正弦定理与余弦定理的应用

能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题.考情分析利用正、余弦定理解决与测量、几何计算有关的实际问题是高考的一种重要考向。考察以选择题、填空题、大题的形式出现，属简单题或中档题。2014年四川，上海，江苏卷等考到此考点。海南卷只是在07年和09年两次以大题的形式考到此考点。上方

下方

顺时针

(2009·辽宁高考)如图所示，A、B、C、D都在同一个与水平面垂直的平面内，B、D为两岛上的两座灯塔的塔顶.测量船于水面A处测得B点和D点的仰角分别为75°,30°，于水面C处测得B点和D点的仰角均为60°，AC＝0.1km.试探究图中B，D间距离与另外哪两点间距离相等，然后求B、D的距离(计算结果精确到0.01km，≈1.414，≈2.449).考点测量距离问题【举一例】[思路点拨][课堂笔记]在△ACD中，∠DAC＝30°，∠ADC＝60°－∠DAC＝30°，所以CD＝AC＝0.1.又∠BCD＝180－60°－60°＝60°，故CB是△CAD底边AD的中垂线，所以BD＝BA.在△ABC中，即AB＝因此，BD＝≈0.33km.故B、D的距离约为0.33km.【悟一法

】

2.步骤中的核心部分：作图分析确定所求目标所在的三角形，寻找解这个三角形可解的条件，利用已知条件和利用正、余弦定理等（在另外的三角形中）求解目标三角形的边和角，最后解目标三角形，得答案。若已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可直接考虑用正弦定理或余弦定理求解。3.正、余弦定理和三角公式、三角函数是一个整体，要打好“配合战”。【悟一法

】【通一类

】【通一类

】(2009·宁夏、海南高考)(12分)为了测量两山顶M、N间的距离，飞机沿水平方向在A、B两点进行测量.A、B、M、N在同一个铅垂平面内(如示意图).飞机能够测量的数据有俯角和A、B间的距离.设计一个方案，包括：①指出需要测量的数据(用字母表示，并在图中标出)；②用文字和公式写出计算M、N间的距离的步骤.【高考动向

】【解】方案一：①需要测量的数据有：A点到M、N点的俯角α1、β1；B点到M、N的俯角α2、β2；A、B间的距离d(如图所示).┄┄┄┄┄┄┄┄(6分)②第一步：计算AM.由正弦定理AM＝┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄(8分)第二步：计算AN.由正弦定理AN＝；(10分)第三步：计算MN.由余弦定理MN＝┄(12分)方案二：①需要测量的数据有：A点到M、N点的俯角α1、β1；B点到M、N点的俯角α2、β2；A、B的距离d(如图所示).┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄(6分)②第一步：计算BM.由正弦定理BM＝；(8分)第二步：计算BN.由正弦定理BN＝；(10分)第三步，计算MN.由余弦定理MN＝┄(12分)此考点常规考法为：依据实际问题背景，直接给出测量数据，通过考生作图分析，然后选用恰当的公式直接计算.09年海南高考打破常规，并没有直接给出测量数据，而是在实际问题中让考生设计解决问题的方案，并计算出答案。考察考生空间想象能力、逻辑思维能力、运算能力以及运用所掌握的数学知识和方法分析问题以及解决问题的能力。可以说是一道真正意义上的应用题。【动向分析

】1.如图所示，为了测量某障碍物两侧A、B间的距离，给定下列四组数据，不能确定A、B间距离的是(

)A.α，a，b

B.α，β，aC.a，b，γ

D.α，β，b.1.解析：选项B中由正弦定理可求b，再由余弦定理可确定AB.选项C中可由余弦定理确定AB.选项D同B类似.答案：A2.某人向正东方向走xkm后，向右转150°，然后朝新方向走3km，结果他离出发点恰好是km，那么x的值为(

)A.B.2C.或2

D.32.解析：如图所示，设此人从A出发，则AB＝x，BC＝3，AC＝，∠ABC＝30°，由正弦定理，得∠CAB＝60°或120°，当∠CAB＝60°时，∠ACB＝90°，AB＝2；当∠CAB＝120°时，∠ACB＝30°，AB＝.答案：C3.一船向正北航行，看见正西方向有相距10海里的两个灯

塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一

灯塔在船的南偏西60°，另一灯塔在船的南偏西75°，则这只船的速度是每小时(

)

A.5海里B.5海里C.10海里D.10海里3.解析：如图，依题意有∠BAC＝60°，∠BAD＝75°，所以∠CAD＝∠CDA＝15°，从而CD＝CA＝10，在直角三角形ABC中，可得AB＝5，于是这只船的速度是＝10(海里/小时).答案：C课堂小结课堂小结课堂小结课时分层作业[自主体验]（备用）2009年11月13日，中国第四批护航编队“马鞍山”舰、“温州”舰顺利抵达亚丁湾海域执行护航任务，在一次护航过程位于C处的“马鞍山”舰接到位于其东偏南15°方向，相距2海里的A处某商船求救信号，称在其东偏北45°方向，相距(－1)海里的B处，一艘同行商船被海盗劫持，并向北偏东30°方向，以10海里每小时速度逃窜，“马鞍山”舰最快速度为10海里/小时，请你设计一套“马鞍山”舰追击海盗船只的方案，使“马鞍山”舰能最快截获海盗船，包括：①“马鞍山”舰航行的速度及方向；②追上海盗船所用时间.解：如图，设“马鞍山”舰以10海里/小时速度追击，t小时后在D处截获海盗船.则CD＝10t海里，BD＝10t海里，在△ABC中，由余弦定理得BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcosA＝(－1)＋22－2(－1)·2·cos120°＝6，∴BC＝海里.又∵∴sin∠ABC＝∴∠ABC＝45°，∴B点在C点的正东方向上，∴∠CBD＝90°＋30°＝120°.在△BCD中，由正弦定理，得∴sin∠BCD＝∴∠BCD＝30°，∴“