山东省烟台市莱阳躬家庄中学2022年高二数学理期末试卷含解析

山东省烟台市莱阳躬家庄中学2022年高二数学理期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.当x在（﹣∞，+∞）上变化时，导函数f′（x）的符号变化如下表：x（﹣∞.1）1（1，4）4（4，+∞）f′（x）﹣0+0﹣则函数f（x）的图象的大致形状为（）A． B． C． D．参考答案：C【考点】函数零点的判定定理；函数的零点．【分析】f′（x）在（﹣∞，1）上小于0，在（1，4）上大于0，故f（0）是函数的极小值，同理可得f（4）是函数的极大值，由此得出结论．【解答】解：由图表可得函数f′（x）在（﹣∞，1）上小于0，在（1，4）上大于0，即函数f（x）在（﹣∞，1）上是减函数，在（1，4）上是增函数，故f（0）是函数的极小值．同理，由图表可得函数f′（x）在（1，4）上大于0，在（1，4）上小于0，即函数f（x）在（1，4）上是增函数，在（4，+∞）上是增函数，可得f（4）是函数的极大值，故选C．2.已知命题p：x∈R，x2+x-60，则命题P是（

）A．x∈R，x2+x-6>0

B．x∈R．x2+x-6>0C．x∈R，x2+x-6>0

D.x∈R．x2+x-6<0参考答案：B3.设f(x)是一个三次函数，为其导函数.图中所示的是的图像的一部分.则f(x)的极大值与极小值分别是（

）.A.f(1)与f(－1) B.f(－1)与f(1) C.f(－2)与f(2) D.f(2)与f(－2)参考答案：C【详解】易知，有三个零点因为为二次函数，所以，它有两个零点由图像易知，当时，；当时，，故是极小值类似地可知，是极大值.故答案为：C4.已知A、B、C是不在同一直线上的三点，O是平面ABC内的一定点，P是平面ABC内的一动点，若(λ∈[0，+∞))，则点P的轨迹一定过△ABC的（

）A．外心

B．内心

C．重心

D．垂心参考答案：C5.在数列{an}中，已知a1＝1，a2＝5，an＋2＝an＋1－an，则a2007等于(

)A．－4

B．－5C．4

D．5参考答案：C6.A、B两篮球队进行比赛，规定若一队胜4场则此队获胜且比赛结束（七局四胜制），A、B两队在每场比赛中获胜的概率均为，为比赛需要的场数，则

A．

B．

C．

D．参考答案：B7.设M(x0，y0)为拋物线C：x2＝8y上一点，F为拋物线C的焦点，以F为圆心、|FM|为半径的圆和拋物线C的准线相交，则y0的取值范围是()A．(0,2)

B．[0,2]C．(2，＋∞)

D．[2，＋∞)参考答案：C8.不等式的解集为（）

A.(-∞,-1)(1,+∞)B.(-∞,-2)(2,+∞)C.(-1,1)D.(-2,2)参考答案：解析：注意到xR,x2=|x|2∴x2-|x|-2<0|x|2-|x|-2<0(|x|-2)(|x|+1)<0|x|-2<0|x|<2故应选D9.圆在P处的切线的方程为(

)A.

B.

C.

D.参考答案：B10.不等式组表示的平面区域是（）A． B． C． D．参考答案：C【考点】二元一次不等式（组）与平面区域．

【专题】数形结合．【分析】根据阴影部分与直线的位置关系即可写出结论．【解答】解：先在坐标系中画出直线y=2﹣x和直线y=x的图象，由已知，不等式组表示的平面区域应为：在直线y=2﹣x的左下侧（包括直线y=2﹣x）且在直线y=x的左上侧部分（包括直线y=x）．故选：C．【点评】本题主要考查二元一次不等式组表示平面区域，体现了数形结合的数学思想，属于基础题．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知，则

．参考答案：24212.从某高校在校大学生中随机选取5名女大学生，由她们身高和体重的数据得到的回归直线方程为，数据列表是：

身高x(cm)155161a167174体重y(kg)4953565864

则其中的数据

．参考答案：163

13.观察下列等式

照此规律，第个等式应为

.参考答案：

14.同时抛掷一颗红骰子和一颗蓝骰子，观察向上的点数，记“红骰子向上的点数是3的倍数”为事件，“两颗骰子的点数之和大于8”为事件，则

.参考答案：试题分析：因红骰子向上的点数是的倍数,故有两种可能;在此前提下,两骰子的点数之和大于的可能有共五种可能,即而所有可能为种可能,故由古典概型的公式可得所求条件事件的概率为.应填.考点：条件事件的概率和计算．15.设D为不等式组表示的平面区域，区域D上的点与点（1，0）之间的距离的最小值为__________参考答案：16.已知数列的，则=_____________

