三角恒等变换高考真题

一、选择题【必修四】第三章．（2012年高考（重庆文））sin47—sin17cos30cos17三角恒等变换（）、<3

A.-T1B.--21C.2D.123456．7．8．9.（2012年高考（重庆理））设tana,tanP是方程x2—3x+2=0的两个根，则tan（a+B）的值为（）-3-1C.1D.3（2012年高考（陕西文））设向量a-3-1C.1D.3（2012年高考（陕西文））设向量a=（1.cos^）与b=（-1,2cos0）垂直，则cos20等于C.0D.-1（2012年高考（辽宁文））已知sina-cosa=<2,a(0,n)，贝Usin2a=A.-1<2B.——2D.1（2012年高考（辽宁理（2012年高考（辽宁理））已知sina-cosa=<2,a(0,n),则tana-1<2B. 2D.-1<2B. 2D.sina+cosa 1（2012年高考（江西文））若二 sina-cosa3A--434二万，则tan2a4-3D.=4,则sin20=（2012年高考（江西理））若tan=4,则sin20=D.D.C.33（2012年高考（大纲文））已知a为第二象限角，sina=-，则sin2a=24A--2524A--2512-2512252425.（2012年高考（山东理））若0G3J7,sin20= 则sin0=83A.5()A．[-2,2]B()A．[-2,2]B.[-33,33]C.[-1,1]D．[-兀(2012年高考(湖南理))函数f(x)=sinx-cos(x+—)的值域为6(2012年高考(大纲理))已知a为第二象限角，sina+cosa==，则cos2a= ( )二、填空题1．(2012年高考(大纲文))当函数y=sin%-3ccos%(0<%<2兀)取最大值时，%=1．2．(2012年高考(江苏))设a为锐角，若(兀)cosa+-I6J4 冗2．(2012年高考(江苏))设a为锐角，若(兀)cosa+-I6J4 冗 =-，则sin(2a+—)的值为J JL乙3．(2012年高考(大纲理))当函数y=sin%—%''3cos%(0<%<2兀)取得最大值时，％=三、解答题1．% % %1(2012年高考(四川文))已知函数f(%)=cos2--sin-cos---(i)求函数f(%)的最小正周期和值域;3<2(II)若f(a)=~0^~,求sin2a的值.2．(2012年高考(湖南文))已知函数f(%)=Asin(3%+①)(%eR,3>0,0<3<：的部分图像如图5所示.(I)求函数f(x)的解析式；(II)求函数g(%)=f(%-2)-f(%+\)的单调递增区间.JL乙 JL乙3．(2012年高考(湖北文))设函数f(%)=sin23%+2V3sin3%cos3%-cos23%十九(％eR)的图像关于直线%=冗对称，其中3,人为常数，且3e(1,1)(1)求函数f(%)的最小正周期；(2)若y=f(%)的图像经过点(亍,0)，求函数f(%)的值域.⑴sin213°+cos17°-sin13°cos17°(2)sin215°+cos15°-sin15°cos15°⑶sin218°+cos12°-sin18°cos12°(4)sin2(-18°)+cos48°-sin(-18°)cos48°(5)sin2(-25°)+cos55°-sin(-25°)cos55°I试从上述五个式子中选择一个,求出这个常数II根据(I)的计算结果,将该同学的发现推广为三角恒等式,并证明你的结论.(sinx-cosx)sin2xTOC\o"1-5"\h\z5.(2012年高考(北京文))已知函数f(x)= : .sinx(1)求f(x)的定义域及最小正周期；(2)求f(x)的单调递减区间.兀 兀6.(2012年高考(天津理))已知函数f(x)=sm(2x+—)+sin(2x--3)+2cos2x-1,xeR.6.(I)求函数f(x)的最小正周期；兀兀r.一, 一(I)求函数f(x)在区间［-7,-］上的最大值和最小值.44(2012年高考(重庆理))(本小题满分13分(I)小问8分(II)小问5分)设f(x)=4cos(3x—£)sin3x-cos(23x+兀),其中3>0.(I)求函数y=f(x)的值域「3兀兀一(I)若f(x)在区间-7,-上为增函数，求3的最大值.(2012年高考四川理))函数f(x)=6cos2手+0cos3x-3(3>0)在一个周期内的图象如图所示，A为图象的最高点，B、C为图象与x轴的交点,且AABC为正三角(I)求3的值及函数f(x)的值域；- 8点 102(I)若f(x0)=--,且x0£(-,-),求f(x0+D的值.J JJA(2012年高考(山东理))已知向量m=(sinx,1),n=(<3Acosx,—cos2x)(A>0),函数f(x)=m•n的最大值为6.