材料力学之能量法

第十三章能量法雁荡山1/31/20231共1页第十三章能量法§13-1

概述§13-2

杆件变形能的计算§13-3

互等定理§13-4

单位荷载法莫尔定理§13-5

卡氏定理§13-6

计算莫尔积分的图乘法§13-1概述在弹性范围内,弹性体在外力作用下发生变形而在体内积蓄的能量,称为弹性变形能,简称变形能。一.能量方法三.变形能二.外力功弹性体在外力作用下变形,在变形过程中,力在相应位移上所做功。利用功能原理

V=W

来求解可变形固体的位移,变形和内力的方法。变形固体在受外力作用而变形时,对于弹性体,不考虑其他能量的损失,在变形过程中,外力在相应位移上作的功,在数值上就等于积蓄在物体内的变形能.V=W四.功能原理PFllFlFoll1d(l1)dF1F1θMeMeMeMeMelMeMe§13-2

杆件变形能的计算V=W由功能原理一.拉(压)三.弯曲二.扭转组合变形四.变形能的普遍表达式F--广义力

(包括力和力偶)δ--广义位移(包括线位移和角位移)B'C'F3BCF2AF1假设广义力按某一比例由零增致最后值，对应的广义位移也由零增致最后值,对于线性结构,位移与荷载之间是线性关系,任一广义位移,例如2

可表示为F3ABCF1F2B'

C1F1，C2F2，C3F3

分别表示力F1

,F2,F3

在

C

点引起的竖向位移，C1，C2，C3

是比例常数。在比例加载时,F1/F2和F3/F2也是常数。2

与

F2之间的关系是线性的。同理,1

与F1,3

与

F3

之间的关系也是线性的。在整个加载过程中结构的变形能等于外力的功iFiF3ABCF1F2B'——克拉贝隆原理（只限于线性结构）Fii例1

试求:图示悬臂梁的变形能,并利用功能原理求自由端

B

的挠度。ABFlx解：由

V=W

得例2

试求:图示梁的变形能,并利用功能原理求C截面的挠度。解：由

V=W

得ABCFx1ablx1abx2例3

试求:

图示四分之一圆曲杆的变形能,并利用功能原理求

B

截面的垂直位移.已知

EI

为常量.解：由

V=W

得ABFORθ略去剪切和轴向变形对应的变形能。2梁中点的挠度为梁右端的转角为MeACBFl/2l/2梁的变形能为1例:简支梁,两种载荷按同样比例加载,计算其变形能。先加力F后,再加力偶Me1)

先加力F后,C

点的位移力

F

所作的功为2)

力偶由零增至最后值

MeB

截面的转角为力偶

Me

所作的功为ACBFl/2l/2ACBFl/2l/2Me1由于力

F已经作用在梁上,力

F在δ3上要作功,而F不再变化

,所以是常力做功。Me

作用下C截面的位移为3ACBl/2l/2F与力偶Me

所作的功为ACBFl/2l/21MeF结论:应变能V只与外力的最终值有关,而与加载过程

和加载次序无关.§13-4单位荷载法莫尔定理一.莫尔定理的推导求任意点

A

的位移

f

A

F1F2A图b变形能为AaA图F1F2=1F0A图cfAF0=11.先在

A

点作用单位力

F0

,再作用力F1,

F2F1F22.三个力同时作用时任意截面的弯矩：变形能：桁架：二.普遍形式的莫尔定理注意：上式中Δ应看成广义位移,

把单位力看成与广义位移相对应的广义力。三.使用莫尔定理的注意事项5.莫尔积分必须遍及整个结构。1.M(x)：结构在原载荷作用下的内力;3.