参考答案：100略17.若焦点在x轴上的椭圆的离心率为，则m= 参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.椭圆的左、右焦点分别为和,且椭圆过点.(Ⅰ)求椭圆的方程;(Ⅱ)过点作不与轴垂直的直线交该椭圆于两点,为椭圆的左顶点,试判断的大小是否为定值,并说明理由.参考答案：解：(1)设椭圆方程为,由题可知:,解得,所以椭圆的方程(2)设直线的方程为,联立方程组可得,化简得:设,则,又,则,所以,所以的大小为定值

略19.已知函数，（1）求函数的极值；（2）若时，恒成立，求实数的值；（3）当时，求证：在区间上有且仅有一个零点。参考答案：解：（1）∵∴令得：当时，，函数在上为减函数；当时，，函数在上为增函数；∴当时，函数有极小值，极小值为：；无极大值………………3分（2）方法一：由题意可得：恒成立；①当时，不等式显然成立，这时； ……………4分②当时，不等式恒成立即：恒成立；由（1）可得：当当时，∴………5分③当时，不等式恒成立即：恒成立；由（1）可得：当当时，∴………7分综上可得：

……………8分（2）方法二：由题意可得：恒成立；即：恒成立。令由题意可得：

……………4分1

当时，，在上为增函数，注意到，当时，，不合题意；

……………5分②当时，令，得，当时，，函数在上为减函数；当时，，函数在上为增函数；∴当且仅当时，，这时，恒成立。

……………8分（3），,令，得，当时，，函数在上为减函数；当时，，函数在上为增函数；∵∴

……………11分下证：：令，()下面证明：当时，方法一：由（1）可得：当时，即：，两边取对数得：，令即得：，从而，在（1,）为增函数，即：

……………14分方法二：当时，令，在（1,）为增函数，∴从而，在（1,）为增函数，即：

……………14分∵，，由零点存在定理，函数在区间必存在一个零点

……………15分又∵函数在上为增函数，∴在区间上有且仅有一个零点。

……………16分

略20.设复数，复数．（Ⅰ）若，求实数a的值.（Ⅱ）若，求实数a，b的值.参考答案：(Ⅰ)；(Ⅱ)【分析】（Ⅰ）先由复数的加法法则得出，再利用复数的乘方得出，并表示为一般形式，由虚部为零求出实数的值；（Ⅱ）解法1：利用复数的除法法则求出，并表示为一般形式，利用复数相等列方程组，求出实数与的值；解法2：由变形为，利用复数乘法将等式左边复数表示为一般形式，再利用复数相等列方程组求出实数与的值。【详解】（Ⅰ）===因为，所以，，；（Ⅱ）解法1：，所以，因此，；解法2：，则，所以.【点睛】本题考查复数相等求未知数，解题的关键就是利用复数的四则运算法则将复数表示为一般形式，明确复数的实部和虚部，再由复数列方程组求解即可，考查计算能力，属于基础题。21.（本小题满分13分）在数列中，，，。（Ⅰ）计算，，的值；（Ⅱ）猜想数列的通项公式，并用数学归纳法加以证明.参考答案：（Ⅰ）解：由题意，得，

3分（Ⅱ）解：由，猜想

5分以下用数学归纳法证明：对任何的。证明：①当时，由已知，左边，右边，等式成立。7分②假设当时，成立，则时，所以当时，猜想也成立。

12分根据①和②，可知猜想对于任何都成立。

13分22.某厂家拟在“五一”节举行大型促销活动，经测算某产品销售价格x（单位：元/件）与每日销售量y（单位：万件）满足关系式y=+2（x﹣5）2，其中2＜x＜5，a为常数，已知销售价格为3元时，每日销售量10万件．（1）求a的值；（2）若该商品的成本为2元/件，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大．参考答案：【分析】（1）由f（3）=10代入函数的解析式，解关于a的方程，可得a值；（2）商场每日销售该商品所获得的利润=每日的销售量×销售该商品的单利润，可得日销售量的利润函数为关于x的三次多项式函数，再用求导数的方法讨论函数的单调性，得出函数的极大值点，从而得出最大值对应的x值．【解答】解：（1）因为x=3时，y=10，所以a+8=10，故a=2；（2）由（1）可知，该商品每日的销售量y=+2（x﹣2）2，所以商场每日销售该商品所获得的利润为