(I)求A;“、兀 1(I)将函数y=f(x)的图象向左平移个单位,再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的万倍,5兀一纵坐标不变,得到函数y=g(x)的图象.求g(x)在［0,司上的值域.(2012年高考(湖北理))已知向量a=(cos3x-sin3x,sin3x),b=(-cos3x-sin3x,2<3cos3x),设函数f(x)=a•b+X(x£R)的图象关于直线x=兀对称,其中3,入为常数，且3£J,1).2(I)求函数f(x)的最小正周期；(I)若y=f(x)的图象经过点(-,0),求函数f(x)在区间［0,史］上的取值范围.4 5(其中3〉0x£R)的最小正周期(2012年高考(广东理))(其中3〉0x£R)的最小正周期为10兀.(I)求①的值;「兀】 「 5「兀】 「 5、(H)设a、Pe0,—,f5a+-兀_2」I 3)f,f5P =」,求cos(a+0)的值.5I6)17(2012年高考(福建理))某同学在一次研究性学习中发现,以下五个式子的值都等于同一个常数sin213o+cosl70-sinl3ocosl7°sinz15°+cosl5o-sinl5ocosl50sin218o+cosl2o-sinl8ocosl2°sin2(-18°)+cos48°-sin(-18°)cos48°sin2(-25°)+cos55°-sin(-25°)cos55°I试从上述五个式子中选择一个,求出这个常数II根据(I)的计算结果,将该同学的发现推广三角恒等式,并证明你的结论., ,,”、(sinx-cosx)sin2x(2012年高考(北京理))已知函数/(%)= ： .smx(1)求/(%)的定义域及最小正周期；(2)求/(%)的单调递增区间.(2012年高考(安徽理))设函数/(4)二一厂cos(2x++)+sin2x⑴求函数f(x)的最小正周期；兀 冗 1(II)设函数g(X)对任意xeR,有g(x+-)=g(x),且当xe［0,了］时,g(x)=--f(x),求函数g(x)在［f,0］上的解析式.参考答案参考答案一、选择题1.【答案】：C【解析】：sin47-sin17cos30sin(30+17)-sin17cos30cos17cos17sin30cos17+cos30sin171.【答案】：C【解析】：sin47-sin17cos30sin(30+17)-sin17cos30cos17cos17sin30cos17+cos30sin17-sin17cos30sin30cos17 ° ° ° ° * = 二sin30cos17cos17【考点定位】本题考查三角恒等变化,其关键是利用47=30+172.【答案】A【解析】tana+tanP=3,tanatan0=2ntan（a+0）=tana+tan:=-3—=-31+tanatan01-2【考点定位】此题考查学生灵活运用韦达定理及两角和的正切公式化简求值3.解析：a•b=0,-1+2cos2。=0,cos20=2cos20-1=0,故选c.4.【答案】A5.6.5.6.【解析】 sina-cosa=。2,「.(sina-cosa)2=2,「.sin2a=-1,故选A【点评】本题主要考查三角函数中的倍角公式以及转化思想和运算求解能力属于容易题.【答案】A【解析一】 sina-cosa=%；2,「.<2sin(a-—)=#2,「.sin(a-—)=1TOC\o"1-5"\h\z4 4/八： 3— —.ag(0，—),，a二一，「.tana=-1,故选a4【解析二】sina-cosa=J2,「.(sina-cosa)2=2,「.sin2a=-1,3兀 3兀 y..ag（0,兀）,...2ag（0,2兀）,「.2a二一，二.a二一，「.tana=-1,故选a・. 2 4【点评】本题主要考查三角函数中的和差公式、倍角公式、三角函数的性质以及转化思想和运算求解能力，难度适中.【答案】B【解析】主要考查三角函数的运算，分子分母同时除以cosa可得tana=-3，带入所求式可得结果..D【解析】本题考查三角恒等变形式以及转化与化归的数学思想1sin0cos0 sin20+cos20 1 ， .- 1因为tan0+■二0+何=sin0cos0 二10二4,所以.220=2sin202.答案A【命题意图】本试题主要考查了同角三角函数关系式的运用以及正弦二倍角公式的运用八. 3 ~：—— 4【解析】因为a为第二象限角，故cosa<0,而sina=-,故cosa=-\1-sin2a=--,所以J Jsin2a=2sinacosa=--,故选答案A.2r5

