法则

1)在满足定理条件的某些情况下洛必达法则不能解决计算问题.机动目录上页下页返回结束例如,极限不存在机动目录上页下页返回结束2)若其他未定式:解决方法:通分转化取倒数转化取对数转化例5.求解:原式机动目录上页下页返回结束解:原式例6.求机动目录上页下页返回结束通分转化取倒数转化取对数转化例7.求解:利用例5例5目录上页下页返回结束通分转化取倒数转化取对数转化例8.求解:注意到～原式机动目录上页下页返回结束内容小结洛必达法则令取对数机动目录上页下页返回结束思考与练习1.设是未定式极限,如果不存在,是否的极限也不存在?举例说明.极限说明目录上页下页返回结束洛必达(1661–1704)法国数学家,他著有《无穷小分析》(1696),并在该书中提出了求未定式极限的方法,后人将其命名为“洛必达法的摆线难题,以后又解出了伯努利提出的“最速降线”问题,在他去世后的1720年出版了他的关于圆锥曲线的书.则”.他在15岁时就解决了帕斯卡提出机动目录上页下页返回结束解:原式=第三节目录上页下页返回结束一、函数单调性和极值机动目录上页下页返回结束二、曲线的凹凸与拐点3.2函数性态的研究

第三章3.2.1函数单调性和极值

1.函数的单调性若定理1.设函数则在(a,b)内单调递增(递减).证:无妨设任取由拉格朗日中值定理得故这说明在I

内单调递增.在(a,b)内可导,机动目录上页下页返回结束证毕例1.确定函数的单调区间.解:令得故的单调增区间为的单调减区间为机动目录上页下页返回结束说明:单调区间的分界点除驻点外,也可是导数不存在的点.例如,2)如果函数在某驻点两边导数同号,

则不改变函数的单调性.例如,机动目录上页下页返回结束例2.证明时,成立不等式证:令从而因此且证证明目录上页下页返回结束*证明令则从而即2函数的极值及其求法定义:在其中当时,(1)则称为的极大值点

,称为函数的极大值

;(2)则称为的极小值点

,称为函数的极小值

.极大值点与极小值点统称为极值点

.机动目录上页下页返回结束注意:为极大点为极小点不是极值点2)对常见函数,极值可能出现在导数为0或不存在的点.1)函数的极值是函数的局部性质.例如为极大点,是极大值是极小值为极小点,机动目录上页下页返回结束定理2若函数f(x)在点处有极值，且存在，则使的点称为函数f(x)的驻点定理1(极值第一判别法)且在空心邻域内有导数,(1)“由正变负”,(2)“由负变正”,机动目录上页下页返回结束(3)符号不改变,则在处无极值例1.求函数的极值.解:1)求导数2)求极值可疑点令得令得3)列表判别是极大点，其极大值为是极小点，其极小值为机动目录上页下页返回结束定理2(极值第二判别法)二阶导数,且则在点取极大值;则在点取极小值.机动目录上页下页返回结束不确定例2.求函数的极值.解:1)求导数2)求驻点令得驻点3)判别因故为极小值;又故需用第一判别法判别.机动目录上页下页返回结束下列命题是否正确？为什么？

(1)若，则x0是f(x)的极值点；

(2)若f(x)在x0点取得极值，必有；解(1)错误。如f(x)＝x3

，则，但f(x)在x0＝0点无极值。

(2)错误。反例为

，易知f(x)≥f(0)，即x0＝0是f(x)极值点，但f(x)在x0＝0不可导。二、最大值与最小值问题则其最值只能在极值点或端点处达到.求函数最值的方法:(1)求在内的极值可疑点(2)

最大值最小值机动目录上页下页返回结束特别:当在内只有一个极值可疑点时,当在上单调时,最值必在端点处达到.若在此点取极大值,则也是最大值.(小)

对应用问题,有时可根据实际意义判别求出的可疑点是否为最大值点或最小值点.(小)机动目录上页下页返回结束3.2.2曲线的凹凸性与拐点

1曲线的凹凸性定义：如果一段曲线位于它上面任一点的切线上方，我们就称这段曲线是凹曲线；如果一段曲线位于它上面任一点的切线下方，我们就称这段曲线是凸曲线；

曲线的拐点：如果一条曲线既有凹的部分也有凸的部分，那么这两部分的分界点叫拐点。定理2.(凹凸判定法)(1)在I内则在I

内图形是凹的;(2)在I内则在

I

内图形是凸的.设函数在区间I上有二阶导数例1.判断曲线的凹凸性.解:故曲线在上是向上凹的.说明:1)若在某点二阶导数为0,2)根据拐点的定义及上述定理,可得拐点的判别法如下:若曲线或不存在,但在两侧异号,则点是曲线的一个拐点.则曲线的凹凸性不变.在其两侧二阶导数不变号,机动目录上页下页返回结束例2.求曲线的拐点.解:不存在因此点(0,0)为曲线的拐点.凹凸机动目录上页下页返回结束例3.求曲线的凹凸区间及拐点.解:1)求2)求拐点可疑点坐标令得对应3)列表判别故该曲线在及上向上凹,向上凸,点(0,1)及均为拐点.凹凹凸机动目录上页下页返回结束内容小结1.可导函数单调性判别在I

上单调递增在I

上单调递减2.曲线凹凸与拐点的判别+–拐点机动目录上页下页返回结束思考与练习上则或的大小顺序是()提示:

利用单调增加,及B1.

设在机动目录上页下页返回结束

.2.

曲线的凹区间是凸区间是拐点为提示:及

;

;第五节目录上页下页返回结束有位于一直线的三个拐点.1.求证曲线证明：备用题机动目录上页下页返回结束令得从而三个拐点为因为所以三个拐点共线.机动目录上页下页返回结束证明:当时，有证明:令,则是凸函数即

2.机动目录上页下页返回结束(自证)内容小结1.连续函数的极值(1)极值可疑点:使导数为0或不存在的点(2)第一充分条件过由正变负为极大值过由负变正为极小值(3)第二充分条件为极大值为极小值定理3目录上页下页返回结束最值点应在极值点和边界点上找;应用题可根据问题的实际意义判别.2.连续函数的最值3.

设是方程的一个解,若且则在(A)取得极大值;(B)取得极小值;(C)在某邻域内单调增加;(D)在某邻域内单调减少.提示:A机动目录上页下页返回结束特点:3.3函数展为幂级数以直代曲在微分应用中已知近似公式:需要解决的问题如何提高精度?如何估计误差?x

的一次多项式3.3.1用多项式近似表示函数1.求n次近似多项式要求:故机动目录上页下页返回结束令则1.幂级数常用的几个函数的幂级数展开式定义1：给定数列则表达式

叫做无穷级数（简称为级数），记为或或。其中第n