7第七章拉普拉斯变换

复变函数

与积分变换

大学数学多媒体课件2第七章拉普拉斯变换

上一章介绍的傅立叶变换在许多领域中发挥了重要的作用，特别是在信号处理领域，直到今天它仍然是最基本的分析和处理工具，甚至可以说信号分析本质上即是傅氏分析（谱分析）．但是任何东西都有它的局限性，傅氏变换也是如此．因而人们针对傅氏变换一些不足进行了各种各样的改进．这些改进大体分为两个方面，其一是提高它对问题的刻画能力,如窗口傅氏变换、小波变换等；其二是扩大它本身的适用范围．本章介绍的是后面这种情况．

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第七章拉普拉斯变换7.1拉普拉斯变换的概念

7.2拉氏变换的性质7.3拉普拉斯逆变换7.4拉氏变换的应用及综合举例4第一节拉普拉斯变换的概念

1．拉普拉斯变换的定义

像原函数像函数5例1．解：1/s的拉氏逆变换为哪个？？？在半平面Re(s)>c上一定存在,并且在Re(s)>c的半平面内,F(s)为解析函数.其中常数c称为增长指数.Laplace变换的存在定理1)在t0的任一有限区间上分段连续;2)当t时,f(t)的增长速度不超过某一指数函数,即存在常数M>0及c0,使得则f(t)的Laplace变换若函数f(t)满足:定理2)大部分工程技术中常用函数的Laplace变换都存在(常义下);例如,由于注记：1）存在定理的条件是充分但非必要条件,证明略.此处此处此处MMectf(t)tO故虽然的Fourier变换不存在,而它们的Laplace变换都存在.8例2．解：由上式可得：9第二节拉氏变换的性质1．线性性质一、线性与相似性质

类似傅里叶变换10例1．解：ω的偶函数ω的奇函数11例2．解：2．相似性质类似于12二、微分性质

1．导数的象函数推广：根据此性质使得我们有可能将函数的微分方程转化为的代数方程，因此它在线性系统分析中有重要的应用．13例3．解：利用线性性质及微分性质，有:代入初值:根据前面结果，可以得到：对方程两边取拉氏变换，有:利用线性性质，有:解得:142．象函数的导数一般地有例4．解：同理例5．15三、积分性质

1．积分的象函数推广：２．象函数的积分推广：类似于16例5．解：则令，有17四、延迟与位移性质

1．位移性质若则有证明：这个性质表明：象原函数乘以指数函数其象函数做位移的拉氏变换等于18例6．设求解：令则据积分性质得：所以192．延迟性质若或证明：由定义20例7．求函数的拉氏变换．解：已知由延迟性知例8．求函数的拉氏变换．解：因为所以21五、周期函数的拉氏变换

设逐段光滑，则证明：由定义有22几个常用函数的拉氏变换23六、卷积与卷积定理

1．卷积的概念前面讨论两函数傅氏卷积为则记作：24例1．解：2．卷积的性质253．卷积定理或证明：变换积分变量顺序26推论：则这性质说明：函数卷积的拉氏变换等于其象函数的乘积．例2．求下列卷积的拉氏变换解：27第三节拉普拉斯逆变换一、反演积分公式

构成一对互逆的积分变换公式，拉氏变换对．28二、利用留数计算反演积分

定理2：

即：计算复变函数积分通常比较困难，可以利用留数来计算这个反演积分．RO实轴虚轴CRb+jRb-jR奇点b解析L29例1．解：法一利用部分分式求解解：法二利用卷积求解30根据卷积定理有：解：法三利用留数求解及留数计算法则有：31第四节拉普拉斯变换的应用及综合题

对于一个系统，无论是机械的，电的，要想真正了解、分析与研究，就应该对该系统建立描述系统数量特性的数学模型----系统的微分方程，尤其在一些线性电路上，因为这一类线性电路是满足叠加定原理的系统，它们在自动控制中占有很重要的地位，本节着重是对建立的微分方程，通过用拉氏变换的一套方法来解微分方程．

32例1．解：方程两边取拉氏变换，得：由拉氏变换的性质及初始条件得：取逆变换，得：33

用拉氏变换求解微分方程的步骤（1）方程两边同时取拉氏变换，（2）根据这个代数方程，（3）再取拉氏逆变换就得