7"U儿9.【解析】因为6£[],万],所以29£[不,兀],cos20<0,所以cos2®9.1 9 3cos20=l-2sin20二一一所以simO=一，sin0二一，选D.10.【答案】B【解析】. 1-Jl-sin220=--，又

810.【答案】B【解析】. 1-Jl-sin220=--，又

8f(x)=sinx-cos(x+—)=sinx--cosx+-sinx=a/3sin(x--),6 2 2 6sin(x--)e[-1,1],/./(x)6值域为[-6,73].【点评】利用三角恒等变换把/（x）化成Asin（cox+（p）的形式,利用sin（cox+（p）£1—1,1],求得了（冷11.的值域.答案A[解析-ma+c°sa邛平方可a是第二象限角，因此sina>0,cosacO,cosa-sinoc)2=-二、填空题

、5a是第二象限角，因此sina>0,cosacO,cosa-sinoc)2=-二、填空题

、5兀L答案避1+sin2a=』nsin2a=

3所以cosa-since/.cos2a=cos2a-sirua=(cosa+sina)(cosa-since)= 法二：单位圆中函数线+估算，因为a是第二象限的角，又sina+cosa=*〉；所以“正弦线”要比“余弦线”长一半多点，如图，故。。52a的“余弦线”应选A.L 兀【解析】由)=sinx-J3cosx=2sin(x—])TC71 5兀 71由0«兀<2兀<^>--<%-—<——可知一2V2sin(x-—)<2Ih兀71当且仅当X-Ih兀71当且仅当X-不二即X二——时取得最小值，X-彳=7时即x=3 2 6 3 2■心小17/-2.【答案】72.50【考点】同角三角函数，倍角三角函数，和角三角函数.5兀~7~取得最大值.6【解析】、ra、/Attrtc 兀 兀7C7T7U2兀*.*a为锐角，即Ovav—, 一van—<—【解析】、ra、/Attrtc 兀 兀7C7T7U2兀*.*a为锐角，即Ovav—, 一van—<—i—=—2 66263/cosa、71H 6J/，•:sina兀、H 6J.・・sin2ah—I3J2sinfa+-l6J(兀)cosa+一I672425・ c兀••cos2aH—I3J725兀 71sin(2〃+)=sin(2a+—~.. … … 71=sin2a+—cos cos2a+—sin—7171713J3J_24a/2_J_V2_17_b-25DT-25DT-50^.5兀3.答案：z6TOC\o"1-5"\h\zL 7C【解析】由y=sinx—13cosx=2sin(x——)八 - 兀 兀5兀 兀、-由0Vx<2兀 <x--<——可知一2V2sin（x-—）<2713k11k 兀兀 5兀当且仅当X-：=丁即元二>时取得最小值，X-丁=彳时即x=L取得最大值•3 2 6 3 2 6三、解答题XxX11.［解析］⑴由已知,f(x)=C0S2^—sin5cos5—5=-(l+cosx)-2TOC\o"1-5"\h\z—cos(x+l)2 4所以f（x）的最小正周期为2兀，值域为一浮咛.v;2 ,7i、372(2)由(1)知，f(a)=〈cos(a+-)=---2 4 1071 3所以cos(a+—=—).45. /兀、 〜兀、所以sm2a=—cos(一+2a)=—cos2(a+—)2 41C/兀、1 1825=1-2cos2(ot+—)=1——25E〜11兀5兀.【解析】（I）由题设图像知，周期丁二2（十一百因为点（合。）在函数图像上,所以Asin（2x誓+（p）=0,即sin（黑+（p）=0.12 12 0