所加广义单位力与所求广义位移之积,是功的量纲。沿所求广义位移的方向加广义单位力时，结构产生的内力;2.—去掉主动力,在所求广义位移的点,M4.与

M(x)的坐标必须一致。M(x)每段杆的坐标可自由建立。6.计算结果的正负,表示位移的方向与所加单位力的方向是否相同。例题5

抗弯刚度为EI的等截面简支梁受均布荷载作用,

求:用单位载荷法计算梁中点的挠度

fc

,

和支座

A

截面的转角。剪力对弯曲的影响不计。ql/2ql/2AqBCll/2解：选坐标,列弯矩方程x11/21/2(1)

求C

截面的挠度，在

C

点加一向下的单位力，弯矩为xABCql/2ql/2AqBCll/2x选坐标,列单位力单独作用下的弯矩方程AB11/l1/lx(2)

求

A

截面的转角，在

A

截面加一单位力偶（顺时针）ql/2ql/2AqBCll/2x选坐标,列单位力单独作用下的弯矩方程例题6

图示外伸梁,其抗弯刚度为

EI。

求:用单位载荷法计算C

点的挠度和转角。xABCa2a11/2xx解:计算支反力AB:(1)求截面的挠度(在

C

处加一单位力“1”)BC:F=qaBACqa2ax分别列,方程BC:AB:(2)

求C截面的转角

(在

C处加一单位力偶）1（）ABCa2a1/2axxBACqF=qaa2axx例题7

刚架的自由端

A作用集中力

F,刚架各段的抗弯刚度已于图中标出。不计剪力和轴力对位移的影响。

求:计算

A点的垂直位移及B

截面的转角。aABCFlEI1EI2解:(1)

计算A点的垂直位移,在

A

点加垂直向下的单位力。AB:BC:xxaABCFlEI1EI2aABC1lEI1EI2xx(2)

计算B

截面的转角,在B上加一个单位力偶矩AB:BC:（）1xxaABCFlEI1EI2xaABClEI1EI2x例题8

图示刚架,两杆的

EI和EA分别相同。试求:C点的水平位移.CFabABxx解：在C点加一水平单位力。CB:xxAB:CFabABC1abABxxxxCFabABC1abAB例题9

图示为一水平面内的直角折杆,B

处为一刚性节点,

在

C

处承受竖直力

F。设两杆的抗弯刚度和抗扭刚度

分别是EI

和

GIp

。求:

C点竖向位移。ABCFab解：在

C点加竖向单位力。BC:AB:xxxxABCFabABC1abxxxxABCFabABC1ab例题10

由三杆组成的刚架,B,C

为刚性节点，三杆的

抗弯刚度都是EI。求:试用单位载荷法计算A1,A2

两点的相对位移。A1A2BCllFFx解：在A1,A2

处加一对水平单位力。

B,C

两支座的反力均为零。A1B：BC：CA2：xxxxxA1A2BCllFFA1A2BCll11例题11

刚架受力如图。

求:

A截面的垂直位移,水平位移及转角.ABCllqAB：BC：解：求

A

点铅垂位移（在

A

点加竖向单位力）1xxxxABCllABCllq求

A

点水平位移

(在

A

点加水平单位力

)AB：BC：xxxx1ABCllABCllq求

A点的转角（在

A点加一单位力偶）AB：BC：1（）xxxxABCllABCllq例题12

计算图(a)所示开口圆环在

F

力作用下,

切口的张开量

ΔAB

。EI=常数。BAORFF(a)PBARP1解：BAR(b)OOF§13-6计算莫尔积分的图乘法

在等直杆的情况下,莫尔积分中的EI、GIP、EA为常量,可提到积分号外面,只需计算

M(x)

图一般是直线,折线或曲线。ldxxcxcM(x)M(x)McMM因为是由单位力或单位力偶引起的弯矩,M(x)故沿杆长方向的图总是由直线或折线组成.M(x)xxcM(x)xωClx对于等直杆有即莫尔积分可用

M(x)

图的面积

ω

和与M(x)图形心

C当

M

图为正弯矩时,ω

应代以正号.当M图为负弯矩时,ω

应代以负号.也应按弯矩符号给以正负号.Mc对应的的乘积来代替Mc几中常见图形的面积和形心的计算公式三角形二次抛物线balhCClh顶点N次抛物线二次抛物线lh顶点c3l/4l/4lh顶点c注意:则应以折线的转折点为界,把积分分成几段,逐段使用图乘法,然后求其和。有时

M(x)图为连续光滑曲线，而

图为折线，M(x)例18

均布荷载作用下的简支梁，其EI

为常数.

