山东省烟台市海阳双语中学2023年高三数学理下学期期末试题含解析

山东省烟台市海阳双语中学2023年高三数学理下学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.设(

) A．-1 B．1 C．-2 D．2参考答案：B略2.共面的三条定直线相互平行，点在上，点在上，两点在上，若（定值），则三棱锥的体积（

）

A.由点的变化而变化

B.由点的变化而变化

C.有最大值，无最小值

D.为定值

参考答案：答案:D3.已知定义在R上的可导函数f(x)的导函数为f′(x)，若对于任意实数有f′(x)+f(x)＞0，且f(0)=1，则不等式exf(x)＞1的解集为（

）A．(－∞，0)

B．(0，+∞)

C.(－∞，e)

D．(e，+∞)参考答案：B令g(x)=exf(x)，故g(x)=exf(x)+exf′(x)=ex|f(x)+f′(x)|，由f′(x)+f(x)＞0可得，g(x)＞0，故函数g(x)在R上单调递增，又由f(0)=1得g(0)=1，故不等式exf(x)＞1的解集为(0，+∞)，故选B.4.从1,2,3,4,5中任取2个不同的数，设A表示事件“取到的2个数之和为偶数”，B表示事件“取到的2个数均为偶数”，则P（B|A）=(

)A．

B．

C．

D．参考答案：5.从5名志愿者中选派4人在星期五、星期六、星期日参加公益活动，每人一天，要求星期五有一人参加，星期六有两人参加，星期日有一人参加，则不同的选派方法共有A.120种

B.96种

C.60种

D.48种参考答案：C解析：5人中选4人则有种，周五一人有种，周六两人则有，周日则有种，故共有××=60种,故选C6.下列函数中，在其定义域内既是偶函数又在（﹣∞，0）上单调递增的函数是(

) A．f（x）=x2 B．f（x）=﹣log2|x| C．f（x）=3|x| D．f（x）=sinx参考答案：B考点：奇偶性与单调性的综合．专题：函数的性质及应用．分析：根据函数奇偶性和单调性的定义和性质分别进行判断即可．解答： 解：A．f（x）=x2是偶函数，在（﹣∞，0）上单调递减，不满足条件．B．f（x）=﹣log2|x|是偶函数，在（﹣∞，0）上单调递增，满足条件．C．f（x）=3|x|是偶函数，在（﹣∞，0）上单调递减，不满足条件．D．f（x）=sinx是奇函数，不满足条件．故选：B点评：本题主要考查函数奇偶性和单调性的判断，比较基础．7.已知关于的方程在有且仅有两根，记为，则下列的四个命题正确的是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：C略8.在双曲线：中，，分别为的左、右焦点，为双曲线上一点且满足，则（

）A．108 B．112 C．116 D．120参考答案：C9.已知为不同的平面，为不同的直线，则的一个充分条件是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：DA、B、C项错误，满足条件的和平面可能平行；D项正确，，结合知.10.F1，F2分别是双曲线﹣=1（a，b＞0）的左右焦点，点P在双曲线上，满足=0，若△PF1F2的内切圆半径与外接圆半径之比为，则该双曲线的离心率为（）A． B． C．+1 D．+1参考答案：D【考点】双曲线的简单性质．【分析】设P为双曲线的右支上一点，由向量垂直的条件，运用勾股定理和双曲线的定义，可得|PF1|+|PF2|，|PF1|?|PF2|，再由三角形的面积公式，可得内切圆的半径，再由直角三角形的外接圆的半径即为斜边的一半，由条件结合离心率公式，计算即可得到所求值．【解答】解：设P为双曲线的右支上一点，=0，即为⊥，由勾股定理可得|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=4c2，①由双曲线的定义可得|PF1|﹣|PF2|=2a，②①﹣②2，可得|PF1|?|PF2|=2（c2﹣a2），可得|PF1|+|PF2|=，由题意可得△PF1F2的外接圆的半径为|F1F2|=c，设△PF1F2的内切圆的半径为r，可得|PF1|?|PF2|=r（|PF1|+|PF2|+|F1F2|），解得r=（﹣2c），即有=，化简可得8c2﹣4a2=（4+2）c2，即有c2=a2，则e===+1．故选：D．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知α∈（0，），sin2α=，则sin（α+）=．参考答案：【考点】三角函数的化简求值．【分析】根据α∈（0，），sin2α=，1﹣2sin2（）=cos（2α+）=﹣sin2α，即可求解．【解答】解：由1﹣2sin2（）=cos（2α+）=﹣sin2α，∴sin2（）=，∵α∈（0，），∴∈（，），∴则sin（）=．故答案为：12.向量，，若，则m=

．参考答案：±1因为，所以，故

13.已知圆的参数方程为（为参数），以原点为极点，轴为正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为，则直线和圆的交点的直角坐标为