八兀 5兀 5兀 4兀 5兀 兀又0<①〈—，.二—<—+①<—,/从而—十①=兀，即①——.2 6 6 3 6 6♦*又点(0,1)在函数图像上,所以Asin1=1,A=2,故函数f(x)的解析式为f(x)=2sin(2x+).66(II)g(x(II)g(x)=2sin12J一2sin兀=2sin2x-2sin(2x+-3)=2sin2x-2(-2sin2x+-^2-cos2x)=sin2x-*3cos2x=2sin(2x--3),由2k兀-—<2x-—<2k兀+—,得kn--<x<k兀+—,ke乙2 3 2 12 12•二g(x)的单调递增区间是k兀——,k兀+iy,keZ.JL乙 JL乙.【解析】(1)因为一 A 一 ，丁 一 A__ 兀 Af(x)=sin23x-cos23x+2<3sin3xcos3+入=-cos23x+<3sin23x+入=2sin(23x--)+'6由直线x=冗是y=f(x)图像的一条对称轴,可得sin(23x-：)=±16TOC\o"1-5"\h\z一n 兀—一 k 1所以23x--=kn+—(keZ),即3=—+—(keZ)6 2 2 3又3e(：,1),keZ,所以k=1时，3=5，故f(x)的最小正周期是空.2 6 5(2)由y=f(x)的图象过点(，,0)，得f。=0即X=—2sin(—x———)=—2sin—=—2即九=一<2626 4故f(x)=2sin(5x—；)—<2，函数f(x)的值域为[2—<2,2+v12].3 64.13解：(1)选择(2)式计算如下sin215°+cos15°—sin150cos15°=1--sin30°=一24(2)证明：sin2a+cos2(30°-a)-sinacos(30°-a)=sin2a+(cos30°cosa+sin300sina)2-sina(cos30°cosa+sin300sina)

TOC\o"1-5"\h\z二sHa+3cos2a+旦nacosa+La-苴sinacosa/a4 2 4 2 2.-3 〜3=—sin2a+—cos2a=—4 45.【考点定位】本题考查三角函数,三角函数难度较低,此类型题平时的练习中练习得较多,考生应该觉得非常容易入手.解：(1)由sinx中0得x中k冗,(keZ)，故f(x)的定义域为{xeRIx丰k兀,keZ}.,“、 (sin,“、 (sinx-cosx)sin2x因为f(x)= ； sinx=2cosx(sinx-cosx)=sin2x-cos2x-1=%2sin(2x-4)-1,2兀所以f(x)的最小正周期T=—=k兀 3兀(2)函数y=sinx的单调递减区间为[2k兀+-,2k兀+--](keZ).一兀-兀— 3兀. . . 3兀. 7兀.由2k兀+—<2x——<2k兀+—,x中k兀(keZ)得k兀+—<x<k兀+-8—,(keZ)3兀， 7兀、一、所以f(x)的单调递减区间为[k兀+—<x<k兀+--],(keZ)886.【命题意图】本题考查两角和与差的正弦公式、二倍角的余弦公式，三角函数的最小周期，单调性等知识.6., 兀 .兀. 兀 .兀f(x)=sin2xcos—+cos2xsin一+sin2xcos--cos2xsin—+cos2x3 3 3=sin2x+cos2x=<2sin(2x+；)2兀所以，f(x)的最小正周期T=—=k.兀兀 兀兀⑵因为f(x)在区间［--,-］上是增函数，在区间［-,-］上是减函数，又48 84f(--)--1,f(《)=、2f(7)=1,故函数f(x)在区间［-7,—］上的最大值为%；2,最小值为-1.8 4 44【点评】该试题关键在于将已知的函数表达式化为y=Asin(3x+①)的数学模型,再根据此三角模型的图像与性质进行解题即可.7.【考点定位】本题以三角函数的化简求值为主线，三角函数的性质为考查目的的一道综合题，考查学生’3兀、兀—之一TOC\o"1-5"\h\z2 43分析问题解决问题的能力，由正弦函数的单调性结合条件可列| ,从而解得3的取值范围,兀 兀—< I2 43即可得3的最在值.解:⑴fG)=解:⑴fG)=4—cos3x+1sin3x22sin3x+cos23x=2*3sin3xcos3x+2sin23x+cos23x—sin23x3sin2①x+1(kgZ)上为增函数,故因-1<sin23X<1，所以函数y=f(x)的值域为(kgZ)上为增函数,故兀 兀⑵因y=sinx在每个闭区间 2kk——,2kk+—f(x)=x3sin23f(x)=x3sin23x+1(3>0)在每个闭区间詈43，-3"+43(kgZ)上为增函数.2 4343，-3"+43对某个kgZ成立,此时必有k=0,于是，解得3<二，故3的最大值为5.6 68.［解析］(1)由已知可得:8.［解析］(1)由已知可得:f(X)=6cos2+<3cos3X-3(3>0)=3cos①x+\；3sin3x=2<3sin(3x+：)又由于正三角形ABC的高为2-、回,则BC=42兀 兀所以，函数f(x)的周期T=4x2=8，即—=8，得3=^所以,函数f(x)的值域为[-2<3,2a/3](II)因为f(x(II)因为f(x0)=，由(I)有f(x)=2\：3sin(0kx k、—0-+—)4 38<3由xg(-10，由xg(-10，2)

