平面基本力系

第二章

基本力系§2–1力系的基本类型§2–2共点力系合成与平衡的几何法§2–3力的投影.力沿坐标轴的分解§2–4共点力系合成与平衡的解析法§2–5两个平行力的合成§2–7力偶系的合成与平衡第二章基本力系§2–6力偶及其性质共点力系力偶系§2–1力系的基本类型共点力系——各力均作用于同一点的力系。力偶——作用线平行、指向相反而大小相等的两个力。力偶系——若干个力偶组成的力系。平面力系——各力的作用线都在同一平面内的力系。否则为空间力系。§2–2共点力系合成与平衡的几何法1、合成的几何法：AF2F1F4F3表达式：RF1BF2CF3DF4EAF1、F2、F3、F4为平面共点力系：把各力矢首尾相接，形成一条有向折线段（称为力链）。加上一封闭边，就得到一个多边形，称为力多边形。2、力的多边形规则：§2–2共点力系合成与平衡的几何法RF1BF2CF3DF4EA空间共点力系和平面情形类似，在理论上也可以用力多边形来合成。但空间力系的力多边形为空间图形。给实际作图带来困难。§2–2共点力系合成与平衡的几何法RF1BF2CF3DF4EA1、共点力系的合成结果

该力系的力多边形自行闭合，即力系中各力的矢量和等于零。共点力系可以合成为一个力，合力作用在力系的公共作用点，它等于这些力的矢量和，并可由这力系的力多边形的封闭边表示。矢量的表达式：R=F1+F2+F3+···+Fn2、共点力系平衡的充要几何条件：§2–2共点力系合成与平衡的几何法A60ºPB30ºaaC(a)NB(b)BNADAC60º30ºPEPNBNA60º30ºHK(c)解：(1)取梁AB作为研究对象。(4)解出：NA=Pcos30=17.3kN，NB=Psin30=10kN(2)画出受力图。(3)应用平衡条件画出P、NA和NB的闭合力三角形。例题2-1水平梁AB中点C作用着力P，其大小等于20kN，方向与梁的轴线成60º角，支承情况如图(a)所示，试求固定铰链支座A和活动铰链支座B的反力。梁的自重不计。

§2–2共点力系合成与平衡的几何法OPASBBNDD(b)JNDKSBPI(c)解：(1)取制动蹬ABD作为研究对象。(2)画出受力图。P246ACBOED(a)(3)应用平衡条件画出P、SB和ND的闭和力三角形。例题2-2图示是汽车制动机构的一部分。司机踩到制动蹬上的力P=212N，方向与水平面成=45角。当平衡时，BC水平，AD铅直，试求拉杆所受的力。已知EA=24cm，DE=6cm点E在铅直线DA上，又B、C、D都是光滑铰链，机构的自重不计。§2–2共点力系合成与平衡的几何法（5）代入数据求得：

SB=750N。（4）由几何关系得：由力三角形可得：§2–2共点力系合成与平衡的几何法OPASBBNDD(b)JNDKSBPI(c)P246ACBOED(a)反之，当投影Fx、Fy

已知时，则可求出力

F

的大小和方向：§2–3力的投影.力沿坐标轴的分解一、力在坐标轴上的投影：结论：力在某轴上的投影，等于力的模乘以力与该轴正向间夹角的余弦。yb´a´abFOxBFxFy

在空间情况下，力F在x轴上投影，与平面情形相似，等于这个力的模乘以这个力与x轴正向间夹角α的余弦。αxxabABF§2–3力的投影.力沿坐标轴的分解§2–3力的投影.力沿坐标轴的分解由力矢F的始端A和末端B向投影平面oxy引垂线，由垂足A′到B′所构成的矢量A′

B′，就是力在平面Oxy上的投影记为Fxy。即：注意：力在轴上投影是代数值。力在平面上的投影是矢量。§2–3力的投影.力沿坐标轴的分解二、力在平面上的投影：xyOA′B′ABFFxy§2–3力的投影.力沿坐标轴的分解二、力在平面上的投影：§2–3力的投影.力沿坐标轴的分解三、力在坐标轴上的分解：引入x、y、z轴单位矢i、j、k。则可写为：

设将力F按坐标轴x、y、z方向分解为空间三正交分量：Fx、Fy、Fz。则AF2F1(a)F3F1F2RF3xABCD(b)合力在任一轴上的投影，等于它的各分力在同一轴上的投影的代数和。证明：以三个力组成的共点力系为例。设有三个共点力F1、F2、F3如图。合力投影定理：§2–4共点力系合成与平衡的解析法合力R在x轴上投影：F1F2RF3xABCD(b)推广到任意多个力F1、F2、Fn

组成的平面共点力系，可得：abcd各力在x轴上投影：§2–4共点力系合成与平衡的解析法合力的大小合力R的方向余弦根据合力投影定理得§2–4共点力系合成与平衡的解析法共点力系平衡的充要解析条件：