.参考答案：14.过点P（1，）作圆x2+y2=1的两条切线，切点分别为A，B，则=．参考答案：【考点】平面向量数量积的运算；直线与圆相交的性质．【分析】根据直线与圆相切的性质可求PA=PB，及∠∠APB，然后代入向量数量积的定义可求．【解答】解：连接OA，OB，PO则OA=OB=1，PO=，2，OA⊥PA，OB⊥PB，Rt△PAO中，OA=1，PO=2，PA=∴∠OPA=30°，∠BPA=2∠OPA=60°∴===故答案为：15.已知函数f（x）=x2lnx，若关于x的不等式f（x）﹣kx+1≥0恒成立，则实数k的取值范围是

．参考答案：（﹣∞，1]【考点】函数恒成立问题．【分析】把恒成立问题转化为求函数最值问题，根据导函数求出函数g（x）=xlnx+的最小值，得出答案．【解答】解：∵x2lnx﹣kx+1≥0恒成立，∴k≤xlnx+恒成立，令g（x）=xlnx+，g'（x）=lnx+1﹣，当x在（1，+∞）时，g'（x）＞0，g（x）递增；当x在（0，1）时，g'（x）＜0，g（x）递减；故g（x）的最小值为g（1）=1，∴k≤1，故答案为：（﹣∞，1]．16.已知复数（，i为虚数单位），那么 .参考答案：117.在平面直角坐标系XOY中，圆C的方程为，若直线上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则k的取值范围是．参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分12分）设数列满足,且

（1）证明:数列为等比数列;

（2）求数列的前项和.参考答案：19.已知矩阵，其中，若点在矩阵的变换下得到点（1）求实数的值；（2）求矩阵的特征值及其对应的特征向量.参考答案：（1）由（2）由（1）知，则矩阵的特征多项式为令，得矩阵的特征值为与当时，矩阵的属于特征值-1的一个特征向量为；当时，矩阵的属于特征值4的一个特征向量为.20.（本小题满分13分）已知椭圆C：经过点M(－2，－1)，离心率为．过点M作倾斜角互补的两条直线分别与椭圆C交于异于M的另外两点P、Q．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）试判断直线PQ的斜率是否为定值，证明你的结论．参考答案：（Ⅱ）记P(x1，y1)、Q(x2，y2)．由题意知，直线MP、MQ的斜率存在．设直线MP的方程为y＋1＝k(x＋2)，与椭圆C的方程联立，得(1＋2k2)x2＋(8k2－4k)x＋8k2－8k－4＝0，因此直线PQ的斜率为定值．……………13分【题文】（本小题满分14分）已知函数，其中，为自然对数的底数．（Ⅰ）求函数在区间上的最小值；（Ⅱ）证明：当时，；（Ⅲ）证明：对任意给定的正数，总存在，使得当，恒有.【答案】【解析】（Ⅰ）方法一：，………1分1

当时，，所以.………2分

②当时，由，得.若，则；若，则.………………3分所以当时，在上单调递增，所以.………………………4分当时，时，，时，，所以在上单调递减，在上单调递增，所以.…………………5分当时，在上单调递减，所以.综上可知，当时，的最小值为；当时，的最小值为；当时，的最小值为………6分方法二：，………1分因为，所以，1

当，即时，，在上单调递增，所以.的最小值为；………2分2

当，即时，时，，时，，所以在上单调递减，在上单调递增，所以.的最小值为；…………4分3

当，即时，，在上单调递减，所以.的最小值为………5分综上可知，当时，的最小值为；当时，的最小值为；当时，的最小值为………6分（Ⅱ）令,则.………7分由（I）得,………8分故在R上单调递增,又,因此,当时,,即.

………9分（III）①若,则.又由（II）知，当时,.所以当时,.取,当时，恒有.………………10分②若,令,要使不等式成立，只要成立.而要使成立，则只要,即成立.………………11分令,则.………………12分所以当时,在内单调递增.取,所以在内单调递增.又.易知.所以.即存在,当时，恒有.综上，对任意给定的正数，总存在,当时,恒有.…………14分【或用下列方式】②若,则,要使不等式成立，则只要,即成立.……11分令,则.………………12分所以当时,在内单调递增.取,所以在内单调递增.又.易知.所以.即存在,当时，恒有.综上，对任意给定的正数，总存在,当时,恒有.…………14分方法二：对任意给定的正数，取由（II）知，当时，，所以……11分当时，因此，对任意给定的正数，总存在,当时,恒有.………14分21.（本小题满分12分）已知是定义在上的奇函数，且，当,时，有成立.（Ⅰ）判断在上的单调性，并加以证明；（Ⅱ）若对所有的恒成立，求实数m的取值范围.参考答案：（Ⅰ）任取x1,x2[－1,1]，且x1＜x2，则－x2[－1,1].因为f(x)为奇函数. 所以f(x1)－f(x2)=f(x1)+f(－x2)=·(x1－x2), 由已知得＞0，x1－x2＜0， 所以f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2). 所以f(x)在[－1,1]上单调递增. （Ⅱ）因为f(1)=1,f(x)在[－1,1]上单调递增， 所以在[－1,1]上，f(x)≤1. 问题转化为m2－2am+1≥1， 即m2－2am≥0，对a[－1,1]恒成立. 下面来求m的取