0 33，得匕0+彳)g(—5a)I J 乙乙飞1—(4)2故f(x0+D=2v3sin(7+*如2.口［(Y+如TTOC\o"1-5"\h\z=2<3[sin(^x0+—)cos—+cos(^x0+—)sin—4 3 4 4 3 463二&—2%3(-x—+-x )5 2 5 27V6"T"[点评]本题主要考查三角函数的图像与性质同三角函数的关系、两角和的正(余)弦公式、二倍角公式等基础知识,考查运算能力,考查树形结合、转化等数学思想.L9.解析：(I)f(x)=m-nL9.解析：(I)f(x)=m-n=v3ATOC\o"1-5"\h\zcosxsinx+—cos2x=——Asin2x+—cos2x=Asin2x+—,

2 2 2 \ 6)，兀 兀 兀(II)函数y=f(x)的图象像左平移—个单位得到函数y=6sin[2(x+ )+-]的图象，12 12 6再将所得图象各点的横坐标缩短为原来的1倍,纵坐标不变,得到函数g(x)=6sin(4x+?)乙 J5兀 兀 兀 7兀 一.兀 1当xG[0，——]时，4x+—G[—,]，sin(4x+—)G[—，1],g(x)G[—3,6].24 3 3 6 3 2,、i5兀r故函数g(x)在[0,]上的值域为[-3,6].24另解：由g(x)=6sin(4x+g)可得g，(x)=24cos(4x+g)，令g'(x)=0,TOC\o"1-5"\h\z,兀，兀， 八5兀 九则4x+—=k兀+(kGZ)，而xG[0,万/，则x=ZT,兀 兀 兀 5兀 7兀 _于是g(0)=6sin—=313,g(一)=6sin—=6,g(——)=6sin——=-3,3 24 2 24 6 ，5兀、故一3<g(x)<6,即函数g(x)在[0,]上的值域为[-3,6].24.考点分析:本题考察三角恒等变化,三角函数的图像与性质.解析：(I)因为f(x)=sin23x一cos23x+2.3sin3x-cos3x十九=一cos2①x+33sin2①x+X=2sin(23x-n)+入.n由直线x=n是y=f(x)图象的一条对称轴,可得sin(23n——)=±1,6TOC\o"1-5"\h\zn n k 1所以23n— =kn+ (kgZ),即3=—+—(kgZ).6 2 2 3又3G(—,1),kgZ，所以k=1,故3=—.2 6所以f(x)的最小正周期是6n(ID由y二f(x)的图象过点(4。),得吗二。,

TOC\o"1-5"\h\z即X=-2sin(—xn-n)=-2sinn=-、、：2，即X=-v2.626 4故f(x)=2sin(-x-n)-22,3 63n+n5n5n由0<x<—,有—<-x--<—,所以一!<sin(—x-n)<1,得-1-<2<2sin(-x-n)-22<2-v2,2 3 6 3 6故函数f(x)在[0,3n]上的取值范围为[-1-<2,2-<2]..一.. 2— — 1.解析：(I)T=—=10—，所以①=-.3 5(II)/一5、一f]5a+3—j=2cos1L5」一..—(II)/一5、一f]5a+3—j=2cos1L5」一..—5a+——+—