力系中所有各力在各个坐标轴中每一轴上的投影的代数和分别等于零。空间共点力系的平衡方程:§2–4共点力系合成与平衡的解析法平面共点力系的平衡方程:§2–4共点力系合成与平衡的解析法解：(1)取制动蹬ABD作为研究对象。例题2-3图所示是汽车制动机构的一部分。司机踩到制动蹬上的力P=212N，方向与水平面成=45角。当平衡时，BC水平，AD铅直，试求拉杆所受的力。已知EA=24cm，DE=6cm点E在铅直线DA上，又B、C、D都是光滑铰链，机构的自重不计。OPASBBNDD(b)P246ACBOED(a)(3)列出平衡方程：联立求解，得O45°PFBFDD(b)xy又§2–4共点力系合成与平衡的解析法30°BPAC30°a解：1.取滑轮B轴销作为研究对象。2.画出受力图（b)。SBCQSABPxy30°30°bB例题2-4利用铰车绕过定滑轮B的绳子吊起一重P=20kN的货物，滑轮由两端铰链的水平刚杆AB和斜刚杆BC支持于点B(图(a))。不计铰车的自重，试求杆AB和BC所受的力。§2–4共点力系合成与平衡的解析法3.列出平衡方程：4.联立求解，得反力SAB为负值，说明该力实际指向与图上假定指向相反。即杆AB实际上受拉力。§2–4共点力系合成与平衡的解析法SBCQSABPxy30°30°bB例题2-5如图所示，用起重机吊起重物。起重杆的A端用球铰链固定在地面上，而B端则用绳CB和DB拉住，两绳分别系在墙上的C点和D点，连线CD平行于x轴。已知CE=EB=DE,角α=30o，CDB平面与水平面间的夹角∠EBF=30o,重物G=10kN。如不计起重杆的重量,试求起重杆所受的力和绳子的拉力。§2–4共点力系合成与平衡的解析法1.取杆AB与重物为研究对象，受力分析如图。解：xzy30oαABDGCEFF1F2FAzy30oαABGEFF1FA其侧视图为§2–4共点力系合成与平衡的解析法3.联立求解。2.列平衡方程。zy30oαABGEFF1FA§2–4共点力系合成与平衡的解析法xzy30oαABDGCEF投影法的符号法则：当由平衡方程求得某一未知力的值为负时，表示原先假定的该力指向和实际指向相反。解析法求解共点力系平衡问题的一般步骤:1.选分离体，画受力图。分离体选取应最好含题设的已知条件。2.建立坐标系。3.将各力向各个坐标轴投影，并应用平衡方程∑Fx=0，∑Fy=0，∑Fz=0，求解。§2–4共点力系合成与平衡的解析法§2–5两个平行力的合成一、两同向平行力的合成1.大小

平行力的定义：平行力是指力作用线相平行的力T1T2F2´F1´F1´F2´2.作用线的位置：(内分反比关系)F2F1R1.大小F1F2ABRF1'C二、两大小不等反向平行力的合成RF1'F1F2CAB2.作用线位置：

（外分反比关系）§2–5两个平行力的合成两同向平行力的合成定理：两同向平行力的合成结果是一个力，这个力的大小等于原两力大小之和，作用线与原两力平行，并内分原两力的作用点为两段，使这两段的长度与原两力的大小成反比，合力的指向与原两力相同。§2–5两个平行力的合成

大小不同的两个反向平行力的合成结果是一个力，这合力的大小等于原两力大小之差，作用线与原两力平行，且在原两力中较大一个的外侧，并且外分原两力的作用点为两段，使这两段的长度与原两力的大小成反比。合力的指向与较大的外力相同。两反向平行力的合成定理：§2–5两个平行力的合成上述两种情况下，合力作用线通过AB连线上的C点，称为两平行力的中心。§2–5两个平行力的合成RF1'F1F2CABT1T2F2´F1´F1´F2´F2F1R§2–6力偶及其性质F1F2d一、力偶和力偶矩1、力偶——大小相等的二反向平行力。⑴、作用效果：引起物体的转动。⑵、力和力偶是静力学的二基本要素。力偶特性二：力偶只能用力偶来代替（即只能和另一力偶等效），因而也只能与力偶平衡。力偶特性一：力偶中的二个力，既不平衡，也不可能合成为一个力。工程实例§2–6力偶及其性质2、力偶臂——力偶中两个力的作用线之间的距离。3、力偶矩——力偶中任何一个力的大小与力偶臂d的乘积，加上适当的正负号。F1F2d力偶矩正负规定：若力偶有使物体逆时针旋转的趋势，力偶矩取正号；反之，取负号。量纲：力×长度，牛顿•米（N•m）.§2–6力偶及其性质二、力偶的等效条件1.同一平面上力偶的等效条件§2–6力偶及其性质FdFd因此，以后可用力偶的转向箭头来代替力偶。=作用在刚体内同一平面上的两个力偶相互等效的充要条件是二者的力偶矩代数值相等。

空间力偶作用面的平移并不改变对刚体的效应。§2–6力偶及其性质2.平行平面内力偶的等效条件§2–6力偶及其性质1、概念：

用来表示力偶矩的大小、转向、作用面的有向线段。2、力偶的三要素：(1)、力偶矩的大小。(2)、力偶的转向。(3)、力偶作用面的方位。3、符号：l§2–6力偶及其性质三、力偶矩矢FFl右手规则4、力偶矩矢与力矢的区别力偶矩矢是自由矢量，而力矢是滑动矢量。l指向人为规定，力矢指向由本身所决定。5、力偶等效定理又可陈述为:力偶矩矢相等的两个力偶是等效力偶。§2–6力偶及其性质§2–6力偶及其性质空间力偶系可合成为一力偶。合力偶的矩矢等于各分力偶矩的矢量和。一、力偶系的合成§2-7力偶系的合成与平衡合力矩等于零，即力偶系中各力偶矩矢的矢量和等于零。二、空间力偶系平衡的充要条件平衡方程的投影形式§2-7力偶系的合成与平衡例题2-6图示的铰接四连杆机构OABD，在杆OA和BD上分别作用着矩为

l1和l2的力偶，而使机构在图示位置处于平衡。已知OA=r，DB=2r，α=30°，不计杆重，试求l1和l2间的关系。