求:跨中点C的挠度.ABCql/2l/21ABCl/2l/2以图的转折点为界，分两段使用图乘法.M(x)C1C2ABCql/2l/21ABCl/2l/2C1C2例19

图示梁,抗弯刚度为EI,承受均布载荷

q及集中力

F作用.

求:用图乘法计算

(1)

集中力作用端挠度为零时的F值；

(2)

集中力作用端转角为零时的F

值。FCABalq解：Mql2/8Fa1ABalCaMFCABalq1ABalC例20

图示开口刚架,EI=常量.

求:A

和B两截面的相对角位移θAB

,

沿

F力作用线方向的相对线位移

ΔAB

。aaa/2a/2ABFFa/2Baaa/2A解：Fa/2a/2FFFa/2Fa/2a/2a/21A例21

图示刚架，EI=常量.

求:A

截面的水平位移

ΔAH

和转角θA

。BAaaqaqa/2qa2/2解：BAaaaBAaaBaBAaaqqa/2qa11111a111qa2/2§13-3互等定理载荷作用点位移发生点先作用

P1,后作用

P2,外力作的功先作用

P2,后作用

P1,外力作的功功的互等定理第一组力在第二组力引起的位移上所作的功,

等于第二组力在第一组力引起的位移上所作的功.由于位移互等定理:功的互等定理:注意:1.力和位移都应理解为广义的。2.

这里是指结构不可能发生刚性位移的情况下,

只是由变形引起的位移。若P1=P2,则有两力作用点沿力作用方向的位移分别为1.设在线弹性结构上作用力F1,

F21，2一.功的互等定理互等定理的一般证明12F1F2F1

和

F2完成的功应为F1F2122.在结构上再作用有力F3，F4沿

F3和F4方向的相应位移为3,4F334F4F3

和F4

完成的功应为3.在

F3和

F4的作用下,F1

和

F2

的作用点又有位移F1

和

F2在1´和2´上完成的功应为，因此,按先加

F1,F2

后加F3,F4

的次序加力,结构的应变能为F1F21234F4F3若按先加

F3

，F4

后加

F1

，F2

的次序加力,又可求得结构的应变能为由于应变能只决定于力和位移的最终值,与加力的次序无关,故功的互等定理第一组力在第二组力引起的位移上所作的功,等于第二组力在第一组力引起的位移上所作的功.二.位移互等定理若第一组力

F1,第二组力只有

F3,则如果F1=

F3

,则有位移互等定理

F1

作用点沿F1方向,因作用F3而引起的位移,等于F3

作用点沿

F3方向,因作用F1

而引起的位移。三.注意:1.力和位移都应理解为广义的。2.这里是指结构不可能发生刚性位移的情况下,

只是由变形引起的位移。213设弹性结构在支座的约束下无任何刚体位移。作用有外力：F1，F2，，Fi

，各力作用点的相应的位移为：1，

2，，

i，§13-5卡氏定理F1F2F3结构的变形能再使Fi

有一个增量

Fi

.引起所有力的作用点沿力方向的位移增量为213F1F2F3在作用

Fi

的过程中,Fi作的功为原有的所有力完成的功为(常力作功)结构应变能的增量为(变力作功)如果把原来的力看作第一组力,而把Fi

看作第二组力,根椐互等定理略去高阶微量或者当

Fi

趋于零时,上式为卡氏第二定理（卡氏定理）注意:

Fi

为广义力

,i

为相应的位移一个力一个力偶一对力一对力偶一个线位移一个角位移相对线位移相对角位移

卡式定理：把变形能看成外力的函数时,变形能对某个外力的一阶偏导数等于这个外力作用点沿力作用方向的位移。卡氏第二定理的应用1.轴向拉,压2.扭转3.弯曲4.平面桁架5.组合变形例题:

外伸梁受力如图所示。已知:弹性模量EI,梁材料为线弹性体。求:；梁

C截面的挠度和

A

截面的转角。FABCMelaAB：BC：RAx1x2解：求支反力,列弯距方程.ABClaFMe分段选坐标:x1,x2（）例题15

刚架结构如图所示.弹性模量

EI

已知。

材料为线弹性.不考虑轴力和剪力的影响，

计算

C截面的转角和

D截面的水平位移.解:

在C截面虚设一力偶

Mc,

在D截面虚设一水平力

F.

