三角形的中位线知识讲解

三角形中位线定理【学习目标】理解三角形的中位线的概念，掌握三角形的中位线定理．掌握中点四边形的形成规律.【要点梳理】要点一、三角形的中位线1．连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.2．定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半.要点诠释（1）三角形有三条中位线，每一条与第三边都有相应的位置关系与数量关系.（2）三角形的三条中位线把原三角形分成可全等的4个小三角形.因而每个1小三角形的周长为原三角形周长的3,每个小三角形的面积为原三角形1面积的了.4（3）三角形的中位线不同于三角形的中线.要点二、顺次连接任意四边形各边中点得到的四边形的形状顺次连接任意四边形各边中点得到的四边形是平行四边形.【典型例题】类型一、三角形的中位线1、如图，已知P、R分别是长方形ABCD的边BC、CD上的点，E、F分别是PA、PR的中点，点P在BC上从B向C移动，点R不动，那么下列结论成立的是（）A.线段EF的长逐渐增大 B.线段EF的长逐渐变小C.线段EF的长不变 D.无法确定【答案】C;【解析】连AR,由E、F分别为PA,PR的中点知EF为4PAR的中位线，则EF1AR，而AR长不变，故EF大小不变.【总结升华】当条件中含有中点的时候,要将它与中位线联系起来,进行联想,必要时添加辅助线,构造中位线图形．举一反三：【变式】（2015秋•青岛校级月考）在4ABC中，中线BE、CF交于点O,M、N分别是BO、CO中点，则四边形MNEF是什么特殊四边形？并说明理由.【答案】5；解：四边形MNEF是平行四边形.理由如下：•「BE、CF是中线，，E、F分别是AC、AB的中点，.•.EF是^ABC的中位线，.•・EF〃BC且EF=-^BC,「M、N分别是BO、CO中点，.•・MN是4OBC的中位线，.•・MN〃BC且MN=-^BC,..EF#MN<EF=MN,・•・四边形MNEF是平行四边形.2、如图，4ABC中，D、E分别是BC、AC的中点，BF平分NABC,交DE于点F,若BC=6,则DF的长是（ ）A.2 B.3 C.5 D.42【思路点拨】利用中位线定理，得到DE〃AB,根据平行线的性质，可得NEDC=NABC,再利用角平分线的性质和三角形内角外角的关系，得到DF=DB,进而求出DF的长.【答案解析】解：在4ABC中，D、E分别是BC、AC的中点.•・DE〃AB.\ZEDC=ZABC「BF平分NABC.\ZEDC=2ZFBD在△BDF中，NEDC=NFBD+NBFD.\ZDBF=ZDFB1.•・FD=BD=-BC=-X6=3.22

【总结升华】三角形的中位线平行于第三边，当出现角平分线，平行线时，一般可构造等腰三角形，进而利用等腰三角形的性质解题.3、如图所示，在4ABC中，M为BC的中点，AD为NBAC的平分线，BDXAD于D,AB=12,AC=18,求MD的长.【思路点拨】本题中所求线段MD与已知线段AB、AC之间没有什么联系，但由M为BC的中点联想到中位线，另有AD为角平分线和垂线，根据等腰三角形“三线合一”构造等腰三角形ABN,D为BN的中点，DM即为中位线，不难求出MD的长度.【答案与解析】解：延长BD交AC于点N.「AD为NBAC的角平分线，且ADXBN,.•・ZBAD=ZNAD,ZADB=ZADN=90°,在^ABD和AAND中，'/BAD=/NADAD=AD/ADB=/ADN•・△ABD^^AND(ASA)AN=AB=12,BD=DN．・「AC=18,.NC=AC—AN=18—12=6,.D、M分别为BN、BC的中点，11.DM=-CN=-x6=3.22【总结升华】当条件中含有中点的时候,可以将它与等腰三角形的“三线合一”、三角形的中线、中位线等联系起来,进行联想,必要时添加辅助线,构造中位线等图形.举一反三：【变式】(2015春•泗洪县校级期中)如图，BE,CF是4ABC的角平分线，ANLBE于N,AMXCF于M,求证：MN〃BC.【答案】证明：延长AN、AM分别交BC于点D、G.•「BE为NABC的角平分线，BELAG,•./BAG;NBGA,••△ABG为等腰三角形，二BN也为等腰三角形的中线，即AN=GN.同理AM二DM,MN为4ADG的中位线，•MN〃•MN〃BC.E、F分别是BC、AD的中点，连接EF4、(鞍山一模)(1)如图1,在四边形ABCD中，并延长，分别与BA、CD的延长线交于点M、N,则/BME:/CNE,求证：AB=CD.(提示取BDE、F分别是BC、AD的中点，连接EF(2)如图2,在4ABC中，且O是BC边的中点，D是AC边上一点，E是AD的中点，直线OE交BA的延长线于点G,若AB=DC=5,/OEC=60°,求OE的长度.【思路点拨】(【思路点拨】(1)连结BD,取DB的中点H,连结EH、FH,证明出EH〃AB,EH=^AB,FH〃CD,FH=^CD,证出HE=HF，进而证出AB二CD；(2)连结BD,取DB的中点H,连结EH、OH,证明出EH=OH,可证明证出^OEH是等边三角形，进而求出OE=^.【答案与解析】(1)证明：连结BD,取DB的中点H,连结EH、FH.「E、F分别是BC、AD的中点，EH〃AB,EH=^AB,FH〃CD,FH=^CD,「/BME=/CNE,•HE=HF,•AB=CD；

(2)解：连结BD,取DB的中点H,连结EH、OH,VAB=CD,AHO=HE,.\ZHOE=ZHEO,VZOEC=60°,.\ZHEO=ZAGO=60°,...△OEH是等边三角形，VAB=DC=5,AOE=1.【总结升华】本题考查了三角形的中位线定理、全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是参考题目给出的思路，作出辅助线，有一定难度.【总结升华】本题考查了三角形的中位线定理、全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是参考题目给出的思路，作出辅助线，有一定难度.举一反三：【变式】如图，AB〃CD,E,F分别为AC,BD的中点A.4B.3C.2D.1若AB=5,CD=3,则EF的长是（ ）【答案】D；解：连接DE并延长交AB于H,•「CD〃AB,AZC=ZA,ZCDE=ZAHE,•「E是AC中点，.AE二CE,.,.△DCESHAE,.DE=HE,DC=AH,•「F是BD中点，.•.EF是^OHB的中位线，・，.EF=1BH,2.•・BH:AB-AH=AB-DC=2,••.EF=1.类型二、中点四边形往5、(2016春•高邮市校级期末)如图，点O是4ABC外一点，连接OB、OC,线段AB、OB、OC、AC的中点分别为D、E、F、G，连接DE、EF、FG、GD.(1)判断四边形DEFG的形状，并说明理由；(2)若M为EF的中点，OM=2,NOBC和NOCB互余，求线段DG的长.0【答案与解析】解：(1)四边形DEFG是平行四边形，理由是：•・•线段AB、OB、OC、AC的中点分别为D、E、F、G,・，.EF〃BC,EF寺C,DG=yBC,DG〃BC,.•.EF〃DG,EF=DG,・•・四