由平衡条件:；ABCDaa2aMeFRDFRAxFRAyMcFCD:

选坐标,列方程CB:

选坐标,列方程AB:

选坐标,列方程xxxABCDaa2aMeFRDFRAxFRAyMcF（）ABCDaa2aMeFRDFRAxFRAyMcFxxx例题16

圆截面直角折杆

ABC,位于水平平面内,已知：杆截面直径

d及材料的弹性常数

E,G

。

求：C

截面处的铅垂位移。不计剪力的影响。ABCllqBC：弯曲变形QMBxFABlxxAB：弯曲与扭转的组合变形（扭转变形）（弯曲变形）ABCllqB点例题:图示刚架各段的抗弯刚度均为EI

.

不计轴力和剪力的影响.

求:用卡氏第二定理求截面

D

的水平位移

D

和转角

D

。MexFFABCDll2l解：在D

点虚设一力偶矩

Me。CD：弯曲变形但是轴力不计，因此横截面上的内力只计弯矩.F2FlMeF1ABC将力F

向C简化得：力F（产生拉伸变形）力偶矩

2Fl（产生弯曲变形）Me（产生弯曲变形）AC

产生拉伸与弯曲的组合变形.

横截面上的内力有轴力和弯矩.将

Me

向C简化得：MexF1FABCDll2lxBC段：BA段：F1FABCDll2lxF2FlxMeMeC例22拐杆如图，A处为一轴承，允许杆在轴承内自由转动，但不能上下移动，已知：E=210Gpa，G=0.4E，求B点的垂直位移.5A300B500=1F01020

解：①画单位载荷图C5A300B500=60kNF11020

x1x1xx③变形②求内力质点和质点系的虚位移原理：质点和质点系处于平衡状态的充要条件是，作用在其上的力对于虚位移所作的总功为零.

§13-7虚功原理一、虚功原理作用在杆件上的力分为外力和内力外力：荷载和支座反力内力：截面上各部分间的相互作用力对于处于平衡状态的杆件，其外力和内力对任意给定的虚位移所作的总虚功等于零.外力虚功内力虚功杆件的约束条件：支座约束条件各单元体变形的几何相容条件杆件在荷载作用下所发生的位移都满足上述两类约束条件，且为微小量，即符合虚位移的基本要求.所以，可以把杆件由荷载作用产生的微小实位移当作虚位移.梁上荷载：F1，F2，

F3，F4，RA，RB给梁任一虚位移，荷载作用点沿其作用方向的相应虚位移（支座处没有虚位移）为1，2，3，4(一)梁的外力虚功1234AlBF4F1F2F3RARB外力虚功为(二)梁的内力虚功弯矩虚功dx（受拉）MM+dMF4F1F2F3RAAlRBBdxQMQ+dQM+dMdxdxdxQMQ+dQM+dM剪力虚功F4F1F2F3RAAlRBBdx(1)该微段的外力虚功M，Q应看作该微段的外力该微段的外力虚功为（略去二阶小量）(2)该微段的内力虚功dWi由该微段的虚位移原理(3)梁的内力虚功梁的虚位移原理为若横截面上不仅有弯矩

M

和剪力Q，还有轴力FN

和扭矩Mn，则杆的虚位移原理为i

为Fi

力作用点沿Fi方向的相应虚位移，d，d，d，d

分别为与弯矩M

，剪力Q，轴力FN

和扭矩Mn相对应虚位移；虚位移原理既不限定于线性问题，也不限定于弹性问题.第十三章结束ωx